数学理卷·2017届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测（2016

数学理卷·2017届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测（2016

‎ ‎ 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎2.已知均为单位向量，且，则向量的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.‎ A． 2寸 B．3寸 C. 4寸 D．5寸 ‎5.考拉兹猜想又名猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果（ ）‎ A．4 B．5 C.6 D．7‎ ‎6.已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）‎ A． B． C. D．2‎ ‎7.已知函数是奇函数，当时，（且），且，则的值为（ ）‎ A． B． C. 3 D．9‎ ‎8.设关于的不等式组表示的平面区域内存在点，满足.则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的内切球的半径为（ ）‎ A．1 B． C. D．‎ ‎10.已知为双曲线的左焦点，点为双曲线虚轴的一个顶点，过的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.在中，分别是边的中点，分别是线段的中点，分别是线段的中点， 设数列满足：向量，有下列四个命题，其中假命题是：（ ）‎ A．数列是单调递增数列，数列是单调递减数列 ‎ B．数列是等比数列 ‎ C.数列有最小值，无最大值 ‎ D．若中，，，，则最小时，‎ ‎12.若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________.‎ ‎14.两所学校分别有2名、3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是__________.‎ ‎15.过点的直线与圆交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程为_________.‎ ‎16.已知函数，给出下列四个命题：‎ ‎①函数的图象关于直线对称；②函数在区间上单调递增；‎ ‎③函数的最小正周期为；④函数的值域为.‎ 其中真命题的序号是____________.（将你认为真命题的序号都填上）‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知等差数列满足:，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且.‎ ‎（1）求数列,的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 在中，，，分别是角，，的对边，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积．　‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，菱形中，，与相交于点，平面，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）当直线与平面所成角的大小为时，求的长度.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.‎ ‎（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；‎ ‎（2）用表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，且过点.若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）求函数在上的最小值；‎ ‎（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）探讨函数是否存在零点？若存在，求出函数的零点；若不存在，请说明理由.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DABBD 6-10:ABCDA 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.②④‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.解：（1）设为等差数列的公差，且，‎ 由，…………（1分）‎ ‎（2）由（1）知，所以，①…………（6分）‎ ‎，②…………（7分）‎ ① ‎—②，得 ‎，………………（8分）‎ ‎，…………（9分）‎ 所以.………………（10分）‎ ‎18.解：（Ⅰ）由，‎ 得，…………（1分）‎ ‎，…………（3分）‎ ‎，…………(4分)‎ ‎，…………（5分）‎ 又.…………（6分）‎ ‎（Ⅱ）由，得，………………（8分）‎ 又，………………（10分）‎ ‎.………………（12分）‎ ‎19.解：（1）证明：四边形是菱形，‎ ‎.………………（1分）‎ 平面，平面，…………（2分）‎ ‎，………………（3分）‎ 又平面，平面，，………………（4分）‎ 平面.………………（5分）‎ ‎（2）以为原点，以所在直线分别为轴，轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.………………（6分）‎ 则.设，则，‎ ‎，………………（7分）‎ 设平面的法向量为，则………………（8分）‎ 即令，得，………………（9分）‎ ‎，………………（10分）‎ 直线与平面所成角的大小为，‎ ‎，………………（11分）‎ 解得或（舍），.………………（12分）‎ ‎20.解（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于吨的频率为：‎ ‎，……………………(1分)‎ 记未来天内，第天日销售量不低于吨为事件，则，………………（2分）‎ 未来天内，连续天日销售不低于吨，另一天日销量低于吨包含两个互斥事件和，………………（3分）‎ 则：………………（4分）‎ ‎.………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为，且～‎ ‎，………………（7分）‎ ‎，………………（8分）‎ ‎，………………（9分）‎ ‎，………………（10分）‎ 所以的分布列为 ‎…………（11分）‎ ‎.………………（12分）‎ ‎21.解：（Ⅰ）由，得，………………（1分）‎ 又，………………（2分）‎ 椭圆，‎ 因点在上，，得，…………（3分）‎ ‎，………………（4分）‎ 所以椭圆的方程为：；…………（5分）‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 由以为直径的圆经过坐标原点，得，‎ 即 （1）………………（6分）‎ 由，消除整理得：，‎ 由，得，‎ 而 （2）………………（7分）‎ ‎ （3）‎ 将（2）（3）代入（1）得：，‎ 即，………………（8分）‎ 又，………………（9分）‎ 原点到直线的距离，………………（10分）‎ ‎，………………（11分）‎ 把代入上式得，即的面积是为.………………（12分）‎ ‎22.解：（Ⅰ），‎ 由得，，由得，‎ 函数在上单调递减，在上单调递增.………………（1分）‎ 当时，；‎ 当时，在上单调递增，，………………（2分）‎ ‎………………（3分）‎ ‎（Ⅱ）原问题可化为，………………（4分）‎ 设，‎ ‎，当时，在上单调递减；…………（5分）‎ 当时，在上单调递增；………………（6分）‎ ‎，故的取值范围为.………………（7分）‎ ‎（Ⅲ）令，得，即，………………（8分）‎ 当（Ⅰ）知当且仅当时，的最小值是，…………（9分）‎ 设，则，易知在上单调递增，在上单调递减，‎ 当且仅当时，取最大值，且，………………（10分）‎ 对都有，即恒成立，‎ 故函数无零点.……………………（12分）‎