2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练5　函数的单调性与最值

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练5　函数的单调性与最值

课时分层训练(五)　函数的单调性与最值 ‎(对应学生用书第216页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)‎ A．y＝2－x　　　　 B．y＝x C．y＝log2x D．y＝－ B　[由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．]‎ ‎2．(2017·广州七中期末)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　) ‎ ‎【导学号：79140027】‎ A．[1,2] B．[－1,0]‎ C．[0,2] D．[2，＋∞)‎ A　[‎ f(x)＝|x－2|x＝其图像如图，‎ 由图像可知函数的单调递减区间是[1,2]．]‎ ‎3．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，1] B．(－∞，－1]‎ C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)‎ A　[因为函数f(x)在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.]‎ ‎4．(2018·北京西城区二模)下列函数中，值域为[0,1]的是(　　)‎ A．y＝x2 B．y＝sin x C．y＝ D．y＝ D　[A中，x2≥0；B中，－1≤sin x≤1；C中，0＜≤1；D中，0≤≤1，故选D.]‎ ‎5．定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2，则函数f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值等于(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．6 D．12‎ C　[由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，‎ 当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.‎ ‎∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数，‎ ‎∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.]‎ 二、填空题 ‎6．函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________．‎ ‎(－∞，－1)　[由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．‎ 令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，‎ t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2‎ ‎－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]‎ ‎7．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________. ‎ ‎【导学号：79140028】‎ ‎6　[易知f(x)在[a，b]上为减函数，‎ ‎∴即∴ ‎∴a＋b＝6.]‎ ‎8．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________．‎ ‎(－∞，1]∪[2，＋∞)　[函数f(x)＝x2－2ax－3的图像开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．‎ 由图像可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，但单调性不同，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a＞0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值. ‎ ‎【导学号：79140029】‎ ‎[解]　f(x)＝x＋，当a＞1时，a－＞0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝；当0＜a＜1时，a－＜0，此时f(x)在[0,1]上为减函数，∴g(a)＝f(1)＝a；当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.∴g(a)＝∴g(a)在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，∴当a＝1时，g(a)取最大值1.‎ ‎10．已知f(x)＝(x≠a)．‎ ‎(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；‎ ‎(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)证明：设x1＜x2＜－2，‎ 则f(x1)－f(x2)＝－ ‎＝.‎ ‎∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，‎ ‎∴f(x1)＜f(x2)，‎ ‎∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．‎ ‎(2)f(x)＝＝＝1＋，‎ 当a＞0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数，‎ 又f(x)在(1，＋∞)内单调递减，‎ ‎∴0＜a≤1，故实数a的取值范围是(0,1]．‎ B组　能力提升 ‎11．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．[－1,2) B．[0,2)‎ C．[0,1) D．[－1,1)‎ C　[函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，∴函数在[－2,2]上单调递增，∴ ‎∴∴0≤a＜1，故选C.]‎ ‎12．(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－1,0) B．[0,1]‎ C．[－1,1] D．[－2,2]‎ C　[因为函数f(x)是偶函数，故f(－a)＝f(a)，原不等式等价于f(a)≤f(1)，即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1.]‎ ‎13．函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．‎ ‎(－∞，－4)　[由于y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y＝＝＝2＋在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜－4.]‎ ‎14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.‎ ‎(1)求f(1)的值；‎ ‎(2)证明：f(x)为单调递减函数；‎ ‎(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值. ‎ ‎【导学号：79140030】‎ ‎[解]　(1)令x1＝x2>0，‎ 代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.‎ ‎(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，‎ 当x>1时，f(x)<0，∴f<0，‎ 即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)

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