江西省南昌市八一中学洪都中学十七中实验中学南师附中五校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

江西省南昌市八一中学洪都中学十七中实验中学南师附中五校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

‎2019-2020学年度第一学期高二理科数学期中联考试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1.直线的倾斜角和斜率分别是（ ）‎ A. ， B. 、 C. ，不存在 D. 不存在，不存在 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方程可得出该直线的倾斜角和斜率.‎ ‎【详解】由题意可知，直线的倾斜角为，斜率分别为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用直线的方程得出直线的倾斜角和斜率，属于基础题.‎ ‎2.与椭圆的焦点坐标相同的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定已知椭圆的焦点在x轴上，求出焦点坐标，接着分别求出四个选项中曲线的焦点坐标，再与已知椭圆的焦点坐标进行比较，即可得答案.‎ ‎【详解】椭圆的焦点在轴上，且，‎ 所以，所以椭圆的焦点坐标为.‎ 对A选项，双曲线方程，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为，与已知椭圆的焦点坐标相同；‎ 对B选项，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为；‎ 对C选项，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为；‎ 对D选项，其焦点在y轴上.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆、双曲线焦点坐标的求解，主要考查两种曲线中之间的关系.‎ ‎3.抛物线的焦点坐标是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标.‎ ‎【详解】因为可化为，‎ 所以，且焦点轴负半轴，‎ 因此焦点坐标为 故选C ‎【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.‎ ‎4.已知直线与直线平行，则实数m的值为（ ）‎ A. 3 B. 1 C. -3或1 D. -1或3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两直线平行应该满足，利用系数关系及可解得m.‎ ‎【详解】两直线平行 ‎，可得（舍去）.选B.‎ ‎【点睛】两直线平行的一般式对应关系为：，若是已知斜率，则有，截距不相等.‎ ‎5.已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对双曲线的焦点位置进行分类讨论，得出关于的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得；‎ 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程，解题时要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于基础题.‎ ‎6.已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先判断，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，则可得，求出 ，再根据离心率公式计算即可．‎ 详解：根据双曲线的性质可得，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，解得 ‎ ‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，属于基础题 ‎7.已知变量、满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组所表示的可行域如图所示，将所求代数式变形为，将视为可行域中的点与点连线的斜率，利用数形结合思想得出的取值范围，即可得出代数式的取值范围.‎ ‎【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：‎ ‎，代数式的几何意义为可行域中的点与点连线的斜率，‎ 由图象可知，当点与可行域的顶点重合时，直线的斜率最大，此时取得最大值.‎ 当点与可行域的顶点重合时，直线的斜率最小，此时取得最小值.‎ 因此，的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的取值范围，利用代数式的几何意义并结合数形思想求解是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎8.椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出、两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到、两点的横纵坐标的和，则、中点坐标可求，由斜率公式列式可得的值．‎ ‎【详解】设点，，联立，得：，‎ ‎ ①．‎ ‎，‎ ‎＝．‎ 设是线段的中点，∴（）．∴直线的斜率为．‎ 则,代入①满足△＞0（＞0，＞0）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了斜率公式的应用，属于中档题．‎ ‎9.已知圆和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，，则点的轨迹为（ ）‎ A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，利用中垂线的定义得出，从而可得出为定值，再利用椭圆的定义可得出点的轨迹图形.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 由垂直平分线的性质可知，则，‎ 所以，动点的轨迹是以、分别为左、右焦点的椭圆.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆定义的应用，在运用椭圆定义判断动点的轨迹时，需要满足椭圆定义的几个条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，，利用求出点的横坐标，然后利用抛物线的定义可得出.‎ ‎【详解】抛物线的准线的方程为，焦点为.‎ 设点，，，即，‎ 则，解得，因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线定义的应用，同时也考查了共线向量的坐标运算，解题的关键就是求出点的横坐标，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎11.已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．‎ ‎【详解】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，‎ 圆的圆心坐标为,，半径为3，‎ 由图象可知，当三点共线时，取得最小值，‎ 且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，‎ 即，‎ 故选D．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12.已知、分别为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，以原点为圆心，‎ 为半径的圆与双曲线左支的一个交点为，若与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点在轴上方，设双曲线的方程为，，联立双曲线与圆的方程，求出点的坐标，由题意得出直线的斜率小于，由此可求出双曲线的离心率的取值范围.‎ ‎【详解】设点在轴上方，设双曲线的方程为，，‎ 以原点为圆心，为半径的圆的方程为，‎ 联立圆与双曲线的方程得，解得，‎ 则点，‎ 所以，直线的斜率为，‎ 化简得，两边平方并化简得，.‎ 所以，双曲线的离心率.‎ 因此，双曲线的离心率的取值范围是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率取值范围的求解，考查利用联立双曲线与圆的方程求交点坐标，解题的关键就是得出直线与渐近线斜率的大小关系，考查计算能力，属于难题.‎ 二、填空题（本大题共4个小题. 每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知、满足约束条件，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组所表示的可行域，平移直线，根据直线在轴上的截距最小，找到使得目标函数取得最小值时的最优解，代入即可.‎ ‎【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：‎ 平移直线，当直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值，即，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法，使得目标函数对应的直线在坐标轴上的截距取得最值来得到，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎14.将参数方程（为参数），转化成普通方程为_______.‎ ‎【答案】（且）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得出，代入可将参数方程化为普通方程，再由普通方程以及参数方程得出的范围，即可得出结果.‎ ‎【详解】由得出，代入得，则，由可得.‎ 所以，参数方程（为参数）化成普通方程为（且）.‎ 故答案为：（且）.‎ ‎【点睛】本题考查将参数方程化为普通方程，一般利用换元消参法与平方消参法，同时也要注意相应变量取值范围的求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15.已知是抛物线的焦点，点，抛物线上有某点，使得取得最小值，则点的坐标为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，作垂直于抛物线准线于点，利用抛物线的定义得出，可得出，利用、、三点共线可得出点的坐标.‎ ‎【详解】如下图所示，抛物线的焦点为，准线为直线，‎ 过点作垂直于抛物线准线于点，由抛物线的定义得，‎ 则，当且仅当、、三点共线时，取最小值.‎ 此时，直线的方程为，联立直线的方程与抛物线的方程，‎ 解得，因此，点的坐标为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线上的点到定点和焦点的距离和的最值问题，一般要利用抛物线的定义进行转化，借助三点共线来得出最小值，考查数形结合思想，属于中等题.‎ ‎16.下列说法中所有正确的序号是_________‎ ‎①两直线的倾斜角相等，则斜率必相等；‎ ‎②若动点到定点和定直线的距离相等，则动点的轨迹是抛物线；‎ ‎③已知、是椭圆两个焦点，过点的直线与椭圆交于、两点，则的周长为；‎ ‎④曲线的参数方程为为参数，则它表示双曲线且渐近线方程为；‎ ‎⑤已知正方形，则以、为焦点，且过、两点的椭圆的离心率为.‎ ‎【答案】③④⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线斜率与倾斜角的关系可判断出命题①的正误；根据抛物线的定义可判断出命题②的正误；利用椭圆的定义可判断出命题③的正误；将曲线的方程化为普通方程，即可判断出命题④的正误；利用椭圆的定义以及离心率的定义可判断出命题⑤的正误.‎ ‎【详解】对于命题①，当两直线的倾斜角都为时，两直线的斜率都不存在，命题①错误；‎ 对于命题②，由于点在直线上，所以，动点的轨迹不是抛物线，命题②错误；‎ 对于命题③，椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点在轴，其长半轴长为，所以，的周长为，命题③正确；‎ 对于命题④，，即，‎ 所以，曲线方程为，所表示的图形为双曲线，其渐近线方程为，‎ 命题④正确；‎ 对于命题⑤，设正方形的边长为，则，‎ 设椭圆的长轴长为，则，‎ 所以，该椭圆的离心率为，命题⑤正确.‎ 因此，正确命题的序号为③④⑤.‎ 故答案为：③④⑤.‎ ‎【点睛】本题主要考查命题真假的判断，涉及解析几何中直线、椭圆、双曲线以及抛物线的定义与几何性质，着重于定义与性质的理解，综合性较强，难度不大，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.‎ ‎（1）求边上的高所在的直线方程；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出BC边所在的直线的斜率，即可求出BC边上高的斜率，根据点斜式写出方程；（2）利用点到直线的距离求三角形的高，再根据两点间的距离求三角形的底BC，即可得解.‎ ‎【详解】（1）直线的斜率，则边上高所在直线斜率，‎ 则边上的高所在的直线方程为，即.‎ ‎（2）的方程为，.‎ 点到直线的距离，‎ ‎，‎ 则的面积 ‎【点睛】本题主要考查了直线方程的点斜式，垂直直线斜率间的关系，点到直线的距离，属于中档题.‎ ‎18.（1）求经过点、且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程；‎ ‎（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设双曲线的方程，将点、的坐标代入双曲线的方程，求出、的值，即可得出双曲线的标准方程；‎ ‎（2）设所求双曲线的标准方程为，求出双曲线的焦点坐标，利用定义求出的值，即可求出的值，由此可得出双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】（1）依题意，设双曲线的方程为，‎ 双曲线过点、两点，，解得.‎ 因此，双曲线的标准方程为；‎ ‎（2）双曲线双曲线的焦点为，‎ 设所求双曲线的方程为，则，‎ 由双曲线定义得，‎ ‎，则，因此，所求双曲线的标准方程为.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，考查待定系数法以及利用双曲线的定义求双曲线的标准方程，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎19.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线和直线的普通方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的最大距离.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可将曲线的参数方程化为普通方程，在直线的参数方程中利用加减消元法消去参数，可得出直线的普通方程；‎ ‎（2）设曲线的上任意一点的坐标为，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式可得出曲线上的点到直线距离的最大值.‎ ‎【详解】（1）由，得，由于，所以，.‎ 由，得，两式相加得.‎ 因此，曲线的普通方程为，直线的普通方程为；‎ ‎（2）设曲线上任意一点的坐标为，则点到直线的距离为，其中，‎ 当时，椭圆上的点到的距离的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，同时也考查了椭圆上的点到直线距离的最值，一般利用参数方程结合三角函数的有界性求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎20.（1）已知圆过点，且与直线相切于点，求圆的方程；‎ ‎（2）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且圆被直线截得的弦长为，求圆的方程．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出过点且垂直于直线的直线方程，并求出线段的垂直平分线方程，联立两直线方程可得出圆心坐标，求出圆心到点的距离作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程；‎ ‎（2）设圆心的坐标为，可知圆的半径为，求出圆心到直线的距离，利用弦长的一半、、圆的半径之间的关系并结合勾股定理求出的值，即可得出圆的标准方程.‎ ‎【详解】（1）由题意知圆心必在过切点且垂直切线的直线上，‎ 可求得此直线为，‎ 直线的斜率为，线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线方程为，即，‎ 可知圆心必在线段的垂直平分线上，‎ 联立，可求得圆心，则，‎ 因此，圆的方程为；‎ ‎（2）设圆心，半径，‎ 圆心到直线的距离为，‎ 由半弦长、弦心距、半径的关系得，，‎ 当时，圆心，半径，此时圆为；‎ 当时，圆心，半径，此时圆为.‎ 因此，圆的方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，解题时要明确圆心的位置以及圆的半径长，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.‎ ‎（1）求抛物线方程及其焦点坐标；‎ ‎（2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.‎ ‎【答案】（1）抛物线方程为，焦点坐标为；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，并求出抛物线的焦点坐标；‎ ‎（2）设，，、，设直线的方程为，其中，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用向量共线求出点、的坐标，然后将韦达定理代入，利用向量数量积的坐标运算计算出，即可证明出结论成立.‎ ‎【详解】（1）将代入，得，因此，抛物线方程为，焦点坐标为；‎ ‎（2）设，，、.‎ 因为直线不经过点，所以直线一定有斜率，设直线方程为，‎ 与抛物线方程联立得到，消去，得，‎ 则由韦达定理得，.‎ ‎，，‎ ‎，，即，‎ 显然，，，，‎ 则点，同理可求得点的坐标为，‎ 所以，，‎ ‎，因此，以为直径的圆过原点.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线位置关系的综合问题，考查圆过定点问题的证明，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，动圆与圆外切，与圆内切．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）直线过点且与动圆圆心的轨迹交于、两点．是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，面积的最大值为，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设动圆的半径为，利用几何关系转化两圆内切和外切的问题，可得出，可得知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，并设该椭圆的方程为，利用椭圆的定义求出的值，可求出的值，由此可得出动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，并计算出的面积关于的表达式，换元，利用双勾函数的单调性可得出面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）设点，动圆的半径为，‎ 由题意知，，，‎ 由椭圆定义可知，动圆圆心在以、为焦点的椭圆上，‎ 设该椭圆的方程为，且，，.‎ 由于圆内切于圆于点，则.‎ 因此，动圆圆心的轨迹方程为；‎ ‎（2）存在面积的最大值. ‎ 因为直线过点，可设直线的方程为或（舍）．‎ 则，整理得 ．‎ 由．‎ 设点、，则，.‎ 则， ‎ 因．‎ 设，则，则.‎ 设在区间上为增函数，所以．‎ 所以，当且仅当时取等号，即．‎ 因此，面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积最值的计算，在计算最值时，一般利用基本不等式或函数单调性来求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎ ‎