上海市16区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编_数列 Word版

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上海市各区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 数列 一、填空、选择题 ‎1、（宝山区2017届高三上学期期末）如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为，那么称该数列为型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为 ‎ ‎2、（崇明县2017届高三第一次模拟）实数a、b满足且，由a、b、、按一定顺序构成的数列 ‎ A．可能是等差数列，也可能是等比数列 B．可能是等差数列，但不可能是等比数列 ‎ C．不可能是筹差数列，但可能是等比数列 D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列 ‎3、（虹口区2017届高三一模）若正项等比数列满足：，则的最大值为 ‎ ‎4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）在数列中，若对一切都有，且，则的值为 　 .‎ ‎5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）已知奇函数是定义在上的增函数，数列是一个公差为的等差数列，满足，则的值为 ．‎ ‎6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）已知数列的前项和为，则此数列的通项公式为__________‎ ‎7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）设是等差数列，下列命题中正确的是（ ）．‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎8、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）已知数列的通项公式为 ‎，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ．‎ ‎9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）已知数列满足：对任意的均有，其中为不等于与的常数，若，则满足条件的所有可能值的和为 ． ‎ ‎10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知数列满足，，若，且是递增数列、是递减数列，则 ▲ ．‎ ‎11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为．设，若数列是递减数列，则实数的取值范围是____________．‎ ‎12、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）若无穷等差数列的首项，公差，的前项和为，则以下结论中一定正确的是……………………………（ ）‎ ‎（A）单调递增 （B）单调递减 （C）有最小值 （D）有最大值 ‎13、（奉贤区2017届高三上学期期末）已知等比数列的公比，前项的和，对任意的,恒成立，则公比的取值范围是___________‎ ‎14、（金山区2017届高三上学期期末）‎ ‎15、（闸北区2017届高三上学期期末）‎ ‎1、‎ ‎2、B　　　　　　　3、2　　　4、　　　　5、4019‎ ‎6、　　7、C　　　8、　　9、　　10、‎ ‎11、　　‎ ‎12、【解析】Sn=na1+d=n2+n，‎ ‎∵＞0，∴Sn有最小值．‎ 故选：C．‎ ‎13、　14、　　15、　　16、‎ 二、解答题 ‎1、（宝山区2017届高三上学期期末）设数列的前项和为，且（）；‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足（），且，求满足不等式的最小 正整数的值；‎ ‎2、（崇明县2017届高三第一次模拟）已知数列,满足，其中是数列的前n项和．‎ ‎（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，求证：数列满足，并写出数列的通项公式；‎ ‎（3）在(2)的条件下，设，‎ 求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．‎ ‎3、（虹口区2017届高三一模）已知函数，无穷数列的首项．‎ ‎（1）如果（），写出数列的通项公式；‎ ‎（2）如果（且），要使得数列是等差数列，求首项的取值范围；‎ ‎（3）如果（且），求出数列的前项和．‎ ‎4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数，使得．‎ ‎（1）判断是否属于集合，并说明理由；‎ ‎（2）若属于集合，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，求证：对任意实数，都有．‎ ‎5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）由个不同的数构成的数列中，若时，（即后面的项小于前面项），则称与构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为；同理，等比数列的逆序数为．‎ ‎(1) 计算数列的逆序数；‎ ‎(2) 计算数列（）的逆序数；‎ ‎(3) 已知数列的逆序数为，求的逆序数．‎ ‎6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）在平面直角坐标系上，有一点列，设点的坐标（），其中． 记，，且满足（）． ‎ ‎（1）已知点，点满足，求的坐标；‎ ‎（2）已知点，（），且（）是递增数列，点在直线：上，求；‎ ‎（3）若点的坐标为，，求的最大值．‎ ‎7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）设数列满足；‎ ‎（1）若，求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）在（1）的条件下，对于正整数，若这三项经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组；‎ ‎（3）若是的前项和，求不超过的最大整数.‎ ‎8、（普陀区2017届高三上学期质量调研） 已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有， ‎ ‎.‎ ‎（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；‎ ‎（2） 若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求；‎ ‎（3）设，数列的前项和为，是否存在正整数（），使得、、成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）如图，已知曲线及曲线，上的点的横坐标为．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，点的横坐标构成数列．‎ ‎（1）求曲线和曲线的交点坐标；‎ ‎（2）试求与之间的关系；‎ ‎（3）证明：．‎ ‎10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）如果一个数列从第项起，每一项与它前一项的差都大于，则称这个数列为“H型数列” ．‎ ‎（1）若数列为“H型数列”，且，，，求实数的取值范围；‎ ‎（2）是否存在首项为的等差数列为“H型数列”，且其前项和满足 ‎？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“H型数列”，，‎ ‎，当数列不是“H型数列”时，试判断数列是否为“H型数列”，并说明理由．‎ ‎11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）正数数列、满足：，且对一切，是与的等差中项，是与的等比中项．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求证：是等差数列的充要条件是为常数数列；‎ ‎（3）记，当时，指出与的大小关系并说明理由．‎ ‎12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）数列，定义为数列的一阶差分数列，其中， ．‎ ‎（1）若，试判断是否是等差数列，并说明理由；‎ ‎（2）若，，求数列的通项公式；‎ ‎（3）对（2）中的数列，是否存在等差数列，使得 对一切都成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．‎ ‎13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）已知无穷数列 的各项都是正数，其前项和为，且满足：，，其中，常数．‎ ‎（1）求证：是一个定值；‎ ‎（2）若数列是一个周期数列（存在正整数，使得对任意，都有成立，则称为周期数列，为它的一个周期），求该数列的最小周期；‎ ‎（3）若数列是各项均为有理数的等差数列，（），问：数列中的所有项是否都是数列中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．‎ ‎14、（奉贤2017高三上期末）设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”.‎ ‎（1）若是“紧密数列”，且，求的取值范围；‎ ‎（2）若为等差数列，首项，公差，公差，判断是否为“紧密数列”；‎ ‎（3）设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.‎ 参考答案：‎ 一、填空、选择题 二、解答题 ‎1、‎ ‎2、（1）解：因为数列是首项为，公比为的等比数列 所以，.......................3分 所以.......................................4分 （2） 若，则，所以 所以，即........5分 所以 所以 所以.......................................7分 又由，得：..............................8分 所以数列是首项为2公差为1的等差数列 所以.......................................10分 （2） 证明：由（2）知，‎ 对于给定的，若存在，且，使得，‎ 只需.......................................12分 只需......................................14分 取，则......................................16分 所以对于数列中的任意一项，‎ 都存在与，使得，‎ 即数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积................18分 ‎3、解：（1），………2分 又且，．………………4分 ‎（2）如果是等差数列，则，，由知一定有，公差．‎ 当时，符合题意．‎ 当时，，由得，得，．‎ 当时，，由得，得，此时．‎ 综上所述，可得的取值范围是或．……………………9分 ‎（3）当时，，数列是以为首项，公差为3的等差数列，．…………12分 当时，，时，．‎ 时，．‎ 时，‎ 又也满足上式，（）………………15分 当时，，时，．‎ 时，．‎ 时，‎ 又也满足上式，（）．‎ 综上所述：．………………18分 ‎4、解：（1）当时，方程 ……2分 此方程无解，所以不存在实数，使得，‎ 故不属于集合．　　　　　　　　　　 ……………………………4分 ‎（2）由属于集合，可得 方程有实解 有实解有实解，………7分 若时，上述方程有实解；‎ 若时，有，解得，‎ 故所求的取值范围是．　　　 ……………………………10分 ‎（3）当时，方程 ‎ ‎， ………………12分 令，则在上的图像是连续的， ‎ 当时，，，故在内至少有一个零点；‎ 当时，，，故在内至少有一个零点；‎ 故对任意的实数，在上都有零点，即方程总有解，‎ 所以对任意实数，都有． ………………………16分 ‎5、（1）因为为单调递减数列，所以逆序数为 ‎； ……………………………4分 ‎（2）当为奇数时，．……………………………1分 当为偶数时，‎ ‎ ‎ 所以． ……………………………2分 当为奇数时，逆序数为 ‎……………2分 当为偶数时，逆序数为 ‎…………………2分 ‎（3）在数列中，若与后面个数构成个逆序对，‎ 则有不构成逆序对，所以在数列中，‎ 逆序数为．…7分 ‎6、[解] （1）因为、，所以 又因为，， 所以 ………………2分 所以，‎ 所以点的坐标为 …………………………4分 ‎（2）因为，（），‎ 得 ………………………6分 又，，得（），‎ 因为，而（）是递增数列，‎ 故（）‎ ‎， ……………………8分 所以 ‎ 将代入，得，得 ……………10分 ‎（3）‎ ‎ …………………………12分 记 ‎ …………………………14分 因为是偶数，，‎ ‎…16分 当，‎ 时（取法不唯一），‎ 所以 …………………………18分 ‎7、解：（1）由，∴，‎ 即，又，∴数列是以1 为首项，2为公比的等比数列；………4分 ‎（2）由（1）知这三项经适当排序后能构成等差数列；‎ ‎①若，则，∴，‎ 左边为偶数，右边为奇数，∴等式不成立；…………………………………8分 ‎③若，同理也不成立；‎ 综合①②③得，；…………………………………10分 ‎（3）由，∴，…………………………………12分 ‎∴；………………………………13分 由 ‎；‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴不超过的最大整数为2016…………………………………16分 ‎8、【解】（1）由得，由于 故，即，所以 故数列为等比数列，且，所以 ‎（2），故， ‎ ‎ 其中（常数），所以数列是以为首项、为公差的等差数列 ‎,，， ‎ 由（1）可得，， 因为， ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中,， ‎ 假设存在正整数（），使得、、成等比数列 则有，即,所以， ‎ 解得,又因为,,所以,此时,‎ 所以存在满足题设条件的、.. ‎ ‎9、解：（1），即曲线和曲线的交点坐标是；‎ ‎ (2) 设，由已知， ‎ 又，又 ，； ‎ ‎(3) 解法一：因为，由，，‎ 可得与异号， ‎ ‎，，，，即.‎ ‎10、 解：（1）由题意得， ………………1分 ‎ ， 即 ，………………3分 ‎ 解不等式得 ； …………………4分 ‎（2）假设存在等差数列符合要求，设公差为，则，‎ ‎ 由 ，得 ， …………………5分 ‎ 由题意得：对均成立， ‎ ‎ 即：对均成立， …………………7分 ‎ 因为，且，所以，与矛盾，‎ ‎ 因此，这样的等差数列不存在． …………………10分 ‎（3）设数列的公比为，则，因的每一项均为正整数，‎ 且，所以，且，‎ ‎ 因，‎ ‎ 即：在中，“”为最小项，‎ ‎ 同理，在中，“”为最小项， …………………11分 由为“H型数列”，可知只需， 即 ，‎ 又因为不是“数列”， 且“”为最小项，所以， 即 ，‎ 由数列的每一项均为正整数，可得 ，‎ ‎ 所以或， …………………12分 当时，，‎ ‎ 则，‎ ‎ 令，则，‎ 令，‎ 则，‎ 所以为递增数列，‎ 即 ，‎ 即 ，‎ 因为，所以，对任意的都有，‎ 即数列为“H型数列”； …………………16分 当时，，‎ 则，显然，为递减数列，，‎ 故数列不是“H型数列”； ‎ ‎ 综上：当时，数列为“H型数列”，‎ ‎ 当时，数列不是“H型数列” ．…………………18分 ‎11、解：（1）由条件得，即=，=.----------4分 ‎（2）充分性：当为常数数列时，是公差为零的等差数列；--------------5分 必要性：当为等差数列时，对任意恒成立，‎ ‎----------------------------------------------------------------------6分 而 ‎=+‎ ‎= ‎ ‎=‎ ‎= ‎ ‎=，‎ 因为，所以，即，-------------9分 从而对恒成立,‎ 所以为常数列. ------------------------------------------------------------------------10分 ‎（3）因为任意，，--------------12分 又已知，所以. ‎ 从而 ‎=，‎ 即， ----------------------------------------------------------------------------------14分 则 …，----------------------------------------------16分 所以++=<.-------------------18分 ‎12、解：（1）‎ ‎ （2分）‎ ‎ ‎ 所以是等差数列 （4分）‎ ‎（2）‎ ‎ （6分）‎ ‎ ‎ 猜测： （8分）‎ 证明：（数学归纳法）‎ Ⅰ 时 成立 ‎ Ⅱ 假设成立，即 那么时 ，‎ 时也成立 综合ⅠⅡ对任意都成立 （10分）‎ ‎（3）时， ‎ 时， （12分）‎ 若存在等差数列，使得对一切都成立 只能（14分）‎ 下证符合要求 ‎ （16分）‎ 得证 ‎13、（1）由 ①， 得 ②‎ ‎②－①，得， ………………………………（2分）‎ 因为，所以（定值）． ………………………………（4分）‎ ‎（2）当时，，故，， ……………（1分）‎ 根据（1）知，数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差都是，所以，‎ ‎，， …………………………………………（3分）‎ 当时，的奇数项与偶数项都是递增的，不可能是周期数列， …………（4分）‎ 所以，所以，，所以，数列是周期数列，其最小周期为．‎ ‎ ……………………………………………………（6分）‎ ‎（3）因为数列是有理项等差数列，由，，，得 ‎，整理得，‎ 得（负根舍去），……………………………………………………（1分）‎ 因为是有理数，所以是一个完全平方数，设（），‎ 当时，（舍去）． ……………………………………………………（2分）‎ 当时，由，得，‎ 由于，，所以只有，符合要求， …………………………（4分）‎ 此时，数列的公差，所以（）．…………（6分)‎ 对任意，若是数列中的项，令，即，‎ 则，时，，时，，故不是数列中的项．‎ ‎…………………………………………………（8分）‎ ‎14、解：(1) 2分 ‎ Þ 4分 ‎(2)因为等差数列， ‎ 所以 5分 即证恒成立 即证 6分 ‎①所以 8分 ‎② ‎ 所以 10分 所以是为“紧密数列”‎ 也可以作差法：‎ 因为等差数列， 5分 ‎ 6分 因为等差数列， 所以 7分 ‎ 8分 ‎ 10分 ‎(3)解：(解法1)由数列是公比为的等比数列，，‎ 因为是“紧密数列”，所以 11分 ‎① 当时，，，所以≤1＜≤2.‎ 故时，数列为“紧密数列”，故足题意． 12分 ‎② 当时，，则. 13分 ‎ 因为数列为“紧密数列”，所以≤≤2对于任意恒成立． ‎ ‎(ⅰ) 当时，，‎ 即对于任意恒成立． 14分 因为，‎ 所以，，‎ 所以，当时，对于任意恒成立． 15分 ‎(ⅱ) 当时，‎ 即对于任意*恒成立． 16分 因为，所以解得.‎ 又，此时不存在． 17分 ‎ 综上所述，的取值范围是. 18分