2017-2018学年湖北省孝感市八校联考高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年湖北省孝感市八校联考高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年湖北省孝感市八校联考高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 某校共有850名高二学生参加2017年上学期期中考试，为了了解这850名学生的数学成绩，决定从中抽取50名学生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，50名学生的数学成绩是（ ）‎ A. 总体 B. 样本的容量 C. 个体 D. 从总体中抽取的一个样本 ‎【答案】D ‎【解析】由抽样的基本知识得，“50名学生的数学成绩”是从总体中抽取的一个样本。选D。‎ ‎2. 从孝感地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）‎ A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 ‎【答案】C ‎【解析】由于该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大，所以最合理的抽样方法是按按学段分层抽样。选C。‎ ‎3. 武汉市2016年各月的平均气温（）数据的茎叶图，如图所示，则这组数据的中位数是（ ）‎ A. 21 B. 22 C. 23 D. 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】由茎叶图可得这组数据按照从小到大的顺序排列为4,8，12,15,18,21,23,23,23,28,33,34‎ ‎，共12个，其中第6个、第7个数分别为21,23，所以这组数据的中位数为22。选B。‎ ‎4. 已知样本数据，，…，的平均数是，则新的样本数据，，…，的平均数为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得新数据的平均数为 ‎ 。‎ 选C。‎ ‎5. 口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是以下事件“①2张卡片都不是红色；②2张卡片恰有一张红色；③2张卡片至少有一张红色；④2张卡片恰有两张绿色”中的哪几个？（ ）‎ A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”，“2张都为绿色”，“2张都为蓝色”，“1张红色1张绿色”，“1张红色1张蓝色”，“1张绿色1张蓝色”，再给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件为“2张卡片都不是红色”，“2张卡片恰有一张红色”，“2张卡片恰有两张绿色”，即①②④满足条件。选A。‎ ‎6. 计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（ ）‎ A. 2,3 B. 2,2 C. 0,0 D. 3,2‎ ‎【答案】A ‎【解析】运行程序可得，‎ 所以输出的结果为2,3。选A。‎ ‎7. 某校2017年高二上学期给学生分发的教材有：语文3本、数学3本、英语8本、物理2本、生物3本和化学2本，从中任取1本，取出除语文和英语以外的课本的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，从所分发的教材中任取1本的所有情况有21种，其中“取出除语文和英语以外的课本”的情况共有10种，由古典概型概率公式可得所求概率为。选D。‎ ‎8. 某工厂生产某型号水龙头，成功率和每吨铜成本（元）之间的回归直线方程为，表明（ ）‎ A. 成功率每减少，铜成本每吨增加314元 B. 成功率每增加，铜成本每吨增加2元 C. 成功率每减少，铜成本每吨增加2元 D. 成功率不变，铜成本不变，总为314元 ‎【答案】C ‎【解析】由回归直线方程可得，成功率和每吨铜成本（元）之间成负相关，故可得当成功率每减少时，铜成本每吨增加2元。选C。.....................‎ ‎9. 《九章算术》是我国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数．如图程序框图的算法思路源于“更相减损术”，若输入的，，分别为18,14,0，则输出的,算得（ ）‎ A. 16 B. 32 C. 64 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，依次运行程序框图所示的程序可得，‎ 第一次：；‎ 第二次：；‎ 第三次：；‎ 第四次：；‎ 第五次：‎ 第六次：。故满足，输出。‎ 所以。选C。‎ ‎10. 某公园有一个露天剧场，其场地呈正六边形，如图所示，若阴影部分可以放200个座位，则整个场地估计可以坐（ ）个观众 A. 400 B. 500 C. 550 D. 600‎ ‎【答案】D ‎【解析】设整个场地估计可以坐个观众，由题意及随机模拟的方法可得 ‎，解得。即整个场地估计可以坐个观众。选D。‎ ‎11. 用秦九昭算法计算多项式当时的值时，则（ ）‎ A. 63 B. 31 C. 15 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】多项式可改写为，‎ 按照从内向外的顺序，依次计算一次多项式当时的值：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎。选B。‎ ‎12. 执行如图所示的程序框图，则输出的数值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得此程序框图的功能是计算的值，‎ 又。‎ 选B。‎ 点睛：识别算法框图是高考的重点和热点，解决这类问题要注意：‎ ‎（1）要明确算法框图中的顺序结构、选择结构和循环结构；‎ ‎（2）要识别运行算法框图，理解框图解决的实际问题；‎ ‎（3）按照题目的要求完成解答． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 将八进制数化为十进制的数是__________；再化为三进制的数__________．‎ ‎【答案】 (1). 454 (2). 121211‎ ‎【解析】， ‎ 根据除k取余法可得下面的算式：‎ ‎ 余数为1；‎ ‎ 余数为1；‎ ‎ 余数为2；‎ ‎ 余数为1；‎ ‎ 余数为2；‎ ‎ 余数为1.‎ 所以。‎ 答案：，‎ ‎14. 153与119的最大公约数为__________．‎ ‎【答案】17‎ ‎【解析】因为，‎ 所以153与119的最大公约数为17.‎ 答案：17‎ ‎15. 一次射击训练中，某战士命中10环的概率是0.21，命中9环的概率为0.25，命中8环的概率为0.35，则至少命中8环的概率为__________．‎ ‎【答案】0.81‎ ‎【解析】由概率的加法公式可得至少命中8环的概率为0.21+0.25+0.35=0.81。‎ 答案：0.81‎ ‎16. 执行如图所示的程序框图，如果输出，则正整数为__________．‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】依次运行框图所示的程序，可得 第一次：，不满足条件；‎ 第二次：，不满足条件；‎ 第三次：，不满足条件；‎ ‎……‎ 第二十四次：，不满足条件；‎ 故判断框内的条件是。‎ 答案：27‎ 点睛：程序框图的补全及逆向求解问题的解题策略：‎ ‎(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；‎ ‎(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；‎ ‎(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 孝感市及周边地区的市民游玩又添新去处啦！孝感熙凤水乡旅游度假区于2017年10月1日正式对外开放．据统计，从2017年10月1日到10月7日参观孝感市熙凤水乡旅游度假区的人数如表所示：‎ 日期 ‎1日 ‎2日 ‎3日 ‎4日 ‎5日 ‎6日 ‎7日 人数（万）‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎（1）把这7天的参观人数看成一个总体，求该总体的众数和平均数（精确到0.1）；‎ ‎（2）用简单随机抽样方法从10月1日到10月4日中抽取2天，它们的参观人数组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1万的概率．‎ ‎【答案】（1）众数为8．平均数为，（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据众数、平均数的定义求解；（2）通过列举得到所有基本事件总数，进而得到事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1万”包含的基本事件数，然后根据古典概型概率公式求解。‎ 试题解析：‎ ‎（1）总体的平均数为，‎ 总体的众数为8．‎ ‎（2）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1万”．‎ 从10月1日到10月4日中抽取2天，它们的参观人数可能的基本事件有：，，，，，共6个，‎ 事件包含的基本事件有：，，共3个，‎ 由古典概型概率公式得．‎ 所以样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1万的概率为。‎ ‎18. 某校高三共有800名学生，为了解学生3月月考生物测试情况，根据男女学生人数差异较大，从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，并整理得如图频率分布直方图．‎ ‎（1）若成绩不低于60分的为及格，成绩不低于80分的为优秀，试估计总体中合格的有多少人？优秀的有多少人？‎ ‎（2）已知样本中有一半的女生分数不小于80，且样本中不低于80分的男女生人数之比2:3，试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎【答案】（1）及格的有640人，优秀的有160人．（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图得到成绩及格和成绩优秀的频率，根据“频数=频率×样本容量”得的人数；（2）根据频率分布直方图得到样本中不低于80分的女生人数为40人，所以样本中分数不小于80的女生人数为，从而得到样本中的女生人数为，男生人数为，然后根据分层抽样的原理可得男生和女生人数的估计比例。‎ 试题解析：‎ ‎（1）根据频率分布直方图可知，‎ 总体中及格的人数估计为，‎ 总体中优秀的人数估计为，‎ 所以估计总体中及格的有640人，优秀的有160人．　‎ ‎（2）由题意可知，样本中分数不小于80的学生人数为，‎ 所以样本中分数不小于80的女生人数为，‎ 所以样本中的女生人数为，男生人数为，‎ 男生和女生人数的比例为，‎ 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为．‎ ‎19. ‎ 为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展《中国汉字听写大会》的活动．为响应学校号召，2（9）班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩画出茎叶图，如图所示，甲的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用表示．（把频率当作概率）．‎ ‎（1）假设，现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？‎ ‎（2）假设数字的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．‎ ‎【答案】（1）派甲参加比较合适（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据 茎叶图得到，，故得两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适；（2）根据，可得的取值可能为，由古典概型概率公式可得所求概率为。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由茎叶图可知甲、乙两人成绩的平均数为 ‎，‎ ‎，‎ ‎∴ ‎ ‎，‎ ‎∵，，‎ ‎∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ ‎∴，‎ 又为整数，‎ ‎∴，‎ 又的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，‎ ‎∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为．‎ 点睛：（1）茎叶图保留了原始数据的所有特征，概率经常和统计图表结合在一起考查，解题时要从统计图表中找到所需的数据，然后根据概率公式求解。‎ ‎（2）比较两个样本优劣的时候，要看样本的平均数和方差，当平均数相等时，再比较方差的大小，并在此基础上作出选择。‎ ‎20. 孝感星河天街购物广场某营销部门随机抽查了100名市民在2017年国庆长假期间购物广场的消费金额，所得数据如表，已知消费金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3:2．‎ ‎（1）试确定，，，的值，并补全频率分布直方图（如图）；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从消费金额在、和的三个群体中抽取7人进行问卷调查，则各小组应抽取几人？若从这7人中随机选取2人，则此2人来自同一群体的概率是多少？‎ ‎【答案】（1）见解析（2）2，3，2；‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据样本容量和频率和为1可得关于x,y的方程组，求得，由此可得，，结合所得数据可补全频率分布直方图。（2）由频率分布直方图可得消费金额在，‎ 的人数分别为2,3,2人，列举可得基本事件总数共21个，设“2人来自同一群体”为事件，则M包含5个基本事件，由古典概型概率公式可得结果。‎ 试题解析：‎ ‎（1）根据题意，有 解得 ‎∴，．　‎ 补全频率分布直方图如图所示：‎ ‎（2）根据题意，消费金额在内的人数为（人），记为，，‎ 消费金额在内的人数为（人），记为1,2,3．　‎ 消费金额在内的人数为（人），记为，．‎ 则从这7人中随机选取2人的所有的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，‎ 设“2人来自同一群体”为事件，则事件包含的基本事件有，，，，，共5种，‎ 由古典概型概率公式得．‎ 所以此2人来自同一群体的概率是。‎ ‎21. 孝感车天地关于某品牌汽车的使用年限（年）和所支出的维修费用（千元）由如表的统计资料：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.1‎ ‎3.4‎ ‎5.9‎ ‎6.6‎ ‎7.0‎ ‎（1）画出散点图并判断使用年限与所支出的维修费用是否线性相关；如果线性相关，求回归直线方程；‎ ‎（2）若使用超过8年，维修费用超过1.5万元时，车主将处理掉该车，估计第10年年底时，车主是否会处理掉该车？‎ ‎（）‎ ‎【答案】（1）（2）不会处理该车 ‎【解析】试题分析：（1）画出散点图可得使用年限与所支出的维修费是线性相关的，根据所给数据可得,故回归方程为。（2）当时，，即估计使用10年维修费用是12.8千元，低于1.5万元，故车主不会处理该车．‎ 试题解析：‎ ‎（1）作出散点图如图：‎ 由散点图可知使用年限与所支出的维修费是线性相关的．　‎ 列表如下：‎ 由以上数据可得，‎ 所以，‎ 故回归直线方程为.‎ ‎（2）当时，，‎ 因此可估计使用10年维修费用是12.8千元，‎ 即维修费用是1.28万元，‎ 因为维修费用低于1.5万元，所以车主不会处理该车．‎ 点睛：（1）利用散点图分析两变量间的相关关系，体现了数形结合思想的应用，本题的易错点为散点图画的不准确，导致判断错误。‎ ‎（2）求线性回归方程的关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时应仔细谨慎，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同．)‎ ‎22. 已知，．‎ ‎（1）若是从区间上任取的一个实数，，求满足的概率．‎ ‎（2）若、都是从区间上任取的一个实数，求满足的概率．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）本题属于线段型的几何概型，根据线段长度的比值求解。（2）本题属于面积型的几何概型，根据几何图形的面积的比求解。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由知，‎ 所以，‎ 因为，即所有基本事件构成的线段长度为7.‎ 设“满足”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的线段长度为3，‎ 由几何概型概率公式得 ‎.‎ 所以满足的概率为．‎ ‎（2）由知，‎ 得，‎ 因为，，故所有基本事件构成的平面区域的面积为为16.‎ 设“满足”为事件B，则事件B包含的基本事件构成的区域的面积为，‎ 由几何概型概率公式得。‎ 所以满足的概率为．‎ 点睛：几何概型的两种类型 ‎(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．‎ ‎(2)面积型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．‎