【数学】2020届一轮复习人教B版（文）选修4-5第2讲不等式的证明作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（文）选修4-5第2讲不等式的证明作业

‎1．(2019·长春质量检测(二))(1)如果关于x的不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若a，b均为正数，求证：aabb≥abba.‎ 解：(1)令y＝|x＋1|＋|x－5|＝，可知|x＋1|＋|x－5|≥6，故要使不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，只需m≥6.‎ ‎(2)证明：因为a，b均为正数，所以要证aabb≥abba，只需证aa－bbb－a≥1，‎ 即证()a－b≥1，当a≥b时，a－b≥0，≥1，可得()a－b≥1；当a＜b时，a－b＜0，0＜＜1，可得()a－b＞1，故a，b均为正数时，()a－b≥1，当且仅当a＝b时等号成立，故aabb≥abba成立．‎ ‎2．(2019·湘中名校联考)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)求＋的最大值．‎ 解：(1)由|x＋a|＜b，可得－b－a＜x＜b－a，‎ 所以－b－a＝2且b－a＝4.解得a＝－3，b＝1.‎ ‎(2)利用柯西不等式，可得＋＝(＋)≤＝×＝2，当且仅当＝，即t＝2时等号成立．‎ 当t＝2时，＋的最大值为2.‎ ‎3．已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，求证：＋＋≥.‎ 证明： 法一：因为(a－d)‎ ‎＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]‎ ‎≥3·3＝9，‎ 当且仅当a－b＝b－c＝c－d时取等号，‎ 所以＋＋≥.‎ 法二：因为(a－d)‎ ‎＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]‎ ‎≥＝9，‎ 当且仅当a－b＝b－c＝c－d时取等号，‎ 所以＋＋≥.‎ ‎4．设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：‎ ‎(1)a＋b＋c≥；‎ ‎(2)＋＋≥(＋＋)．‎ 证明：(1)要证a＋b＋c≥；‎ 由于a，b，c>0，‎ 因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.‎ 即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.‎ 而ab＋bc＋ca＝1，‎ 故只需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．‎ 所以原不等式成立．‎ ‎(2)＋＋＝.‎ 在(1)中已证a＋b＋c≥.‎ 因此要证原不等式成立，‎ 只需证明≥＋＋，‎ 即证a＋b＋c≤1，‎ 即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.‎ 而a＝≤，‎ b≤，c≤，‎ 所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.‎ ‎(当且仅当a＝b＝c＝时等号成立)‎ 所以原不等式成立．‎ ‎1．求证：＋＋＋…＋＜2.‎ 证明：因为＜＝－，‎ 所以＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋ ‎＝1＋＋＋…＋＝2－＜2.‎ ‎2．(2019·成都第二次诊断性检测)(1)求证：a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)；‎ ‎(2)已知a，b，c均为实数，且a＝x2＋2y＋，b＝y2＋2z＋，c＝z2＋2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0.‎ 证明：(1)因为a2＋b2≥2ab，a2＋3≥2a，b2＋3≥2b，将此三式相加得2(a2＋b2＋3)≥2ab＋2a＋2b，所以a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)．‎ ‎(2)假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，‎ 因为a＝x2＋2y＋，b＝y2＋2z＋，c＝z2＋2x＋， ‎ 所以a＋b＋c＝(x2＋2y＋)＋(y2＋2z＋)＋(z2＋2x＋)＝(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋π－3＞0，‎ 即a＋b＋c＞0与a＋b＋c≤0矛盾，故假设错误，原命题成立，即a, b，c中至少有一个大于0.‎ ‎3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：‎ ‎(1)若ab>cd，则＋>＋；‎ ‎(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．‎ 证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，‎ ‎(＋)2＝c＋d＋2，‎ 由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(＋)2>(＋)2.‎ 因此＋>＋.‎ ‎(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，‎ 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.‎ 由(1)，得＋>＋.‎ ‎②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，‎ 即a＋b＋2>c＋d＋2.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.‎ 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.‎ 因此|a－b|<|c－d|.‎ 综上，＋> ＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．‎ ‎4．设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.‎ ‎(1)证明：＜.‎ ‎(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小．‎ 解：(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2＜－2x－1＜0‎ 解得－＜x＜，即M＝，‎ 所以≤|a|＋|b|＜×＋×＝.‎ ‎(2)由(1)得a2＜，b2＜，因为|1－4ab|2－4|a－b|2‎ ‎＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)‎ ‎＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，‎ 故|1－4ab|2＞4|a－b|2，‎ 即|1－4ab|＞2|a－b|.‎