2017-2018学年四川省广安市高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年四川省广安市高二上学期期末数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省广安市高二上学期期末数学理试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 对变量有观测数据，得散点图(1)；对变量有观测数据(，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )‎ A. 变量与正相关，与正相关 B. 变量与正相关，与负相关 C. 变量与负相关，与正相关 D. 变量与负相关，与负相关 ‎【答案】C ‎【解析】由图（1）可知，随的增大而减小，各点呈下降趋势，变量与负相关，‎ 由图（1）可知，随的增大而增大，各点呈上升趋势，变量与正相关，‎ 故选C.‎ ‎2. 若圆关于直线对称，则的值为( )‎ A. B. 1 C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆，化简为：‎ 若圆关于直线对称，‎ 则圆心(−1,2)在直线3x+y+a=0上，故有−3+2+a=0，解得a=1，‎ 故选：B.‎ ‎3. 下列命题中的真命题是( )‎ A. ，使得 B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】A：由，‎ 则，所以，错误；‎ B：当时，，错误；‎ C：，正确；‎ D：在区间内，时，，错误，‎ 故选C。‎ 点睛：本题中A由，考察辅助角公式的应用；B考察指数函数的认识；C考察二次函数的化简；D考察正弦函数和余弦函数的认识。充分考察了函数的图象和性质，学生需充分掌握函数的基本性质。‎ ‎4. 广安市某学校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 和 B. 和92 C. 91和 D. 92和92‎ ‎【答案】A ‎【解析】由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，‎ 所以其中位数为，‎ 平均数为，‎ 故选A.‎ ‎5. 直线的倾斜角的范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线的斜率为−，‎ ‎∵−1⩽⩽1，‎ ‎∴−1⩽k⩽1，‎ ‎∴倾斜角的取值范围是.‎ 故选B.‎ ‎6. 已知，，若，，且平面，则实数分别为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得.‎ 考点：空间向量的坐标运算.‎ ‎7. 如图，矩形中，点为边的中点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自内部的概率等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设矩形长为a,宽为b,则点取自△ABE内部的概率P===.故选C.‎ ‎8. 方程表示的曲线是( )‎ A. 两条直线 B. 两条射线 C. 两条线段 D. 一条直线和一条射线 ‎【答案】D ‎【解析】由，‎ 得2x+3y−1=0或.‎ 即2x+3y−1=0(x⩾3)为一条射线，或x=4为一条直线.‎ ‎∴方程表示的曲线是一条直线和一条射线.‎ 故选D.‎ 点睛：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：‎ ‎（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；‎ ‎（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。‎ 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。‎ 在求解方程时要注意变量的范围.‎ ‎9. 某高中在校学生2000人，为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动，每人都参加而且只参加了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：‎ 高一年级 高二年级 高三年级 跑步 登山 其中，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取( )‎ A. 36人 B. 60人 C. 24人 D. 30人 ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×＝36.‎ ‎10. 若：直线与双曲线只有一个公共点，：直线与双曲线相切，则是的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】直线与双曲线有一个公共点时，有可能是直线与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线相切不成立；‎ 直线与双曲线相切时，可以推出直线与双曲线有一个公共点，命题成立，‎ 所以是的必要不充分条件.‎ 故选B.‎ 点睛：直线与双曲线的位置关系用数形结合研究比较简洁，当直线与双曲线只有一个公共点时，直线与双曲线未必相切，可以是与渐近线平行，与双曲线类似的还有抛物线，直线与抛物线除了相切可以有一个公共点外，还可以是与对称轴平行.‎ ‎11. 已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为。因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆。与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C。‎ ‎ 【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系。由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆。再由点M在椭圆的内部，可得，因为 。所以由得，由关系求离心率的范围。‎ 视频 ‎12. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )‎ A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z="0" 和x=0，z=a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数），空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即两边平方，化简可得，过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a，分别代入所得式子z=0时 代入可以得到，图形是个双曲线，z=a时，代入可以得到，图形也是个双曲线 考点：抛物线的定义；双曲线的标准方程 视频 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 四进制数化为十进制数为____.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】四进制数.‎ 故答案为：27.‎ ‎14. 动圆过点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设动圆圆心坐标为(x,y)‎ 动圆过定点P(1,0)，且与定直线l:x=−1相切 即圆心到定点P和到直线l的距离都等于半径 根据两点间的距离公式可知,(x−1)2+y2=(x+1)2整理得.‎ 故答案为：.‎ 点睛：求轨迹方程的常用方法：‎ ‎（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．‎ ‎（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．‎ ‎（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．‎ ‎（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．‎ ‎15. 执行如图所示的程序框图，如果输入的是5，那么输出的是________.‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】执行程序框图：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 不成立，输出 故答案为：120.‎ ‎16. 下列命题中，所有正确命题的序号是_____.‎ ‎①若，分别是平面的法向量，则；‎ ‎②若，分别是平面，的法向量，则；‎ ‎③若是平面的法向量，与共面，则；‎ ‎④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】①中平面α,β是指不重合两平面,由⇒α∥β,由α∥β⇒，正确；‎ ‎②α⊥β,则α与β成90°角,由圆的内接四边形对顶角互补知法向量垂直,反之当法向量垂直,则成90°‎ ‎，由内接四边形对顶角互补，知两平面垂直，正确；‎ ‎③与α共面，则在平面内或与平面平行，∴平面的法向量与直线a垂直，正确；‎ ‎④若两个平面的法向量不垂直,则成角不是90°,则由圆内角四边形对顶角互补知两平面所成的角不是90°，正确。‎ ‎∴正确命题的序号实数①②③④.‎ 故答案为：①②③④.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知直线的方程为.‎ ‎(1)若直线与平行， 且过点，求直线的方程；‎ ‎(2)若直线与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎【解析】试题分析：（1）由于两直线平行，可设直线方程为，将点代入，可求得直线的方程；（2）由于两直线垂直，故设直线方程为，然后求出横截距和纵截距，利用所围成三角形面积建立方程，求出的值.‎ 试题解析：（Ⅰ）由直线与平行，可设的方程为.‎ 将带入，得，解得，‎ 直线的方程为 ‎（Ⅱ）由直线与垂直，可设的方程为，‎ 令，得，令，得，‎ 故三角形面积，‎ 化简得，即，‎ 直线的方程是.‎ ‎18. 分别抛掷两颗骰子各一次，观察向上的点数，求：‎ ‎(1)两数之和为5的概率；‎ ‎(2)以第一次向上的点数为横坐标，第二次向上的点数为纵坐标的点在圆内部的概率.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）列举可得共有36个等可能基本事件，“两数之和为5”含有4个基本事件，由概率公式可得； （2）点（x，y）在圆x2+y2=15的内部包含8个事件，由概率公式可得．‎ 试题解析：‎ 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件.‎ ‎(1)记“两数之和为5“为事件，则事件中含有4个基本事件：，，，，所以.‎ ‎∴两数之和为5的概率为.‎ ‎(2)基本事件总数为36，点在圆的内部记为事件，则包含8个事件中所含基本事件：，，，，，，，，所以，‎ ‎∴点在圆内部的概率为.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎19. 设：实数满足，：实数满足.‎ ‎(1)若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若其中且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）若，根据p∧q为真，则p，q同时为真，即可求实数x的取值范围； （2）根据￢p是￢q的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由得，‎ 当时，，即为真时实数的取值范围是，‎ 由，得，得，‎ 即为真时实数的取值范围是，‎ 若为真，则真且真，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎(2)若是的充分不必要条件，则，‎ ‎∴，‎ 由，，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎20. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为和的中点.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) 见解析(2) =‎ ‎【解析】试题分析：（1）分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，面的一个法向量是，由即可证得； （2）设点求解平面的一个法向量为，平面的一个法向量利用平面的法向量的夹角与二面角的大小之间的关系建立方程求解即可．‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明：如图所示，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由已知得 ‎，，，，，，，，‎ ‎∵平面的一个法向量是，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，而平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)解：设点，‎ 平面的一个法向量为，‎ 则，∵，，‎ ‎∴，取，则，，∴，‎ 平面的一个法向量，‎ 依题意知，或，‎ ‎∴，即，解得或(舍)，‎ ‎∵，‎ ‎∴在棱上存在一点，当的长为时，二面角的大小为.‎ ‎21. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于两点，以 为底边作等腰三角形，顶点为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)为椭圆上任意一点，若，求的最大值和最小值.‎ ‎(3)求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2) 最大值为1和最小值为（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由离心率及焦点坐标，易得方程；‎ ‎（2）设则直线的方程为，与椭圆联立由得的范围，又，即可得解；‎ ‎（3）设直线的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理得中点坐标，从而由的斜率，解得，进而得，由点到直线距离求得，利用求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由已知得，，‎ 解得，又，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)设则直线的方程为，则.‎ 由，得①‎ ‎，的最大值为1和最小值为.‎ ‎(3)设直线的方程为，‎ 由，得①‎ 设的坐标分别为， ，中点为，‎ 则，，‎ 因为是等腰的底边，所以，‎ 所以的斜率，‎ 解得，此时方程①为，‎ 解得，，所以，，‎ 所以，此时，点到直线的距离 ‎，所以的面积.‎ ‎22. 已知动点，都在曲线(为参数)上，对应参数分别为与，为的中点.‎ ‎(1)求曲线的普通方程；‎ ‎(2)将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.‎ ‎【答案】(1) (2) ，当时，， 的轨迹过坐标原点 ‎【解析】试题分析：（1）消去参数，从而得曲线的普通方程； （2）根据题意写出P，Q两点的坐标：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标，从而得出M的轨迹的参数方程；利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离，再验证当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．‎ 试题解析：‎ ‎(1)曲线的直角坐标方程：.‎ ‎(2)依题意有，，因此，的轨迹的参数方程为(为参数，)，‎ 点到坐标原点的距离，当时，，‎ 故的轨迹过坐标原点.‎ ‎23. 已知，，，证明：‎ ‎(1)；‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1) 见解析(2) 见解析 ‎【解析】试题分析：（1）展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论，注意向靠拢；‎ ‎（2）利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论．‎ 试题解析：（1）‎ ‎（2）因为 所以，因此a+b≤2.‎ 点睛:利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．‎