2018届二轮复习数列求和及其应用学案理（全国通用）

2018届二轮复习数列求和及其应用学案理（全国通用）

专题10 数列求和及其应用 高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式．明年高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注．‎ ‎1．数列求和的方法技巧 ‎(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．‎ ‎(2)错位相减法 这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．‎ ‎(3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．‎ ‎(4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．‎ ‎(5)分组转化求和法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．‎ ‎2．数列的综合问题 ‎(1)等差数列与等比数列的综合．‎ ‎(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．‎ ‎(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题．‎ 数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读文解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推文予以解决.‎ ‎【误区警示】‎ ‎1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．‎ ‎2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．‎ ‎ ‎ 考点一　由递推关系求通项 例1、(2016·高考全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ ‎【方法规律】求数列通项的常用方法 ‎1．归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．‎ ‎2．已知Sn与an的关系，利用an＝ n≥2求an.‎ ‎3．累加法：数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中数列{f(n)}前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．‎ ‎4．累乘法：数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中数列{g(n)}前n项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．‎ ‎5．构造法：(1)递推关系形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数)可化为an＋1＋＝p(p≠1)的形式，利用是以p为公比的等比数列求解．‎ ‎(2)递推关系形如an＋1＝(p为非零常数)可化为－＝的形式．‎ ‎【变式探究】数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，an＝2Sn－1＋3n(n≥2)，则该数列的通项公式为an＝________.‎ ‎【答案】(2n＋1)3n－1‎ ‎【解析】∵an＝2Sn－1＋3n，∴an－1＝2Sn－2＋3n－1(n≥3)，两式相减得：an－an－1＝2an ‎－1＋2×3n－1，即an＝3an－1＋2×3n－1，∴＝＋(n≥3)，又a2＝2S1＋32＝‎2a1＋32＝15，＝，＋＝，即＝＋，∴数列是以1为首项，为公差的等差数列，∴＝1＋(n－1)×，∴an＝(2n＋1)3n－1.‎ 考点二　分组转化法求和 例2、(2016·高考全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.‎ ‎(1)求b1，b11，b101；‎ ‎(2)求数列{bn}的前1 000项和．‎ ‎【方法规律】‎ ‎1．若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减．‎ 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用相邻两项并项(分组)后，再分组求和．‎ ‎2．分组求和中的分组策略 ‎(1)根据等差、等比数列分组．‎ ‎(2)根据正号、负号分组．‎ ‎【变式探究】已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．‎ 解：(1)等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，‎ 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27.‎ 设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，‎ 所以1＋13d＝27，即d＝2.‎ 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．‎ ‎(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1.‎ 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1‎ 从而数列{cn}的前n项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1‎ ‎＝＋ ‎＝n2＋.‎ 考点三　错位相减法求和 例3、【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. ‎ ‎(I)求数列{an}通项公式；‎ ‎(II){ bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）. ‎ ‎【解析】‎ 又,‎ 两式相减得 所以.‎ ‎ 【变式探究】(2016·高考山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式．‎ ‎(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【方法技巧】错位相减法的关注点 ‎1．适用题型：等差数列{an}与等比数列{bn}对应项相乘({an·bn})型数列求和．‎ ‎2．具体步骤：‎ ‎(1)求和时先乘以数列{bn}的公比；‎ ‎(2)把两个和的形式错位相减；‎ ‎(3)整理结果形式．‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且有Sn＝1－an(n∈N*)，点(an，bn)在直线y＝nx上．‎ ‎(1)求Tn；‎ ‎(2)试比较Tn和2－的大小，并说明理由．‎ ‎(2)令Bn＝2－，‎ 则Tn－Bn＝－＋ ‎＝ ‎＝，‎ 所以当n＝1时，T1－B1＜0，‎ 所以T1＜B1；‎ 当n＝2时，T2－B2＝0，‎ 所以T2＝B2；‎ 当n≥3时，Tn－Bn＞0，‎ 所以Tn＞Bn.‎ 综上所述，当n＝1时，Tn＜2－；‎ 当n＝2时，Tn＝2－；‎ 当n≥3时，Tn＞2－.‎ 考点四　裂项相消法求和 例4、【2017课标3，文17】设数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式； ‎ ‎（2）求数列 的前项和.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎ .‎ ‎(2)., .‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：＋＋＋…＋＝n，n∈N*.‎ ‎(1)求an.‎ ‎(2)设Tn＝＋＋＋…＋，是否存在整数m，使对任意n∈N*，不等式Tn≤m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【方法规律】‎ ‎1．裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于{}或{}(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．‎ ‎2．裂项相消的规律 ‎(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．‎ ‎(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多．‎ ‎【方法规律】‎ 已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)设bn＝log4(1－Sn＋1)(n∈N*)，Tn＝＋＋…＋，求使Tn≥成立的最小的正整数n的值．‎ 解：(1)当n＝1时，a1＝S1，‎ 由S1＋a1＝1⇒a1＝，‎ 当n≥2时，Sn＋an＝1，　　　　①‎ Sn－1＋an－1＝1, ②‎ ‎1.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. ‎ ‎(I)求数列{an}通项公式；‎ ‎(II){ bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）设的公比为，由题意知： .‎ 又，‎ 解得： ，‎ 所以.‎ ‎2.【2017北京，文15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a2+a4=10，所以‎2a1+4d=10.‎ 解得d=2.‎ 所以an=2n−1.‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为q.‎ 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.‎ 解得q2=3.‎ 所以.‎ 从而.‎ ‎1.【2016高考天津文数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)设，求证：是等差数列；‎ ‎(Ⅱ)设 ，求证：‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ ‎2.【2016高考新课标3文数】已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（I）证明是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（II）若 ，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意得，故，，．‎ 由，得，即．‎ 由，得，所以.‎ 因此是首项为，公比为的等比数列，于是．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，‎ 解得．‎ ‎3.【2016高考浙江文数】设数列满足，．‎ ‎（I）证明：，；‎ ‎（II）若，，证明：，． ‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．‎ ‎4.【2016年高考北京文数】（本小题13分）‎ ‎ 设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.‎ ‎（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；‎ ‎（2）证明：若数列A中存在使得>，则 ；‎ ‎（3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.‎ ‎【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）的元素为和.‎ ‎（Ⅱ）因为存在使得，所以.‎ 记，‎ 则，且对任意正整数.‎ 因此，从而.‎ ‎（Ⅲ）当时，结论成立.‎ 以下设.‎ ‎5.【2016年高考四川文数】（本小题满分12分）‎ 已知数列{ }的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q>0， .‎ ‎（Ⅰ）若 成等差数列，求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析. ‎ ‎6.【2016高考上海文数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.‎ ‎（1）若具有性质，且，，求；‎ ‎（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明文由；‎ ‎（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.‎ ‎【答案】（1）．（2）不具有性质．（3）见解析． ‎ 充分性得证．‎ 必要性：‎ 用反证法证明．假设不是常数列，则存在，‎ 使得，而．‎ 下面证明存在满足的，使得，但 ‎．‎ 设，取，使得，则 ‎，，故存在使得．‎ 取，因为（），所以，‎ 依此类推，得．‎ 但，即．‎ 所以不具有性质，矛盾．‎ 必要性得证．‎ 综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”． ‎ ‎7.【2016高考新课标2文数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前1 000项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.‎ ‎【解析】‎ ‎8.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）‎ 已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎9.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设,求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 ‎【解析】‎ 从而，‎ 故，所以，‎ 即.‎ 综合①②③得，. ‎ ‎10.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）‎ 已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 所以 ‎【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：‎ 所以 ‎【2015高考天津，文18】（本小题满分13分）已知数列满足，且 成等差数列.‎ ‎(I)求的值和的通项公式；‎ ‎(II)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(I) ; (II) . ‎ ‎(II) 由(I)得，设数列的前项和为，则 ‎，‎ 两式相减得 ‎，‎ 整文得 所以数列的前项和为.‎ ‎【2015高考四川，文16】设数列的前项和，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）10.‎ 由，得，即.‎ 因为，‎ 所以.‎ 于是，使成立的n的最小值为10.‎ ‎【2015高考新课标1，文17】为数列{}的前项和.已知＞0，=‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）‎ 设是各项为正数且公差为d的等差数列 ‎（1）证明：依次成等比数列； ‎ ‎（2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明文由；‎ ‎（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明文由.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在 ‎【解析】‎ 因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．‎ ‎（3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，‎ 则，且．‎ 分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），‎ 则，且．‎ 将上述两个等式两边取对数，得，‎ 且．‎ 化简得，‎ 且．‎ 再将这两式相除，化简得（）．‎ 令，‎ ‎【2015高考浙江，文20】已知数列满足=且=-（）‎ ‎（1）证明：1（）； ‎ ‎（2）设数列的前项和为，证明（）.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）由题意得，，即，，由 得，由得，‎ ‎，即；（2）由题意得，‎ ‎∴①，由和得，，‎ ‎∴，因此②，由①②得 ‎.‎ ‎【2015高考山东，文18】设数列的前n项和为.已知.‎ ‎ （I）求的通项公式；‎ ‎ （II）若数列满足，求的前n项和.‎ ‎【答案】（I）; （II）. ‎ ‎ ‎ 所以 两式相减，得 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 经检验， 时也适合，‎ 综上可得： ‎ ‎【2015高考安徽，文18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，证明.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎1. 【2014高考湖南文第20题】已知数列满足,.‎ ‎(1)若为递增数列,且成等差数列,求的值;‎ ‎(2)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式. ‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎【解析】 (1)因为数列为递增数列,所以,则,分别令可得,因为成等差数列,所以或,‎ 当时,数列为常数数列不符合数列是递增数列,所以.‎ ‎(2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,则有,因为 ‎(2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,两不等式相加可得 ‎.‎ 当时, ,这个等式相加可得 ‎,当时,符合,故 综上. ‎ ‎【考点定位】等差数列、等比数列、数列单调性 ‎2. 【2014高考江西文第17题】已知首项都是1的两个数列（），满足.‎ ‎（1）令，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【考点定位】等差数列、错位相减求和 ‎3. 【2014高考全国1第17题】已知数列的前项和为，，，，其中为常数，‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）是否存在，使得为等差数列？并说明文由.‎ ‎【答案】（I）详见解析；（II）存在，. ‎ ‎【解析】（I）由题设，，．两式相减得，．‎ 由于，所以．‎ ‎（II）由题设，，，可得，由（I）知，．令，解得．‎ 故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；‎ 是首项为3，公差为4的等差数列，．‎ 所以，．‎ 因此存在，使得为等差数列．‎ ‎【考点定位】递推公式、数列的通项公式、等差数列．‎ ‎4. 【2014高考全国2第17题】已知数列满足=1，.‎ ‎（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其 ‎【考点定位】本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明 ‎5. 【2014高考山东卷第19题】已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列. （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（I）.‎ ‎（II），（或） ‎ ‎【考点定位】等差数列的前项和、等比数列及其性质 ‎ ‎6. 【2014高考上海文科第23题】已知数列满足.‎ （1） 若，求的取值范围；‎ （2） 若是公比为等比数列，，求的取值范围；‎ ‎（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差. ‎ ‎ 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.‎ ‎【解析】‎ ‎（3）由题得，∵，且数列成等差数列，，‎ ‎∴，∴，,‎ 所以时，，时，，所以．‎ ‎∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴，∴，解得，，‎ ‎∴的最大值为1999，此时公差为．‎ ‎【考点定位】解不等式（组）、数列的单调性、分类讨论、等差（比）数列的前项和.‎ ‎7. 【2014高考上海文科第8题】设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，即，∵，∴.‎ ‎【考点定位】无穷递缩等比数列的和.‎ ‎8. 【2014高考四川第16题】设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）.‎ ‎（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；‎ ‎（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前 项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】.（1），所以 ‎②－①得：，所以.‎ ‎【考点定位】等差数列与等比数列.‎ ‎9．【2014高考天津第19题】已知和均为给定的大于1的自然数．设集合，集合．‎ ‎（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；‎ ‎（Ⅱ）设，，，其中证明：若，则．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析 ‎ ‎【解析】（1）当时，可得，‎ ‎【考点定位】等比数列的前项和公式 ‎10. 【2014高考浙江文第19题】已知数列和满足.若为等比数列，且 （1） 求与；‎ （2） 设。记数列的前项和为.‎ ‎（i）求；‎ ‎（ii）求正整数，使得对任意，均有．‎ ‎【答案】（1），；（2）（i）‎ ‎；（ii）．‎ ‎【解析】（1）求与得通项公式，由已知得，再由已知 ‎（2）（i）由（1）知，，所以；‎ ‎（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故． ‎ ‎【考点定位】等差数列与等比的列得概念、通项公式、求和公式 ‎11. 【2014高考重庆文科第22题】设 ‎（Ⅰ）若，求及数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，‎ 下用数学归纳法证明加强命：‎ 当时，，所以，结论成立.‎ 假设时结论成立，即 易知在上为减函数，从而 即 再由在上为减函数得.‎ 故，因此，这就是说，当时结论成立.‎ 综上，符合条件的存在，其中一个值为.‎ 解法二：设，则 先证： ①‎ 当时，结论明显成立.‎ 假设时结论成立，即 综上，由②③④知存在使对一切成立.‎ ‎【考点定位】数列通项公式的求法、等差数列 ‎