浙江专用2020版高考数学一轮复习（练习）专题9平面解析几何 第76练 高考大题突破练 _直线与圆锥曲线的位置关系

浙江专用2020版高考数学一轮复习（练习）专题9平面解析几何 第76练 高考大题突破练 _直线与圆锥曲线的位置关系

第76练 高考大题突破练—直线与圆锥曲线的位置关系 ‎[基础保分练]‎ ‎1.(2019·金华十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点Q.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若O为坐标原点，P为直线l：x＝2上的一动点，过点P作直线l′与椭圆相切于点A，若△POA的面积S为，求直线l′的方程.‎ ‎2.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2).‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；‎ ‎(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎3.(2019·温州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，y1y2＝－4.‎ ‎(1)求抛物线方程；‎ ‎(2)点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD⊥EF，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎4.已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向.‎ ‎(1)求C2的方程；‎ ‎(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率.‎ 答案精析 基础保分练 ‎1．解　(1)由题意得2c＝2，∴c＝1.‎ ‎∵椭圆C过点Q，‎ ‎∴＋＝1.‎ ‎∵c2＝a2－b2，解得a2＝2，b2＝1.‎ ‎∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x0，y0)，当x0＝0时，y0＝±1，S△POA≠，‎ 当x0≠0时，切线l′的方程为＋yy0＝1，‎ 即y＝－x，则直线l′与x轴交于点B，∵P，‎ ‎∴S△POA＝··＝，‎ 即＝，‎ ‎∴＝±，‎ 即 或 解得x0＝1，y0＝－或x0＝1，y0＝(x0＝0，y0＝±1不合题意舍)，‎ ‎∴直线l′的方程为x＋y－2＝0或x－y－2＝0.‎ ‎2．解　(1)将(1，－2)代入y2＝2px，‎ 得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.‎ 故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.‎ ‎(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.‎ 由得y2＋2y－2t＝0.‎ 因为直线l与抛物线C有公共点，‎ 所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.‎ 又由直线OA与l的距离d＝，‎ 可得＝，解得t＝±1.‎ 因为－1∉，‎ ‎1∈，‎ 所以符合题意的直线l存在，‎ 其方程为2x＋y－1＝0.‎ ‎3．解　(1)依题意F，‎ 当直线AB的斜率不存在时，|y1|＝|y2|＝2，|AB|＝2p＝4，解得p＝2；‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB：‎ y＝k，由 化简得y2－y－p2＝0，‎ 由y1y2＝－4得p2＝4，解得p＝2(舍负)，所以抛物线方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设D(x0，y0)，B，‎ 则E(－1，t)，由y1y2＝－4，‎ 可得A，‎ 因为kEF＝－，AD⊥EF，‎ 所以kAD＝，‎ 故直线AD：y＋＝，‎ 即2x－ty－4－＝0.‎ 由 化简得y2－2ty－8－＝0，‎ 所以y1＋y0＝2t，y1y0＝－8－.‎ 所以|AD|＝|y1－y0|‎ ‎＝· ‎＝·，‎ 设点B到直线AD的距离为d，‎ 则d＝＝，‎ 所以S△ABD＝|AD|·d ‎＝≥16，‎ 当且仅当t4＝16，即t＝±2时，等号成立，所以△ABD面积的最小值为16.‎ 当t＝2时，直线AD的方程为x－y－3＝0；‎ 当t＝－2时，直线AD的方程为x＋y－3＝0.‎ 能力提升练 ‎4．解　(1)由C1：x2＝4y知，其焦点F的坐标为(0,1)．‎ 因为F也是椭圆C2的一个焦点，‎ 所以a2－b2＝1.①‎ 又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，‎ 由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以＋＝1.②‎ 联立①②，得a2＝9，b2＝8.‎ 故C2的方程为＋＝1.‎ ‎(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．‎ 因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，‎ 即x1－x2＝x3－x4，‎ 于是(x1＋x2)2－4x1x2‎ ‎＝(x3＋x4)2－4x3x4.③‎ 设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.‎ 由 得x2－4kx－4＝0.‎ 而x1，x2是这个方程的两根，‎ 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④‎ 由 得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.‎ 而x3，x4是这个方程的两根，‎ 所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤‎ 将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，‎ 即16(k2＋1)＝，‎ 所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，‎ 即直线l的斜率为±.‎