四川省威远中学2020届高三5月月考数学（理）试题

四川省威远中学2020届高三5月月考数学（理）试题

威远中学高2020届第六学期试题 数学（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.‎ ‎1..已知集合，则= ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知复数z满足，则的共轭复数是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.2019年9月25日.阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI芯片，在业界标准的ResNet -50测试中，含光800推理性能达到78563 lPS，比目前业界最好的AI芯片性能高4倍;能效比500 IPS/ W，是第二名的3.3倍.在国内集成电路产业发展中，集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域，增长也最为迅速.如图是2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图，则下面结论中正确的是( )‎ A.2014-2018年,中国集成电路设计产业的销售额逐年增加 B.2014-2017年,中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降 C. 2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高 D. 2018年与2014年相比.中国集成电路设计产业销售额的增长率约为110%‎ ‎4.在等差数列中，，则数列的前5项之和的值为（ ）‎ A．108 B．90 C．72 D．24‎ ‎5.已知， ，，则( )‎ A． B． C．c>a>b D．‎ ‎.6.已知向量，且，若均为正数，则的最小值是( )‎ A.24 B.8 C. D.‎ ‎7..已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数的图象，只需将的图象 ( )A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎8.函数在上的图象大致为( ) A.B.C.D.‎ ‎9.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一,其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现,如图,一个“圆柱容球”的几何图形,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边,在该图中,球的体积是圆柱体积的,并且球的表面积也是圆柱表面积的, 若圆柱的表面积是现在向圆柱和球的缝隙里注水,则最多可以注入的水的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线交椭圆于两点,交y轴于点,若, 是线段的三等分点, 的周长为,则椭圆的标准方程为( )A. B. C. D. ‎ ‎11.若曲线在点处的切线与直线垂直，则a=（ ）．‎ A .6 B .5 C. 4 D.3‎ ‎12.设函数，其中，若仅存在两个正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.‎ ‎13.若,则的值为__________.‎ ‎14.在的展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的常数项为__________________．‎ ‎15.已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为 ‎ ‎16.已知四面体内接于球，且，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则球的表面积是________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.22题10分，17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.(本小题满分12分）在中,内角所对的边分别为,且 ‎（1）.证明: （2）若,且的面积为,求 ‎18.(本小题满分12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；‎ ‎（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”．‎ 男 女 合计 网购迷 ‎20‎ 非网购迷 ‎45‎ 合计 ‎100‎ ‎（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，得到数据如下表所示：‎ 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 ‎80‎ ‎40‎ ‎16‎ ‎24‎ 乙 ‎90‎ ‎60‎ ‎18‎ ‎12‎ 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望．附：观测值公式：．‎ 临界值表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.(本小题满分12分)如图，在多面体中，底面是边长为2的的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，G和H分别是和的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小.‎ ‎20.(本小题满分12分)知椭圆经过点，直线与椭圆C交于两点，O是坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求面积的最大值．‎ ‎21.(本小题满分12分)已知为函数的一个极值点.‎ ‎（1）求实数的值，并讨论函数的单调性；（2）若方程有且只有一个实数根，求实数的值.‎ ‎22.(本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（II）过点作倾斜角为的直线l 与圆交于两点，试求的值．‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.‎ ‎(1).当时，求不等式的解集；‎ ‎(2).对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 威远中学高2020届第六学期第二次月考试题数学（理科）参考答案 ‎1.B ‎2.B解：由，得，所以．‎ ‎3.A解析：对于A，由图可得2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额逐年增加，所以A正确;对于B,2017年中国集成电路设计产业的销售额增速比2016年高,所以B错误;对于C,2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率(约21.5%)低于2015年的增长率(约26.5%),所以C错误;对于D,2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率为所以D正确.故选A.‎ ‎4.B解：在等差数列中, ，∴数列的前5项之和.‎ ‎5..A解 ．‎ ‎6B ‎7.D解：因为函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，‎ 所以，所以，所以，即，又，‎ 即为了得到函数的图象,只需将的图象向右平移个单位长度 ‎8.A解：因为,所以函数为偶函数,故排除D;因为 ‎,故排除B;因为,故排除C.故选A.‎ ‎9.B解析：设球的半径为,则由题意可得球的表面积为,所以,所以圆柱的底面半径为1,高为2,所以最多可以注入的水的体积为.‎ ‎10..A解析：由椭圆的定义，得，的周长，所以，所以椭圆.不妨令点C是的中点，点A在第一象限，因为，所以点A的横坐标为c，所以，得，所以.把点B的坐标代入椭圆E的方程，得，即，化简得.又，所以，得，所以，所以椭圆E的标准方程为 ‎11.C4解：在的导数为，即有在处的切线斜率为，‎ 由在处的切线与直线垂直，即有 ‎12.D解：令，，则，，解得，当时，，单调递减，当时，单调递增，故，，作出与的大致图像如图所示.‎ 若仅存在两个正整数使得，即有两个正整数解，由题意得，即，解得，所以实数a的取值范围是.‎ ‎13.解：两边同时平方,得,所以.‎ ‎14.15解：因为在的展开式中，各项系数之和为64，所以将代入，得，所以，‎ 所以，所以，令，即，则其系数为．‎ ‎15.解：根据题意,设椭圆的左焦点为，椭圆的方程为,其中为椭圆上一点,则，则,则，则，‎ 则，分析可得：，‎ 当三点共线时，等号成立，则的最大值为.‎ ‎16.解：如图:在三角形中,因为,所以为直角三角形,所以三角形的外接圆的圆心为的中点,连,根据垂径定理,可得平面,因为 为的中点可知平面,所以为四面体的高．所以,解得．所以．所以四面体的外接球的半径为2,表面积为．‎ ‎17.解：（1）根据正弦定理,由已知得, ‎ 展开得: ‎ 整理得: ∴ （2）由已知得: ,∴‎ 由,得: ,∴由,得: ∴‎ 由,得,所以, 由得 ‎18.解：（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为，‎ 后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内．‎ 设直方图的面积平分线为，则，得，‎ 所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元．‎ 男 女 合计 网购迷 ‎15‎ ‎20‎ ‎35‎ 非网购迷 ‎45‎ ‎20‎ ‎65‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，所以“网购迷”共有35人．由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人，所以补全的列联表如下：‎ 因为，‎ 查表得，所以有的把握认为“网购迷与性别有关”．‎ ‎（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为．‎ 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，据题意，．‎ 所以．因为，则，‎ 所以的数学期望为．‎ ‎19.解：（Ⅰ）证明：在中，因为分别是的中点， 所以， 又因为平面，平面，所以平面. 设，连接，因为为菱形，所以O为中点在中，因为，，所以，‎ 又因为平面，平面，所以平面. ‎ 又因为，平面， 所以平面平面. ‎ ‎（Ⅱ）解：取的中点N，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，因为平面平面，所以平面，所以平面，因为为菱形，所以，得两两垂直.‎ 所以以O为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，‎ 如图建立空间直角坐标系. 因为底面是边长为2的菱形，，所以，，. 所以，. 设平面的法向量为， 令，得. ‎ 由平面，得平面的法向量为，‎ 则 所以二面角的大小为.‎ ‎20.解：（1）依题意可得解得，椭圆C的标准方程为，‎ ‎（2）设，由得，‎ 由得，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴O到的距离设，则，‎ ‎，当且仅当，即时，得，面积取得最大值1．‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为..因为为函数的一个极值点,所以,解得.‎ 故,.‎ 令,解得.当时,,函数单调递增;‎ 当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.‎ ‎（2）.方程,即,整理得.‎ 因为,所以.令.‎ 则.令,则恒成立,‎ 所以函数在上单调递增.又,所以当时,,即单调递减;‎ 当时,,即单调递增.所以的最小值为,‎ 当或时,,所以当有且只有一个实数根时,.‎ ‎22.解：（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为：；‎ ‎（2）直线l的参数方程为：（t为参数），将其带入上述方程中得：，则，所以.‎ ‎23.解：（1）当时，因为，所以或者或者解得：或者，所以不等式的解集为.‎ ‎2.对于任意实数，不等式恒成立，等价于 因为，当且仅当时等号成立，‎ 所以 因为时，‎ 函数单增区间为，单间区减为，‎ 所以当时，所以，所以实数的取值范围.‎