数学理卷·2018届广东省揭阳市惠来县一中高三下学期第一次阶段考试（2018

数学理卷·2018届广东省揭阳市惠来县一中高三下学期第一次阶段考试（2018

惠来一中2017—2018学年度第二学期第一次阶段考试 高三理科数学 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在（　 　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.设集合，，则 （ 　　）‎ A．或 B． C． } D．‎ ‎3. 甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了 ‎4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎5.本学期王老师任教两个平行班高三A班、高三B班、两个班都是50名学生,如图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比,根据图表判断下列结论不正确的是（ ）‎ 历次数学测试班级平均分跟踪 ‎ ‎ A.A班的数学成绩平均水平好于B班 B.B班的数学成绩没有A班稳定 C.下次考试B班的数学平均分数高于A班 D.在第1次考试中,A,B两个班的总平均分为98‎ ‎6.等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，公差与公比均为3，则ab1＋ab2＋ab3＝(　 　)‎ A.64 B.32 C.38 D.33‎ ‎7. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为、，左顶点为，左焦点为，若直线与直线互相垂直，则椭圆的离心率为 A.  B.  C.  D. ‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D.6‎ ‎9.奇函数满足，且在上是减函数，‎ 则的解集为（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎10．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，，，则球的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎11．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为（ ）‎ A. 28 B. 36 C. 48 D. 56‎ ‎12. 定义:如果函数的导函数为,在区间上存在使得,,则称为区间上的"‎ 双中值函数".已知函数是上的"双中值函数",则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 设，则展开式的常数项为　　．‎ ‎14. 已知向量，若（为实数），则_______.‎ ‎15．已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______.‎ 16. 已知数列，若 ‎，则的表达式为：=_____________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程。‎ ‎17. （12分）在中，内角、、的对边分别为、、，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小； ‎ ‎（Ⅱ）若点满足，且，求的取值范围．‎ ‎18.（本小题满分12分）2018年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市（简称创文）”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”‎ 基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分， 内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率.‎ ‎（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；‎ ‎（2）若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；‎ ‎（3）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望.‎ ‎19. （12分）如图,在四棱锥中，平面平面，，，，，点在棱上，且.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点。‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）若圆与椭圆交于四点，当半径为多少时，四边形的面积最大？并求出最大面积。‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数． ‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为1，求函数在上的最值； ‎ ‎（Ⅱ）令，若时，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当且时，证明: ．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，‎ 请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为：为参数，)，曲线的极坐标方程为：.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程;‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点, 若，求直线的斜率.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.‎ 惠来一中2017--2018学年度第二学期第一次阶段考试 高三理科数学答案 ‎1-6.DCCBCD 7-12.CBBBCB ‎13. 14. . 15． 16. ‎ ‎17. 解：（Ⅰ）‎ 根据正弦定理得   ………1分 ‎  ………3分 又  ………5分 ‎（Ⅱ）在中，根据余弦定理得………6分 即   ………7分 ‎                                           ………8分 ‎        ‎ 又  ………10分 ‎ ………11分 又 ,   ………12分 18. 解（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，‎ 在频率分布直方图中，评分在的频率为：；‎ ‎ ………2分 ‎（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，‎ 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，‎ 该人非常满意该项目的概率为， ………3分 现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：；‎ ‎ ………5分 ‎（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， ………6分 随机变量的所有可能取值为0，1，2， ………7分 ‎ ………8分 ‎ ………9分 ‎ ………10分 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ………11分 的数学期望. ………12分 ‎19. 解：（Ⅰ）过点作交于，‎ ‎，，‎ 四边形为正方形，且， ………1分 在中，，在中，                ………2分 ‎   ‎ 又平面平面，平面平面 平面    ………3分 平面，且 平面    ‎ ‎                 ………4分 ‎（Ⅱ） ‎ 又平面平面，平面平面 平面，          ‎ 以点为坐标原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， ‎ ‎ ………5分 ‎ ………6分 假设存在实数使得二面角的余弦值为，令 点在棱上，‎ 设 则， ………7分 平面，平面的一个法向量为   ‎ ‎ ………8分 设平面的一个法向量为 由得令得 取                   ………10分 ‎      ‎ 化简得又           ………11分 存在实数使得二面角的余弦值为.  ‎ ‎ ………12分 ‎20. 解：（I）设焦距为，由已知， ……………………1分 ‎ ………………………2分 抛物线的焦点为 ， …………………………3分 ‎∴， ， …………………………4分 ‎∴椭圆的标准方程为. …………………………5分 ‎（II）联立, … ………………………6分 ‎（1）-（2）可得:，，得出： ……………7分 由圆与椭圆的对称性可知：四边形设为矩形，‎ 不妨设点为圆与椭圆在第一象限的交点，那么……8分 ‎ …………9分 设 …………10分 当 …………………………11分 即当 …………………………12分 ‎21.解（Ⅰ）∵，∴，∴， ………1分 ‎∴，，记，∴，‎ 令得． ………2分 当时，，单减；当时，，单增， ‎ ‎∴，故恒成立，‎ 所以在上单调递增， ………3分 ‎∴，． ………4分 ‎（2）∵，∴．‎ 令，∴，‎ 当时，，∴在上单增，∴． ‎ ‎ ………5分 ‎①当即时，恒成立，即，∴在上单增，‎ ‎∴，解得，所以． ………6分 ‎②当即时，∵在上单增，且， ‎ 当时，，‎ ‎∴，使，即．‎ 当时，，即，单减；‎ 当时，，即，单增． ‎ ‎∴， ………8分 ‎∴可得，由， ∴．‎ 记，，‎ ‎∴，∴在上单调递增，‎ ‎∴，∴， ‎ 上，． ………9分 ‎（3）证明：等价于，‎ ‎ 即．‎ ‎∵，∴等价于． ………10分 令 则． ∵，∴．‎ 当时，，单减；当x＞1时，，单增．‎ ‎∴在处有极小值，即最小值， ‎ ‎∴， ………11分 ‎∴且时，不等式成立． ………12分 ‎22.解：（Ⅰ）， ………1分 由,得. ………3分 ‎ 所以曲线的直角坐标方程为. ………4分 ‎（Ⅱ）把 代入，整理得 ‎ ‎ ………5分 设其两根分别为 ，则 ………6分 ‎ ‎ ‎ ………7分 ‎ ‎ 得，， ………9分 ‎ 所以直线的斜率为. ………10分 ‎ ‎23.解：（Ⅰ）当时， ∴，∴； ………1分 当时，∴； ………2分 当时，∴，∴ ………3分 综上所述，，即不等式的解集为. ………4分 ‎（Ⅱ）当时，， ………5分 ‎ ，即，即. ………6分 也就是 ，在恒成立， ………7分 当时，取得最小值， ………8分 由，得，即m的取值范围是. ………10分