专题13-2 推理与证明-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版）

专题13-2 推理与证明-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版）

www.ks5u.com ‎2017年高考备考之 ‎3年高考2年模拟1年原创 第十三章 算法初步、推理与证明、复数 专题2 推理与证明（理科）‎ ‎【三年高考】‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．‎ ‎【答案】1和3‎ ‎【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.‎ ‎2．【2015高考山东，理11】观察下列各式：‎ ‎ ‎ ‎……‎ 照此规律，当nN时，‎ ‎ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎3.【2015江苏高考，23】 已知集合，，‎ ‎，令表示集合所含元素的个数.‎ ‎（1）写出的值；‎ ‎（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.‎ ‎【解析】（1）．‎ ‎（2）当时，（）．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ①当时，，结论成立；②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：1）若，则，此时有 ‎，结论成立；2）若，则，此时有，结论成立；‎ ‎3）若，则，此时有 ‎，结论成立；4）若，则，此时有，结论成立；‎ ‎5）若，则，此时有 ‎，结论成立；6）若，则，此时有，结论成立．‎ 综上所述，结论对满足的自然数均成立．‎ ‎4.【2014高考北京版理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）‎ A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 ‎【答案】B ‎【解析】用、、分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件、、中都最多只有一个元素，所以只有，，满足条件，故选B.‎ ‎5.【2014高考福建卷第15题】若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_________.‎ ‎【答案】6‎ ‎6. 【2014全国1高考理第14题】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，（学科，，网）‎ ‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；‎ ‎ 乙说：我没去过城市.‎ ‎ 丙说：我们三个去过同一城市.‎ ‎ 由此可判断乙去过的城市为__________‎ ‎【答案】A ‎【解析】3由丙说可知，乙至少去过A,B,C中的一个城市，由甲说可知，甲去过A,C且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，且没去过C城市，故乙只去过A城市．‎ ‎7. 【2014山东高考理第4题】用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）‎ A. 方程没有实根 B.方程至多有一个实根 C.方程至多有两个实根 D.方程恰好有两个实根 ‎【答案】‎ ‎8.【2014陕西高考理第14题】 观察分析下表中的数据：‎ ‎ 多面体 ‎ 面数（）‎ ‎ 顶点数（)‎ ‎ 棱数（)‎ ‎ 三棱锥 ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 9‎ ‎ 五棱锥 ‎ 6‎ ‎ 6‎ ‎ 10‎ ‎ 立方体 ‎ 6‎ ‎ 8‎ ‎ 12‎ 猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】①三棱锥：,得；‎ ‎②五棱锥：,得；‎ ‎③立方体：,得；‎ 所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：‎ 故答案为 ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题, ‎ 高考对本部分知识的考查主要在合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小.‎ ‎【2017年高考复习建议与高考命题预测】‎ 推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.证明包括直接证明与间接证明，其中数学归纳法是将无穷的归纳过程，根据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过程，要很好地掌握其原理并灵活运用.推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力，表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度，增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现. 预测2017年高考将会有题目用到推理证明的方法.复习建议：推理证明题主要和其它知识结合到一块，属于知识综合题，解决此类题目时要建立合理的解题思路.‎ ‎【2017年高考考点定位】‎ 高考的考查：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法（理科）等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小；‎ ‎【考点1】合情推理与演绎推理 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.合情推理 ‎(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．‎ ‎(2)合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：‎ ‎①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分 到整体、由个别到一般的推理；‎ 归纳推理的分类 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 a.数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；‎ b.形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．‎ ‎②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ 类比推理的分类:类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法 a.类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；‎ b.类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；‎ c.类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．‎ ‎2.演绎推理 ‎(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫做演绎推理．演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真.‎ ‎(2)模式：三段论 ‎①大前提——已知的一般原理；‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ ‎(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 归纳推理与类比推理之区别：(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．‎ ‎(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．‎ ‎2.演绎推理问题的处理方法 从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果．‎ ‎3.应用合情推理应注意的问题：‎ ‎(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．‎ ‎(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．‎ 注意：归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．‎ ‎4.归纳推理与类比推理的步骤 ‎(1)归纳推理的一般步骤：‎ ‎①通过观察个别情况发现某些相同性质；‎ ‎②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；‎ ‎③检验猜想．‎ →→ ‎(2)类比推理的一般步骤：‎ ‎①找出两类事物之间的相似性或一致性；‎ ‎②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；‎ ‎③检验猜想．‎ →→ ‎5.演绎推理的结构特点 ‎(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．‎ ‎(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．‎ ‎6.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论,归纳推理所得的结论不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具体到抽象的认知过程，是发现一般规律的重要方法．‎ 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则会犯机械类比的错误．‎ 演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届山西省榆林市二模】观察下列等式：‎ 照此规律， ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由规律知，右边为两个式子的积，一个因式为，另一个式子，为n各数的和，每个数次数为次，按降幂，按升幂，所以 ‎2. 【2016届湖北省沙市中学高三下第三次月考】在平面直角坐标系中，满足的点的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系中，满足，的点的集合对应的空间几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【考点2】直接证明与间接证明 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1．直接证明 ‎(1)综合法：‎ 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．‎ 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.‎ 框图表示：→→→…→ ‎(2)分析法：‎ 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．‎ 分析法的思维特点是：执果索因；‎ 分析法的书写格式： 要证明命题Q为真，只需要证明命题为真，‎ 从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……‎ 这只需要证明命题P为真，而已知P为真，故命题Q必为真 框图表示：→→→…→.‎ ‎2．间接证明 反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的，即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 明晰三种证题的一般规律 ‎(1)综合法证题的一般规律：‎ 用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．‎ ‎(2)分析法证题的一般规律：‎ 分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．‎ ‎(3)反证法证题的一般规律：‎ 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A.即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．‎ ‎2.综合法证题的思路：‎ ‎3.分析法证题的技巧：‎ ‎(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．‎ ‎(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．‎ ‎4.反证法证明问题的一般步骤:‎ ‎(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)‎ ‎(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)‎ ‎(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)‎ 注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论.‎ ‎5.反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟】已知数列满足：.‎ ‎（1）证明：；（2）求证：.‎ ‎【解析】（1）,可得：‎ ‎.‎ ‎（2）,所以：,累加得：,另一方面由可得：原式变形为.‎ ‎ ‎ 所以：‎ 累加得.‎ ‎2. 用反证法证明命题“若，，则三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（ ）‎ A．三个实数中最多有一个不大于零 B．三个实数中最多有两个小于零 C．三个实数中至少有两个小于零 D．三个实数中至少有一个不大于零 ‎【答案】C ‎【解析】反证法证明时，首先假设要证命题的结论的反面成立，即反设为三个实数中至少有两个小于零 ‎【考点3】数学归纳法 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1. 一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．‎ ‎2．数学归纳法：设是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题(或)成立；②在假设成立的前提下，推出也成立，那么可以断定对一切正整数成立．‎ ‎3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：‎ ‎①归纳奠基：证明当取第一个自然数时命题成立；‎ ‎②归纳递推：假设，(，)时，命题成立，证明当时，命题成立；‎ ‎③由①②得出结论．‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 明确数学归纳法的两步证明 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．‎ ‎2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题 ‎(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值的值．‎ ‎(2)由到时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．来 ‎3. 数学归纳法证明不等式的注意问题 ‎(1)当遇到与正整数有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．‎ ‎(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由成立，推证时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．‎ ‎4. “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．‎ ‎5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确：‎ ‎(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；‎ ‎(2)在运用数学归纳法时，要注意起点，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目；‎ ‎(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由到时命题变化的情况．‎ ‎6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1.用数学归纳法证明不等式“（n＞2）”过程中，由到时，不等式的左边（ ）‎ A．增加了一项 B．增加了两项 C．增加了一项，又减少了一项 D．增加了两项，又减少了一项 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，不等式左边为，比较时，增加了，但也减少了，故选D.‎ ‎2. 【2016届江苏省清江中学高三上学期12月月考】已知.‎ ‎（1）若求中含项的系数；‎ ‎（2）若是展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：.‎ ‎【解析】（1），∴中含项的系数为 ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1．逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.‎ ‎2.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论,归纳推理所得的结论不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具体到抽象的认知过程，是发现一般规律的重要方法．常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.‎ ‎3．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则会犯机械类比的错误．‎ ‎4.反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等.证明问题的一般步骤:‎ ‎(1)反设； (2)归谬； (3)立论.注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论.‎ ‎1. 设则（ ）‎ A．都不大于 B．都不小于 C．至少有一个不大于 D．至少有一个不小于 ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以≥，所以，所以的值中至少有一个不大于，故选C．‎ ‎2.【2016届河南省八市高三4月质检】已知，观察下列算式：； ，…；若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意：； ，…； …；据此可知，，则的值为.‎ ‎3. 【2016届河北省衡水中学高三一模】定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.如：，依次类推可得：，其中.设，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，，则，因为，所以时，有最小值，此时最小值为，故选C.‎ ‎4. 【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模】在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话，一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：‎ 第一个人说：“我们四个人全都是骗子”；‎ 第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子”；‎ 第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子”；‎ 第四个人说：“我是老实人”.‎ 请判断一下，第四个人是老实人吗？ .（请用“是”或“否”作答）‎ ‎【答案】是 ‎【解析】依据题设条件可知前三个人的说法都是在撒谎,因说别人是骗子的都是不诚实的,所以依据题设中的规则第四个人说的是真话,即第四个人是老实人,所以应填是.‎ ‎5. 【2016届山东省潍坊一中高三三轮冲刺模拟】已知，观察下列各式：‎ ‎…‎ 类比得：，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题由算术—几何均值不等式.改编而来.观察两式可知 即为被分成部分的分母乘积,才可约去.观察知被分成项 ,乘积可得 故答案应该填.‎ ‎6. 【2016届宁夏六盘山高中高三四模】对于函数给出定义：设是函数 的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究的结果，计算 = .‎ ‎【答案】2016‎ ‎7. 【2016届江苏省清江中学高三考前一周】如图甲所示，在直角中，、，是垂足，则有，该结论称为射影定理．如图乙所示，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比直角三角形中的射影定理，则有 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从题中条件不难发现：图甲中的对应图乙中的平面，图甲中的对应图乙中的平面，因此在类比的结论中，图甲中的边对应图乙中的面，图甲中的边对应图乙中的面，图甲中的边对应图乙中的面.‎ ‎8. 【2016届湖北省沙市中学高三下第三次月考】在平面直角坐标系中，△‎ ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e（ ）=sinC．‎ ‎【答案】‎ ‎9．【2016届浙江省杭州市高三第二次质检】设数列满足，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【解析】因为及，所以，所以.因为，所以，即.‎ ‎（2）由（1）得,所以，即，当时，也满足，所以.所以.‎ ‎10.【2016届吉林省毓文中学高三高考热身】如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线,分别与圆交于,两点．‎ ‎（Ⅰ）若,，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）若直线过点，证明：为定值，并求此定值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题知，所以，为圆的直径，的方程为，直线的方程为，所以圆心到直线的距离，所以，由中位线定理知，，；‎ ‎（Ⅱ）设、，①当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程中有：，整理得：，则有，， ；‎ ‎②当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入圆的方程可得：，，；综合①②可得：为定值，此定值为．‎ ‎11. 【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：，，，，，的横、纵坐标分别对应数列（）的前项，如下表所示： ‎ 按如此规律下去，则 ．‎ ‎【答案】1007‎ ‎【解析】，，，，，，，，，这个数列的规律是奇数项为偶数项为，故，，故．‎ ‎12. 【2015届江西省上饶市重点中学高三六校第二次联考】把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后，擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列．若902，则 ．‎ ‎【答案】436‎ ‎【解析】首先由，，因此902在甲图中的第31行第二个数，前30行共去年的数的个数为，还剩下个数，第31行的第一个数为91去掉，因此902是第436个数，即在乙图中，902对应的．‎ ‎13.‎ ‎ 【2015届北京市石景山区高三3月统一测试（一模）】有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ．‎ ‎【答案】丙 ‎14. 【2015届江苏省启东中学高三下学期期初调研测试】在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ _．‎ ‎【答案】2；‎ ‎【解析】设长方体的棱长分别为a，b，c，如图所示，所以AC1与下底面所成角为∠C1AC，记为α，所以cos2α＝，同理cos2 β＝，cos2γ＝，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.‎ ‎15. 【2016届山东省潍坊中学高三上学期开学】观察下列等式 ‎ 第一个式子 ‎ 第二个式子 ‎ 第三个式子 ‎ 第四个式子 照此规律下去 ‎（Ⅰ）写出第5个等式；‎ ‎（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）第5个等式 ；‎ ‎（Ⅱ）猜测第个等式为，再用数学归纳法加以证明．‎ 试题解析：（Ⅰ）第5个等式 ‎ ‎（Ⅱ）猜测第个等式为 ‎ 证明：（1）当时显然成立；‎ ‎（2）假设时也成立，‎ 即有 ‎ 那么当时左边 而右边这就是说时等式也成立．‎ 根据（1）（2）知，等式对任何都成立．‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1.从，推广到第个等式为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由归纳推理，得第个等式为；‎ 故填．‎ ‎【入选理由】本题主要考查归纳推理等基础知识，意在考查学生的合情推理能力和基本运算能力．能用归纳和类比进行简单的推理是高考对合情推理的基本要求．相比较而言，归纳推理是高考的一个热点．本题体现了归纳推理的思想，需从所给的式子对中总结归纳出其规律．题目不难，体现了高考的热点，故选此题．‎ ‎2. “若为椭圆（）上异于长轴端点的任一点, 分别是左、右焦点, 若, ，则.”类比椭圆的性质，可得“若为双曲线（）右支上除顶点外的任一点, 分别是左、右焦点, 若, ，则 .”‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于在椭圆中，在双曲线中，故类比结果应是.‎ ‎【入选理由】本题主要考查椭圆与直线位置关系问题，类比推理等基础知识，意在考查学生简单的逻辑推理能力．归纳和类比是两种重要的思维形式，是高考的热点，通常以选择题或填空题的形式考查．本题以椭圆为背景类比出双曲线的性质，题目不难，但具有较好的代表性，故押此题.‎ ‎3. 已知正整数的3次幂有如下分解规律：‎ ‎；；；；…若的分解中最小的数为，则的值为 .‎ ‎【答案】10‎ ‎【入选理由】本题主要考查归纳推理等基础知识，意在考查学生的合情推理能力和基本运算能力．能用归纳和类比进行简单的推理是高考对合情推理的基本要求．相比较而言，归纳推理是高考的一个热点．本题体现了归纳推理的思想，需从所给的式子对中总结归纳出其规律．题目不难，体现了高考的热点，故选此题．‎