数学理卷·2017届广东省五校协作体高三上学期第一次联考（2016

数学理卷·2017届广东省五校协作体高三上学期第一次联考（2016

广东省五校协作体2017届高三第一次联考试卷 理科数学 命题学校：广州市真光中学　　命题：金明　　审题：钟三明　2016.12‎ 本试卷共23题（含选做题）。全卷满分150分，考试用时120分钟。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则中的元素个数为( )‎ ‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．5‎ ‎2．已知a为实数，若复数为纯虚数，则的值为( ) ‎ ‎ A．1 B．‎0 C． D．‎ ‎3．下列命题错误的是( )‎ ‎ A．若为假命题，则为假命题 ‎ B．若，则不等式成立的概率是 ‎ C．命题“R使得”的否定是：“R,”‎ ‎ D．已知函数可导，则“”是“是函数的极值点”的充要条件 ‎4．从1至9共9个自然数中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为( )‎ ‎ A． B． C． D． ‎5．设是所在平面内一点，，则( )‎ ‎ A．　 B． C． D． ‎ ‎6．已知点分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．不等式组的解集记为，有下面四个命题：‎ ‎； ；‎ ‎； .‎ 其中的真命题是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知函数，在处取得极大值，记,程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 侧视图 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ 正视图 俯视图 ‎10．已知方程在上有两个不同的解，则下面结论正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数有极值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知，则的展开式中常数项为____．‎ ‎14. 已知向量=（1，），=（3, m），且在上的投影为3，则向量与夹角为_________．‎ ‎15. 如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为‎25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进‎50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得 =　 　．‎ ‎16．两圆和恰有三条公切线，若且，则的最小值为 ．‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 数列的前项和满足，且成等差数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）下图是某市‎11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择‎11月1日至‎11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求此人到达当日空气质量重度污染的概率;‎ ‎（Ⅱ）设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望．‎ A B C F D E O ‎19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD中，∠ABC = 60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB = AE = 2． ‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE； ‎ ‎（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角的为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小． ‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若椭圆C上存在点P满足（其中为坐标原点），求实数的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）记，判断在区间内的零点个数并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）记在内的零点为，，若（）在内有两个不等实根，（），判断与的大小，并给出对应的证明．‎ ‎（选考题）请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，直线 ‎（为参数），以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，求的值．‎ ‎23.（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式：；‎ ‎（Ⅱ）若的解集为，，求的最小值． ‎ 广东省五校协作体2017届高三第一次联考 理科数学参考答案及评分细则 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ BDDCA BDCBD CA 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13． 14． 15． 16． 1‎ 三、解答题（第17-21题每题12分，第22,23题每题10分）‎ ‎17．解：（I）由， ‎ 当n≥2时，， …………………………1分 ‎ ‎∴， ‎ 化为． …………………………2分 ‎ 由a1，a2+1，a3成等差数列． ‎ ‎∴2（a2+1）=a1+a3， …………………………3分 ‎ ‎∴2（‎2a1+1）=a1+‎4a1， ‎ 解得a1=2． …………………………4分 ‎ ‎∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2． ‎ ‎∴an=2n． …………………………6分 ‎ ‎（II）an+1=2n+1，Sn==2n+1﹣2，Sn+1=2n+2﹣2． ………8分 ‎ bn===． ………10分 ‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=++…+ ‎ ‎=． ……… 12分 ‎18.解：设表示事件“此人于11月日到达该市”（ =1,2，…，12）.‎ 依题意知,,且.--------------------------2分 ‎（1）设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则,‎ 所以 ‎.‎ 即此人到达当日空气质量重度污染的概率为.-----------------------------5分 ‎(2)由题意可知，的所有可能取值为0,1,2，3且-----------------------------6分 P(=0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)=,-------------------7分 P(=2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =,-------------------------------8分 P(=3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) =,-------------------------------9分 P(=1)=1－P(=0)－P(=2)－P(=3)=,--------------10分 ‎(或P(=1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)=)‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎-----------------------------------------11分 故的期望．---------------------12分 ‎19．解（Ⅰ）证明：四边形ABCD是菱形， ‎ ‎． -------------------2分 ‎ 平面ABCD,平面ABCD ‎ ‎． -------------------2分 ‎ ‎, ‎ ‎∴平面ACFE． -------------------5分 ‎ ‎（Ⅱ）解：以O为原点，OA，OB为x，y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系，则，，，， --6分 设平面的法向量为， ‎ 则有，即令，则 -----------8分 ‎ 由题意得，解得或． ‎ 由，得 ------10分 即所求的异面直线所成的角余弦值为 ---------------------12分 ‎20．解：（Ⅰ）由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为， ‎ ‎∴圆心到直线的距离（*）--------------------1分 ‎∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，‎ ‎∴,， 代入（*）式得， ∴， ‎ ‎ 故所求椭圆方程为 ………………………………4分 ‎（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，‎ 将直线方程代入椭圆方程得：， ‎ ‎∴，解得． ‎ 设,，则， -----------6分 ‎∴‎ 由，得 ‎ 当时，直线为轴，则椭圆上任意一点P满足，符合题意； ‎ 当时，‎ ‎∴，．--------------------------------9分 将上式代入椭圆方程得：，‎ 整理得： =是的递增函数，‎ 由知，，所以，‎ 综上可得． -----------------------------------12分 ‎21．解（1）证明：，定义域为，，‎ 而，故，即在上单调递增， …………2分 又，，而在上连续，故根据根的存在性定理有：在区间有且仅有唯一实根 ………………4分 显然当时，，因而单增；当时，，，因而递减；在有两不等实根，，则， …………7分 显然当时，，下面用分析法给出证明．要证：即证，而在上递减，故可证，又由，即证，即，…………9分 记，，其中．‎ ， …………10分 记，，当时，；时，故，而故，而，从而，因此，…………11分 即单增．从而时，即，‎ 故得证 …………12分 ‎22. （本题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）直线的普通方程为，…………………………………………………………2分 由，‎ 即曲线的直角坐标方程为，…………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得 ‎，即，‎ 设方程的两根分别为，则 ‎．……………………………………………10分 ‎23.（本题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）当时，不等式为，即，‎ ‎∴或，即或，‎ ‎∴原不等式的解集为；…… …………………………………………………5分 ‎（Ⅱ），‎ ‎∵的解集为 ‎∴…………………………………………………………………7分 ‎∴，‎ ‎∴（当且仅当即时取等号）‎ ‎∴的最小值为2．…………………………………………………………………10分