2019-2020学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】化简集合B，求交集运算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.‎ ‎2．过两点，的直线的倾斜角为60°，则（ ）‎ A．-9 B．-3 C．5 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据直线的斜率公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为过两点，的直线的倾斜角为60°，‎ 所以，‎ 解得，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线斜率的公式，属于容易题.‎ ‎3．下列四个命题中错误的是（ ）‎ A．若直线a､b相交，则直线a､b确定一个平面 B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D．经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 ‎【答案】C ‎【解析】对于A，利用确定平面的定理的推论可判断正误；对于B，根据反证法即确定平面的性质即可判断；对于C,根据异面直线的的定义判定即可；对于D,利用反证法思想及线面垂直的性质可判断.‎ ‎【详解】‎ A中若直线a､b相交，则直线a､b确定一个平面符合确定一个平面的条件，正确；‎ B中若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线，正确，否则四点就会共面；‎ C中若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线，错误，如平行直线没有公共点；‎ D中经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，正确，首先有直线垂直平面，其次只有一条，否则过一点有两平行直线，矛盾.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了确定一个平面的条件， 异面直线，线面垂直，属于中档题.‎ ‎4．设，则下列关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据指数函数，幂函数，对数函数的单调性及不等式的传递性比较即可.‎ ‎【详解】‎ 是减函数，‎ ‎，‎ 在上是增函数，‎ ‎，‎ 由不等式的传递性知，‎ 是增函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数、幂函数、对数函数的单调性，不等式的传递性，属于中档题.‎ ‎5．已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据圆的一般方程化为标准方程，根据直线过圆心求出m,即可计算半径得面积.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,‎ 即圆心为，半径 圆心在直线上，‎ ‎，‎ 即，‎ 所以圆的半径，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的一般方程，圆的标准方程，圆的面积，属于中档题.‎ ‎6．如下图一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）‎ A．8 B． C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知几何体为高是2的四棱锥，且底面为正方形，利用棱锥体积公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由三视图知，几何体是底面为正方形的四棱锥，且有一个侧面垂直底面，‎ 四棱锥的高为2，‎ 所以，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三视图，棱锥的体积，属于容易题.‎ ‎7．已知，若，则t=（ ）‎ A．16 B．8 C．4 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数为单调函数，令，求出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,,‎ 令,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即，‎ ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的解析式，函数求值，属于中档题.‎ ‎8．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中CN与BM所成角为（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】把展开图再还原成正方体如图所示:由于BE和CN平行且相等，故∠EBM (或其补角)为所求.再由△BEM是等边三角形，可得∠EBM=60°,从而得出结论.‎ ‎【详解】‎ 把展开图再还原成正方体如图所示:‎ 由于BE和CN平行且相等，故异面直线CN与BM所成的角就是BE和BM所成的角，故∠EBM (或其补角)为所求,‎ 再由BEM是等边三角形，可得∠EBM=60,‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求异面直线所成的角，体现了转化的数学思想，属于中档题.‎ ‎9．已知定义在R上的奇函数，满足恒成立，且，则的值为（ ）‎ A．-1 B．1 C．2 D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】由知周期为4，利用周期转化函数值，再利用奇函数的性质即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 是R上的奇函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的周期性，奇函数的性质，属于中档题.‎ ‎10．已知圆M：，过直线l：上任意一点P向圆引切线PA，切点为A，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，可得,当最小时，最小，而当垂直于直线l时最小，求出的最小值，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由圆M：知圆心，半径，‎ PA与圆M相切，‎ ‎，‎ 当最小时，最小，‎ 而当垂直于直线l时最小，此时最小值即为圆心到直线的距离d，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的相切的性质，圆的标准方程，点到直线的距离，属于中档题.‎ ‎11．长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，根据异面直线所成的角的定义知，‎ ‎（或其补角）即为所求角，利用余弦定理求余弦即可.‎ ‎【详解】‎ 在长方体中，如图：‎ ‎,‎ 异面直线与所成角为（或其补角），‎ 在中，，，，‎ ‎,‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了异面直线所成的角，余弦定理，属于中档题.‎ ‎12．已知函数，若方程有4个不同的根，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出函数与的图象，得到，关于对称，，化简条件，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 作函数与的图象如下：‎ 方程有四个不同的解，，，，‎ 且，‎ ‎，关于对称，即，‎ 且，‎ 则，‎ 即，‎ 则 即 则；‎ 当得或，‎ 则；；‎ 故，；‎ 则函数，在上为减函数，‎ 则故取得最小值，为，‎ 当时，函数值最大为．‎ 即函数取值范围是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．已知集合M满足，则满足条件的集合M有_________个.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】‎ 据子集的定义，可得集合M必定含有3、4两个元素，而且含有3，4, 5, 6中的至多四个元素，因此，满足条件的集合M有：，，，，共4个，‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的包含关系，求满足条件集合M的个数.考查了集合的包含关系的理解和子集的概念等知识，属于容易题.‎ ‎14．已知直线与互相垂直，则_________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据两直线垂直的条件，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为线与互相垂直，‎ 所以，‎ 即，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两直线垂直的条件，属于容易题.‎ ‎15．若正四面体ABCD的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为1,正方体的对角线长为 正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，‎ 外接球的表面积的值为,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于容易题.‎ ‎16．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出函数的值域，由高斯函数的定义即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知直线与直线的交点为M.‎ ‎（Ⅰ）求过点M且与直线平行的直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线过点M，且点到的距离为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）联立直线方程可求出交点，根据所求直线过交点且与平行即可求解 ‎（Ⅱ）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用点到直线距离求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）联立 ，解得：. ‎ ‎ 所以与平行的的直线方程为：，‎ 整理得：.‎ ‎（Ⅱ） 当斜率不存在时，不合题意； ‎ 当斜率存在时，设，即： .‎ 由题得：，解得： ， ； ‎ 所以，所求直线的方程为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两直线的交点，平行直线，点到直线的距离，分类讨论，属于中档题.‎ ‎18．已知全集，集合.‎ ‎（Ⅰ）若，求； ‎ ‎（Ⅱ），求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）时，化简集合B,根据集合交集补集运算即可（Ⅱ）由可知，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时， ，‎ 或 . ‎ 故 或. ‎ ‎（Ⅱ）‎ 当时，，即；‎ 当时，即.‎ ‎，‎ 解得. ‎ 综上：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交集，补集运算，子集的概念，分类讨论，属于中档题.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，E为棱PB的中点，O为AC与BD的交点.‎ ‎（Ⅰ）求证：面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）连接EO,由中位线性质可知，即可证明（Ⅱ）由题意可证明即为二面角的平面角，由菱形知角的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）连接EO ，‎ 是的中点，‎ 因为E为棱PB的中点，‎ 所以. ‎ 又因为面面；‎ ‎ 所以面.‎ ‎（Ⅱ）‎ 面 ‎,，‎ 则为二面角的平面角. ‎ 四边形为菱形，‎ ‎ ‎ 二面角的大小为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与平面平行的判定，二面角的定义及求法，属于中档题.‎ ‎20．已知圆C的圆心在直线上，且圆C与直线l：相切于点.‎ ‎（Ⅰ）求圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线过点且被圆C所截得弦长为2，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 ‎【解析】（Ⅰ）由题可设圆心,利用圆心到直线距离等半径即可求解（Ⅱ）由平面几何性质可得圆心到直线距离，分斜率存在不存在两种情况，设直线方程利用点到直线距离求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题可设圆心，显然则，解得：， ‎ 所以圆心的坐标 ， ； ‎ 所以圆的标准方程为： . ‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率存在时，可设直线的方程：，即：. ‎ 由题得： ，解得： ， ‎ 所求直线的方程为： . ‎ 当直线的斜率不存在时，直线，满足题意； ‎ 故所求直线的方程为：或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，分类讨论，属于中档题.‎ ‎21．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.‎ ‎（Ⅰ）求出2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；‎ ‎（Ⅱ）2020年产量x为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少?‎ ‎（说明：当时，函数在单调递减，在单调递增）‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据题意知利润等于销售收入减去可变成本及固定成本，分类讨论即可写出解析式（Ⅱ）利用二次函数求时函数的最大值，根据对勾函数求时函数的最大值，比较即可得函数在定义域上的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当 时,‎ ‎ ； ‎ 当时,. ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 万元； ‎ 当时， ，当且仅当时，‎ 万元. ‎ 所以，2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数，函数的最值，函数在实际问题中的应用，属于中档题.‎ ‎22．已知函数为奇函数，其中a为常数.‎ ‎（Ⅰ）求常数a的值；‎ ‎（Ⅱ）判断函数在上的单调性，并证明；‎ ‎（Ⅲ）对任意，都有恒成立.求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）在上为增函数，证明见解析（Ⅲ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据为奇函数，利用奇函数的定义即可求解a（Ⅱ）根据复合函数的单调性，先利用定义证明内层函数的单调性即可证明（Ⅲ）分离参数可得，利用单调性求的最大值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）为奇函数，‎ 恒成立， ‎ 即,‎ 或，‎ 当时检验不合题意，‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，‎ 令 ，‎ ‎，‎ 则.‎ ‎，‎ ‎.‎ 是减函数，‎ ‎ ，‎ 即.‎ 所以在上为增函数. ‎ ‎（Ⅲ）恒成立，即：恒成立.‎ 由（Ⅱ）知： 在上为增函数，‎ 所以，‎ 所以的取值范围是： .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇函数的定义，函数单调性，不等式恒成立问题，属于难题.‎