数学文卷·2018届湖北省荆州中学高三4月月考(2018

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数学文卷·2018届湖北省荆州中学高三4月月考(2018

荆州中学2018届高三4月考 文科数学试题 考试时间:120分钟 满分:150分 ‎ ‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、若集合, ,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,则。‎ ‎2、已知复数,则在复平面上对应的点在( )‎ A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】,,‎ ‎ 所以对应的点在复平面内的坐标为,故选D。‎ ‎3、某商场在一天的促销活动中,对这天9时到14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示,已知11时至12时的销售额为20万元,则10时到11时的销售额为( )‎ A. 万元 B.万元 C. 万元 D. 万元 ‎【答案】B ‎【解析】10时到11时的频率/组距:‎ ‎,‎ ‎ 所以销售额为(万元)。‎ ‎4、设满足约束条件,则的最大值为( )‎ A、1 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出可行域如图所示,表示可行域内的点与(2,2)连线的斜率,从图像可以看出,经过点时,有最大值,故选B ‎5、如图,半径为的圆内有四个半径相等的小圆,其圆心分别为,这四个小圆都与圆内切,且相邻两小圆外切,则在圆内任取一点,该点恰好取自阴影部分的概率为 ( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】设小圆的半径为,则大圆的半径为,‎ 阴影部分恰好合为三个小圆,面积为,‎ 大圆的面积为,‎ 故所求概率为.‎ ‎6、《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算)共织390尺布,记该女子一月中的第天所织布的尺数为,则的值为( )‎ A.55 B.52 C.39 D.26‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,‎ 所以该女子每天织的布构成一个等差数列,其中,,‎ ‎,‎ 所以,则。‎ ‎7、执行如图所示的程序框图,若输出的结果为1,则所有输入的取值的和是( )‎ A、0 B、 C、4 D、6‎ ‎【答案】C ‎【解析】程序框图表示函数,若函数值等于1,‎ 则有得(舍)或得,由韦达定理得。故选C。‎ ‎8、某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为等腰三角形,则该几何体中的最长棱的长为( )‎ A、 B、 C、 3 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】 还原三视图可得,几何体为一个底面水平朝上的三棱锥,最长棱为 ‎9、设等比数列的公比为,前项和为,则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由,得,‎ 即,即,‎ 解得,即。‎ 当时,易得。‎ 故“”是“”的充要条件,故选C.‎ ‎10、已知函数,将函数先向右平移个单位,再向下平移1个单位后,得到的图象,关于的说法,正确的是:‎ A、关于点成中心对称 B、关于直线成轴对称 C、在上单调递减 D、在上的最大值是1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,‎ 选项A,当时,,则关于轴对称,不关于 成中心对称,错; ‎ 选项B,当时,,则关于成中心对称,不关于成轴对称,错; ‎ 选项C,D,当时,,从而在单调递增;于是 ‎ ‎11、已知是椭圆的左焦点,设动点在椭圆上,若直线的斜率大于,则直线(为原点)的斜率的取值范围是( )‎ A、 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当的斜率为时,点位于或的位置,当的斜率趋近时,点趋近或,‎ 因为的坐标为,,‎ 所以点在弧上运动(不含端点),的范围为,‎ 且点还可在弧上运动,为正,由选项可以看出,C正确。‎ ‎12、在三棱锥中,,,面,且在三角形中,有(其中为的内角所对的边),则该三棱锥外接球的表面积为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题可知,,故可得 ‎,‎ 由正弦定理,,得三角形的外接圆的半径为,‎ 又由, ‎ 所以其表面积为,故选A ‎ ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13、已知函数(为自然对数的底数),则在点处的切线方程为_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,又,‎ ‎ 则切线方程为,即。‎ ‎14、已知向量,,的夹角为,则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎15、若函数为奇函数, ,则不等式的解集为____。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵函数为奇函数,∴,即,‎ ‎∴,‎ 当时,解得:,‎ 当时,解得:,‎ 故不等式的解集为。‎ ‎16、已知双曲线的左焦点为,圆与双曲线的渐近线在第二象限相交于点(为坐标原点),若直线的斜率为,则双曲线的离心率为______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】联立,得,‎ 所以,则。‎ ‎ ‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21为必考题,每个考生都必须作答。第22、23题选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17、(本小题满分12分)‎ 已知的内角所对的边分别为,且.‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)若锐角满足,且,求的面积.‎ ‎【解析】(1)由正弦定理易得:, ………2分 从而 ‎ 即:, ‎ 由可得,即: …………5分 ‎(2)‎ 故,由为锐角,从而. ………………8分 由余弦定理,可得 ………………10分 从而 ………………11分 故的面积为。 ………………12分 ‎ ‎ ‎18、(本小题满分12分)‎ 四棱锥中,交于点,且,‎ ‎。‎ ‎(1)若为中点,求证:∥。‎ ‎(2)当三棱锥的体积最大时,求三棱锥的体积,并证明:。‎ ‎【解析】(1)证明:∵,∴在的垂直平分线上,‎ 同理在的垂直平分线上 ‎∴即为的垂直平分线 ‎∴,且为中点 ………2分 ‎∵,为中点 ‎∴三角形中,‎ ‎∴∥ ………4分 ‎∵‎ ‎∴∥ ………5分 ‎(2)由题知 显然 故当与底面垂直时,三棱锥的体积最大,此时可得 ………7分 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴ ………9分 此时 ‎ ‎∴‎ ‎∴ ………11分 ‎∴三棱锥的体积为2。 ………12分 ‎ ‎ ‎19、(本小题满分12分)‎ ‎2017年11月、12月全国大范围流感爆发,为研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,一兴趣小组抄录了某医院11月到12月间的连续6个星期的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:‎ 日期 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 第六周 昼夜温差x(°C)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数y(个)‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验。‎ ‎ (Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个星期的概率;‎ ‎ (Ⅱ)若选取的是第一周与第六周的两组数据,请根据第二周到第五周的4组数据,求出关于的线性回归方程;‎ ‎ (Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?‎ ‎ (参考公式: )‎ 参考数据:1092, 498 ‎ ‎【解析】(Ⅰ)将连续六组数据分别记为,从六组中任意选取两组,其基本事件为:。共15种情况。………2分 ‎ 其中两组是相邻的为,共5种情况。‎ 设抽到相邻两个星期的数据为事件,‎ 则抽到相邻两个星期的数据的概率为。 ……….4分 ‎(Ⅱ)由数据求得 由公式求得 ‎ 再由 ‎ 所以关于的线性回归方程为 …………..8分 ‎(Ⅲ)当时,, ; ‎ 同样, 当时,, ‎ 所以,该小组所得线性回归方程是理想的。 ………12分 ‎ ‎ ‎20、(本小题满分12分)‎ 已知动圆过定点,且在轴上截得弦的长为4。‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程;‎ ‎(2)设,过点斜率为的直线交轨迹于两点,的延长线交轨迹于两点。‎ ‎①若的面积为3,求的值。‎ ‎②记直线的斜率为,证明:为定值,并求出这个定值。‎ ‎【解析】(1)设圆心,过点作轴,垂足为,‎ 则,。 ………2分 ‎,化简为:,‎ 当时,也满足上式,‎ 所以动圆圆心的轨迹的方程为。 ………4分 ‎ (没有分,的扣一分)‎ ‎(2)设直线的方程为,,‎ 由,得, ………5分 ‎,, ………6分 ‎①‎ ‎,解得。 ………8分 ‎②设,则,,‎ 因为共线,所以,‎ 即,解得:(舍)或,‎ 所以,同理, ………10分 ‎,‎ 故(定值)。 ………12分 ‎ ‎ ‎21、(本小题满分12分)‎ 已知函数。‎ ‎(1)若,试判断的零点的个数。‎ ‎(2)若恒成立,求的取值范围。‎ ‎【解析】(1)若,,‎ 当,,单调递减;当,,单调递增。‎ 所以,‎ 所以函数的零点个数为0。 ..............4分 注:(求导1分,单调区间1分,最值1分,结论1分)‎ ‎(2)若,变形得到:。‎ 令,得到。 ..........6分 设,, ..........7分 令,,‎ 可得在上单调递增,在上单调递减, ..........9分 所以,则,‎ 所以在上单调递减。 ..........10分 当,,所以,‎ 所以。 ..........12分 ‎(注:若令,得到,‎ 令,,‎ ‎,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以,‎ 即在上单调递增。‎ 当时,,所以,‎ 所以。)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22、选修4-4:坐标系与参数方程:(本小题满分10分)‎ 在直角坐标系中,过点的直线的参数方程为(为参数)。以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为。‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线相交于,两点,求的值。‎ ‎【解析】(1)由已知得,消去得,‎ 即,‎ 所以直线的普通方程为;┄┄┄2分 曲线:得,因为,,所以,‎ 整理得,所以曲线的直角坐标方程为;┄┄┄5分 ‎(2)解法一:把直线的参数方程(为参数)代入曲线的直角坐标方程中得: ‎ ‎,即,‎ 设,两点对应的参数分别为,,则,┄┄┄8分 所以。┄┄┄10分 解法二:作于点,则圆心到直线的距离为;‎ 所以,‎ 又因为,所以,‎ 所以,‎ ‎,‎ 所以。‎ ‎ ‎ ‎23、选修4-5:不等式选讲:(本小题满分10分)‎ 已知函数。‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)当时,恒成立,求实数的取值范围。‎ ‎【解析】(1)当时,,∴,故;‎ 当时,,∴,故;‎ 当时,,∴,故;‎ 综上可知:的解集为;┄┄┄5分 ‎(2)由(1)知:,‎ ‎【解法一】如图所示:作出函数的图象,‎ 由图象知,当时,,解得:,‎ ‎∴实数的取值范围为。┄┄┄10分 ‎【解法二】当时,恒成立,∴,‎ 当时,恒成立,∴,‎ 当时,恒成立,∴,‎ 综上,实数的取值范围为。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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