数学卷·2017届山东省聊城市高三上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2017届山东省聊城市高三上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年山东省聊城市高三（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知i为虚数单位，复数z满足，则z=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合A={x||x|＞2}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∪B=（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞） C．（2，3） D．（﹣2，3）‎ ‎3．某市教育局随机调查了300名高中学生周末的学习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是[0，30]，样本数据分组为，[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]，根据直方图，这300名高中生周末的学习时间是[5，15）小时的人数是（　　）‎ A．15 B．27 C．135 D．165‎ ‎4．设变量x，y满足约束条件，则x2+y2的最小值为（　　）‎ A．0 B． C．1 D．‎ ‎5．已知{an}是公差为2的等差数列，前5项和S5=25，若a2m=15，则m=（　　）‎ A．4 B．6 C．7 D．8‎ ‎6．一个由圆柱和正四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．4π+4 B． C．2π+4 D．‎ ‎7．已知平面α∩平面β=m，直线l⊂α，则“l⊥m”是“l⊥β”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．已知函数的最小正周期为π，f（x）的图象向左平移个单位后关于直线x=0对称，则的单调递增区间为（　　）‎ A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．‎ C． D．‎ ‎9．已知点P是锐角△ABC所在平面内的动点，且满足，给出下列四个命题：‎ ‎①点P的轨迹是一条直线；‎ ‎②恒成立；‎ ‎③；‎ ‎④存在点P使得．‎ 则其中真命题的序号为（　　）‎ A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④‎ ‎10．已知偶函数f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1），且．当0＜x＜1时，（1﹣x2）ln（1﹣x2）f'（x）＞2xf（x），则满足f（x）＜0的x的取值范围是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，若S0=2，则程序运行后输出的n的值为　　．‎ ‎12．的展开式中的常数项为　　．‎ ‎13．已知水池的长为30m，宽为20m，一海豚在水池中自由游戏，则海豚嘴尖离池边超过4m的概率为　　．‎ ‎14．已知双曲线的离心率为2，且两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若，则抛物线的方程为　　．‎ ‎15．已知函数，若方程f（x）+f（2﹣x）=t恰有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若a=6，△ABC的面积为9，求b的长，并判断△ABC的形状．‎ ‎18．在如图所示的几何体中，正方形ABEF所在的平面与正三角形ABC所在的平面互相垂直，CD∥BE，且BE=2CD，M是ED的中点．‎ ‎（1）求证：AD∥平面BFM；‎ ‎（2）求二面角E﹣BM﹣F的余弦值．‎ ‎19．已知等差数列{an}的公差不等于零，前n项和为Sn，a5=9且S1，S2，S4成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．现在人们都注重锻炼身体，骑车或步行上下班的人越来越多，某公司甲、乙两人每天可采用步行，骑车，开车三种方式上下班．步行到公司所用时间为1小时，骑车到公司所用时间为0.5小时，开车到公司所用时间为0.1小时．甲、乙两人上下班方式互不影响．设甲、乙步行的概率分别为；骑车概率分别为．‎ ‎（1）求甲、乙两人到公司所用时间相同的概率；‎ ‎（2）设甲、乙两人到公司所用时间和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．‎ ‎21．已知函数f（x）=﹣1（k为常数，k∈R）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当k=时，若函数f（x）在（﹣∞，en]（n∈Z，e是自然对数的底数）上有两个零点，求n的最小值．‎ ‎22．如图，已知椭圆的离心率为 ‎，P为椭圆E上的动点，P到点M（0，2）的距离的最大值为，直线l交椭圆于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若以P为圆心的圆的半径为，且圆P与OA、OB相切．‎ ‎（i）是否存在常数λ，使x1x2+λy1y2=0恒成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由；‎ ‎（ii）求△OAB的面积．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省聊城市高三（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知i为虚数单位，复数z满足，则z=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】设z=a+bi，（a，b∈R），则，求出，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件即可求出a，b的值，则答案可求．‎ ‎【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），则，‎ ‎∴，‎ ‎=，‎ ‎∴4a+2bi=2+2i，‎ 解得：a=，b=1．‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={x||x|＞2}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∪B=（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞） C．（2，3） D．（﹣2，3）‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x||x|＞2}={x|x＞2或x＜﹣2}，‎ B={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，‎ ‎∴A∪B={x|x＜﹣2或x＞0}=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．某市教育局随机调查了300名高中学生周末的学习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是[0，30]，样本数据分组为，[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]，根据直方图，这300名高中生周末的学习时间是[5，15）小时的人数是（　　）‎ A．15 B．27 C．135 D．165‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】先由频率分布直方图计算出周末的学习时间是[5，15）小时的频率，进而可得周末的学习时间是[5，15）小时的人数．‎ ‎【解答】解：周末的学习时间是[5，15）小时的频率为1﹣（0.02+0.045+0.03+0.015）×5=0.45，‎ 故这300名高中生周末的学习时间是[5，15）小时的人数是300×0.45=135，‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．设变量x，y满足约束条件，则x2+y2的最小值为（　　）‎ A．0 B． C．1 D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图，‎ z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，‎ 由图象知：‎ OA的距离最小，原点到直线2x+y﹣2=0的距离最小．‎ 由=，则x2+y2的最小值为：，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．已知{an}是公差为2的等差数列，前5项和S5=25，若a2m=15，则m=（　　）‎ A．4 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列通项公式求出首项，从而求出通项公式，由此利用a2m=15，能求出m的值．‎ ‎【解答】解：∵{an}是公差为2的等差数列，前5项和S5=25，‎ ‎∴==25，‎ 解得a1=1，‎ ‎∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，‎ ‎∵a2m=15，‎ ‎∴a2m=2（2m）﹣1=15，‎ 解得m=4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．一个由圆柱和正四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．4π+4 B． C．2π+4 D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由已知可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和圆柱的组合体，代入锥体和柱体体积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和圆柱的组合体，‎ 四棱锥的底面面积为：2×2=4，高为1，故体积为：，‎ 圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：2π，‎ 故组合体的体积V=，‎ 故选：D ‎　‎ ‎7．已知平面α∩平面β=m，直线l⊂α，则“l⊥m”是“l⊥β”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】平面α∩平面β=m，直线l⊂α，则“l⊥β”⇒“l⊥m”，反之不成立．‎ ‎【解答】解：∵平面α∩平面β=m，直线l⊂α，则“l⊥β”⇒“l⊥m”，反之不成立．‎ 因此“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数的最小正周期为π，f（x）的图象向左平移个单位后关于直线x=0对称，则的单调递增区间为（　　）‎ A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．‎ C． D．‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：∵函数的最小正周期为=π，∴ω=2．‎ f（x）的图象向左平移个单位后，得到y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，‎ 根据所得图象关于直线x=0对称，可得函数y=sin（2x++φ）为偶函数，∴+φ=kπ+，k∈Z，‎ 故φ=﹣，所得函数的解析式为y=sin（2x+﹣）=cos2x．‎ 则=cos2（x+）+cos2（x﹣）=cos（2x+）+cos（2x﹣） ‎ ‎=cos（2x+）+sin[（2x﹣）+]=cos（2x+）+sin（2x+）=sin（2x++）=sin（2x+）．‎ 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知点P是锐角△ABC所在平面内的动点，且满足，给出下列四个命题：‎ ‎①点P的轨迹是一条直线；‎ ‎②恒成立；‎ ‎③；‎ ‎④存在点P使得．‎ 则其中真命题的序号为（　　）‎ A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】①由，得⊥，点P的轨迹是CB边的高线所在的直线；‎ ‎②由•=•，得||cos＜，＞=||cos＜，＞，不一定成立；‎ 由cos＜，＞≤1，||cos＜，＞=||cos＜，＞，得；‎ ‎④⊥时，以PC、PB为邻边所作的平行四边形是矩形，得|+|=||正确．‎ ‎【解答】解：对于①，由，得•（﹣）=0，‎ ‎∴•=0，∴⊥，‎ ‎∴点P的轨迹是CB边的高线所在的直线，①正确；‎ 对于②，由•=•，‎ 得||×||cos＜，＞=||×||cos＜，＞，‎ 即||cos＜，＞=||cos＜，＞，‎ ‎∴不一定成立，②错误；‎ 对于③，由cos＜，＞≤1，||cos＜，＞=||cos＜，＞，‎ 得，③正确；‎ 对于④，当⊥时，以PC、PB为邻边所作的平行四边形是矩形，‎ 因此存在点P使|+|=||，④正确．‎ 综上，其中真命题的序号为①③④．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知偶函数f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1），且．当0＜x＜1时，（1﹣x2）ln（1﹣x2）f'（x）＞2xf（x），则满足f（x）＜0的x的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】令g（x）=，根据已知可判断g（x）=在（0，1）上为增函数，进而可得f（x）在（0，1）上为减函数，结合函数f（x）为偶函数，且可得答案．‎ ‎【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，‎ ‎∵当0＜x＜1时，（1﹣x2）ln（1﹣x2）f'（x）＞2xf（x），‎ ‎∴＞0，‎ 即g（x）=在（0，1）上为增函数，‎ 则f（x）在（0，1）上为减函数，‎ 又由函数f（x）为偶函数，且．‎ 故当x∈时，f（x）＜0，‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，若S0=2，则程序运行后输出的n的值为　4　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】S0=2，Sn←3Sn﹣1+1，Sn≥202时，输出n．‎ ‎【解答】解：n=1时，S←3×2+1；n=2时，S←3×7+1；n=3时，S←3×22+1；n=4时，S←3×67+1=202，‎ 因此输出n=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎12．的展开式中的常数项为　252　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】=展开式中的通项公式：Tr+1=，的通项公式：Tk+1=‎ ‎=xr﹣2k．令r﹣2k=0，r=0，1，2，3，4，5；k∈N，k≤r．即可得出．‎ ‎【解答】解： =展开式中的通项公式：Tr+1=，‎ 的通项公式：Tk+1==xr﹣2k．‎ 令r﹣2k=0，r=0，1，2，3，4，5；k∈N，k≤r．‎ 则r=0，k=0；r=2，k=1；r=4，k=2．‎ ‎∴的展开式中的常数项=+=252．‎ 故答案为：252．‎ ‎　‎ ‎13．已知水池的长为30m，宽为20m，一海豚在水池中自由游戏，则海豚嘴尖离池边超过4m的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】测度为面积，找出点离岸边不超过4m的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．‎ ‎【解答】解：如图所示：长方形面积为20×30，小长方形面积为22×12‎ 阴影部分的面积为20×30﹣22×12，‎ ‎∴海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为P=1﹣=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎14．已知双曲线的离心率为2，且两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若，则抛物线的方程为　y2=4x　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，运用代入法，求得AB，再由三角形的面积公式，结合离心率公式和a，b，c的关系，化简整理，解方程可得p，进而得到双曲线方程．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，‎ 双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 把x=﹣代入y=±x，‎ 解得y=±．‎ ‎∴|AB|=，‎ ‎∵△AOB的面积为，‎ ‎∴••=，‎ 由e===2，‎ 解得=．‎ ‎∴=1，‎ 解得p=2．‎ ‎∴该抛物线的标准方程是y2=4x．‎ 故答案为：y2=4x．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数，若方程f（x）+f（2﹣x）=t恰有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是　（，2）　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】方程f（x）+f（2﹣x）=t恰有4个不同的实数根⇔g（x）=f（x）+f（2﹣x）=与y=t的交点，画出图象，根据图象即可求解．‎ ‎【解答】解：由，‎ 得f（2﹣x）=，‎ g（x）=f（x）+f（2﹣x）=‎ 画出函数g（x）的图象（如图），f（﹣）=f（）=．‎ 方程f（x）+f（2﹣x）=t恰有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是：（）‎ 故答案为：（）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若a=6，△ABC的面积为9，求b的长，并判断△ABC的形状．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知及正弦定理可得sinB=，结合范围0＜B＜π，可得B的值．‎ ‎（2）利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求b的值，分类讨论，即可判定三角形的形状．‎ ‎【解答】解：（1）由，可得．‎ 根据正弦定理可得：sinB=，‎ 由于0＜B＜π，可得：B=或，‎ ‎（2）因为△ABC的面积为9=acsinB，a=6，sinB=，‎ 所以．‎ 解得．‎ 由余弦定理可知 ‎，‎ 由得b2=18或b2=90，‎ 所以或．‎ 当时，此时，△ABC为等腰直角三角形；‎ 当时，此时，△ABC为钝角三角形．‎ ‎　‎ ‎18．在如图所示的几何体中，正方形ABEF所在的平面与正三角形ABC所在的平面互相垂直，CD∥BE，且BE=2CD，M是ED的中点．‎ ‎（1）求证：AD∥平面BFM；‎ ‎（2）求二面角E﹣BM﹣F的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连接AE交BF于点N，连接MN，MN∥AD，由此能证明AD∥平面BFM．‎ ‎（2）推导出BE⊥AB，从而BE⊥平面ABC，取BC的中点O，连接OM，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣BM﹣F的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）连接AE交BF于点N，连接MN．‎ 因为ABEF是正方形，所以N是AE的中点，‎ 又M是ED的中点，所以MN∥AD．‎ 因为AD⊄平面BFM，MN⊄平面BFM，‎ 所以AD∥平面BFM．‎ 解：（2）因为ABEF是正方形，所以BE⊥AB，‎ 因为平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC=AB，‎ 所以BE⊥平面ABC，因为CD∥BE，所以取BC的中点O，‎ 连接OM，则OM⊥平面ABC，因为△ABC是正三角形，所以OA⊥BC，‎ 所以以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：‎ 设CD=1，则B（0，1，0），E（0，1，2），D（0，﹣1，1），‎ ‎，‎ ‎．‎ 设平面BMF的一个法向量为，‎ 则，所以，‎ 令，则z=﹣6，y=﹣9，所以．‎ 又因为是平面BME的法向量，‎ 所以．‎ 所以二面角E﹣BM﹣F的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎19．已知等差数列{an}的公差不等于零，前n项和为Sn，a5=9且S1，S2，S4成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得：a5=a1+4d=9，，即（=a1．‎ ‎∵d≠0，∴d=2a1，‎ ‎∴a1=1，d=2，‎ ‎∴数列{an}的通项公式an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎　‎ ‎20．现在人们都注重锻炼身体，骑车或步行上下班的人越来越多，某公司甲、乙两人每天可采用步行，骑车，开车三种方式上下班．步行到公司所用时间为1小时，骑车到公司所用时间为0.5小时，开车到公司所用时间为0.1小时．甲、乙两人上下班方式互不影响．设甲、乙步行的概率分别为；骑车概率分别为．‎ ‎（1）求甲、乙两人到公司所用时间相同的概率；‎ ‎（2）设甲、乙两人到公司所用时间和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）由题意，得甲、乙开车的概率分别为，记甲、乙两人到公司所用时间相同为事件A，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．‎ ‎（2）可能取的值由0.2，0.6，1.0，1.1，1.5，2．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，得甲、乙开车的概率分别为，‎ 记甲、乙两人到公司所用时间相同为事件A，‎ 则．‎ ‎∴甲、乙两人到公司所用时间相同的概率为．‎ ‎（2）可能取的值由0.2，0.6，1.0，1.1，1.5，2.；；；；；．‎ ‎∴甲、乙两人到公司所用时间之和X的分布列为 ‎ ‎ X ‎ 0.2‎ ‎ 0.6‎ ‎ 1.0‎ ‎ 1.1‎ ‎ 1.5‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎∴（小时）．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=﹣1（k为常数，k∈R）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当k=时，若函数f（x）在（﹣∞，en]（n∈Z，e是自然对数的底数）上有两个零点，求n的最小值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论k的范围，即可求出函数的单调区间；‎ ‎（2）把k=代入函数解析式，结合（1）中函数的单调性，可得f（x）的极大值为f（0）=0，极小值为f（3ln2）＜0，要使函数f（x）在（﹣∞，en]（n∈Z）上有两个零点，转化为，由此不等式组可得n的最小值为2．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，由，‎ 得．‎ ‎①当k≤0时，对x∈R都有kex﹣1＜0，当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：‎ x ‎（﹣∞，0）‎ ‎0‎ ‎（0，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ 递增 极大值 递减 此时，f（x）的增区间是（﹣∞，0）；减区间是（0，+∞）．‎ ‎②当0＜k＜1时，．由f'（x）=0，得x=0或x=﹣lnk＞0．‎ 当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：‎ x ‎（﹣∞，0）‎ ‎0‎ ‎（0，﹣lnk）‎ ‎﹣lnk ‎（﹣lnk，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 此时，f（x）的增区间是（﹣∞，0），（﹣lnk，+∞）；减区间是（0，﹣lnk）．‎ ‎③当k=1时，，此时，f（x）的增区间是（﹣∞，+∞），没有减区间．‎ ‎④当1＜k时，．由f'（x）=0，得x=0或x=﹣lnk＜0．‎ 当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：‎ x ‎（﹣∞，﹣lnk）‎ ‎﹣lnk ‎（﹣lnk，0）‎ ‎0‎ ‎（0，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 此时，f（x）的增区间是（﹣∞，﹣lnk），（0，+∞）；减区间是（﹣lnk，0）．‎ ‎（2）k=时，，‎ 由（1）②得：﹣lnk=﹣ln=3ln2，‎ f（x）的增区间是（﹣∞，0），（3ln2，+∞）；减区间是（0，3ln2）．‎ ‎∴f（x）的极大值为f（0）=0，极小值为f（3ln2）=‎ ‎=＜0，‎ 要使函数f（x）在（﹣∞，en]（n∈Z）上有两个零点，‎ ‎∴，‎ ‎∵满足en＞3ln2的最小整数n为2，当n=2时，，‎ ‎∴n的最小值为2．‎ ‎　‎ ‎22．如图，已知椭圆的离心率为，P为椭圆E上的动点，P到点M（0，2）的距离的最大值为，直线l交椭圆于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若以P为圆心的圆的半径为，且圆P与OA、OB相切．‎ ‎（i）是否存在常数λ，使x1x2+λy1y2=0恒成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由；‎ ‎（ii）求△OAB的面积．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1），a2=b2+c2，可得a=2b，．可得椭圆的标准方程为： +y2=b2．设P（x，y），（﹣b≤y≤b）．P到点M（0，2）的距离d==．当0＜b＜时，y=﹣b时，d取得最大值，舍去．‎ 当≤b时，y=﹣时，d取得最大值，可得=，解得b即可得出．‎ ‎（2）（i）设P（m，n），则=1．⊙P的方程为：（x﹣m）2+（y﹣n）2=，设经过原点O的⊙P的切线方程为：y=kx，不妨设OA的方程为：y=k1x，OB的方程为：y=k2x．则=，化为：（5m2﹣4）k2﹣10mnk+5n2﹣4=0，联立，解得x1，y1．同理可得：x2，y2．假设存在常数λ，使x1x2+λy1y2=0恒成立，代入即可得出．‎ ‎（ii）由（i）可得：OA⊥OB，|OA|2==4，|OA|=2，同理可得：|OB|=2．即可得出S△OAB=．‎ ‎【解答】解：（1）∵，a2=b2+c2，可得a=2b，．‎ ‎∴椭圆的标准方程为： +y2=b2，‎ 设P（x，y），（﹣b≤y≤b）．‎ P到点M（0，2）的距离d===，‎ 当0＜b＜时，y=﹣b时，d取得最大值，∴b+2=，解得b=﹣2，舍去．‎ 当≤b时，y=﹣时，d取得最大值，∴=，解得b=1，满足条件．‎ ‎∴椭圆E的方程为： +y2=1．‎ ‎（2）（i）设P（m，n），则=1．‎ ‎⊙P的方程为：（x﹣m）2+（y﹣n）2=，‎ 设经过原点O的⊙P的切线方程为：y=kx，不妨设OA的方程为：y=k1x，OB的方程为：y=k2x．‎ 则=，化为：（5m2﹣4）k2﹣10mnk+5n2﹣4=0，‎ ‎∴k1+k2=，k1k2=，‎ 联立，解得x1=，y1=．‎ 同理可得：，y2=．‎ 假设存在常数λ，使x1x2+λy1y2=0恒成立，则+=0，‎ 解得λ=﹣k1k2=﹣=﹣=为常数．‎ ‎（ii）由（i）可得：OA⊥OB，|OA|2===4，∴|OA|=2，‎ 同理可得：|OB|=2．‎ ‎∴S△OAB==2．‎ ‎　‎ ‎2017年5月10日