2019年1月长沙模拟理科数学(解析版)

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长沙市 2019 届高三年级统一模拟考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．设集合 { | 4 1, }, { | 2 1, }M x x n n N x x n n       Z Z ，则（ ） A． M N B． N M C． M N D． N M 1．答案：A 解析： { | 4 1, } { | 2 2 1, }, { | 2 1, }M x x n n x x n n N x x n n            Z Z Z ，故 M N ． 2．在复平面内表示复数 i i m m   的点位于第一象限，则实数 m 的取值范围是（ ） A．( , 1)  B．( ,0) C．(0, ) D．(1, ) 2．答案：D 解析： 2 2 2 2 i ( i) 1 2 i i ( i)( i) 1 1 m m m m m m m m m          位于第一象限，则 2 1 0 1 2 0 m m m       ． 3．在等比数列{ }na 中，“ 1 3,a a 是方程 2 3 1 0x x   的两根”是“ 2 1a   ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．答案：A 解析： 1 3,a a 是方程 2 3 1 0x x   的两根，则 1 3 1 3 3 1 a a a a      ， 2 2 2 1 31 1a a a a     ，所以“ 1 3,a a 是 方程 2 3 1 0x x   的两根”是“ 2 1a   ”的充分不必要条件． 4．下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（ ） A． ( ) sinf x x x  B． ( ) ln( 1) ln( 1)f x x x    C． ( ) 2 x xe ef x  D． 1( ) 1 x x ef x e   4．答案：D 解析：选项 A， ( ) sinf x x x  ，定义域为 R ， ( ) sin( ) sin ( )f x x x x x f x         ，所以 ( )f x 是奇函数，图象关于原点对称， ( ) cos 1 0f x x   ≤ ，所以 ( )f x 在定义域内单调递减； 选项 B， ( ) ln( 1) ln( 1)f x x x    ，定义域为{ | 1}x x  ，定义域不关于原点对称； 选项 C， ( ) 2 x xe ef x  ，定义域为 R ， ( ) ( )2 x xe ef x f x     ，图象关于 y 轴对称； 选项 D， 1( ) 1 x x ef x e   ，定义域为 R ， 1 1( ) ( )1 1 x x x x e ef x f xe e          ，图象关于原点对称， 且 1 ( 1) 2 2( ) 11 1 1 x x x x x e ef x e e e         ，所以 ( )f x 在定义域内单调递增． 5．已知一种元件的使用寿命超过 1 年的概率为 0.8，超过 2 年的概率为 0.6，若一个这种元件使用到 1 年 时还未失效，则这个元件使用寿命超过 2 年的概率为（ ） A．0.75 B．0.6 C．0.52 D．0.48 5．答案：A 解析：设一个这种元件使用 1 年的事件为 A，使用 2 年的事件为 B，则 ( ) 0.6( | ) 0.75( ) 0.8 P ABP B A P A   ． 6．已知 1 2,F F 是双曲线 2 2: 1C y x  的上、下焦点，点 P 是其一条渐近线上一点，且以 1 2F F 为直径的圆 经过点 P ，则 1 2PF F△ 的面积为（ ） A． 2 2 B．1 C． 2 D．2 6．答案：C 解析：不妨设点 P 在渐近线 y x 上，又 0 0( , )P x x 在圆 2 2 2x y  上，所以 0 1x  ， 1 2 1 2 2 1 22PF FS    △ ． 7．在 ABC△ 中， 10, 6, 8AB BC CA   ，且O 是 ABC△ 的外心，则CA AO    （ ） A．16 B．32 C． 16 D． 32 7．答案：D 解析：以C 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则 (0,0), (8,0), (0,6), (4,3)C A B O ， 则 (8,0), ( 4,3), (8,0) ( 4,3) 32CA AO CA AO             ． O B AC 8．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”． “幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立 方体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的 体积为（ ） A． 48 3  B．8  C． 28 3  D． 4 2  1 1 2 2 正视图 侧视图 俯视图 8．答案：B 解析：该三视图表示的几何体是棱长为 2 的正方体挖去一个底面半径为 1，高为 2 的半圆柱，故该不规则 几何体的体积为8  ． 9．已知 (1,2)P 是函数 ( ) sin( ) ( 0, 0)f x A x A      图象的一个最高点， ,B C 是与 P 相邻的两个 最低点．设 BPC   ，若 3tan 2 4   ，则 ( )f x 的图象对称中心可以是（ ） A．(0,0) B．(1,0) C． 3 ,02      D． 5 ,02      9．答案：D 解析：取 BC 的中点 D ，连结 PD ，则 4PD  ， 2BPD   ，在 Rt PBD△ 中，由 3tan 2 4   ，得 3BD  ． 所以 ( 2, 2), (4, 2)B C   ， ,BP CP 的中点都是 ( )f x 图象的对称中心，故选 D． 2 1 1 2 2 2 4 D CB P O 10．已知 ( ) 1 1xf x e   ，若函数 2( ) [ ( )] ( 2) ( ) 2g x f x a f x a    有三个零点，则实数 a 的取值范围 是（ ） A．( 2, 1)  B．( 1,0) C．(0,1) D．(1,2) 10．答案：A 解析：由 2( ) [ ( )] ( 2) ( ) 2 [ ( ) 2] [ ( ) ] 0g x f x a f x a f x f x a         ，得 ( ) 2f x  或 ( )f x a  ，由 图象知，方程 ( ) 2f x  有一个实根，所以方程 ( )f x a  有两个不等实根，则1 2a   ， 所以 ( 2, 1)a   ． 3 2 1 2 O 11．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F ，点 , ( 0)4 pA a a     在C 上， 3AF  ，若直线 AF 与 C 交于另一点 B ，则 AB 的值是（ ） A．12 B．10 C．9 D．45 11．答案：C 解析： 3 34 2 4 p p pAF     ，解得 4p  ， 1 1 2 1 1 1, 3 2AF BF p BF     ，可得 6BF  ， 所以 9AB AF BF   ． 12．设正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1，E 为 1DD 的中点，M 为直线 1BD 上一点，N 为平面 AEC 内一点，则 ,M N 两点间距离的最小值为（ ） A． 6 3 B． 6 6 C． 3 4 D． 3 6 12．答案：B 解析：连接 AC ，交 BD 于点O ，则 1//OE BD ，从而 1 //BD 平面 AEC ，所以 ,M N 两点间距离的最小 值等于直线 1BD 到平面 AEC 的距离，而 B 到平面 AEC 的距离等于 D 到平面 AEC 的距离， 1 1, ,AC BD AC DD BD DD D    ，所以 AC  平面 1BDD ，过 D 作 DH OE 于点 H ， 又 ,DH AC OE AC O  ，所以 DH  平面 AEC ， 1 2 3, , ,2 2 2DE DO OE   6 6 DE DODH EO   ． A B CD D1 H E O A1 B1 C1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13．设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 13 52S  ，则 4 8 9a a a   ． 13．答案：12 解析： 1 13 13 7 7 4 8 9 7 7 7 7 13( ) 13 52, 4, ( 3 ) ( ) ( 2 ) 3 122 a aS a a a a a a d a d a d a               ． 不妨设等差数列{ }na 为常数列， na a ，则 13 4 8 913 52, 4, 3 12S a a a a a a        ． 14．为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设 , , , , ,A B C D E F 六门选修课程，学校规定每个学生 必须从这 6 门课程中选 3 门，且 ,A B 两门课程至少要选 1 门，则学生甲共有 种不同的选法． 14．答案：16 解析：分三类．选 A 不选 B，共有 2 4 6C  种选法，选 B 不选 A，共有 2 4 6C  种选法，选 A 且选 B，共有 1 4 4C  种选法，故学生甲共有6 6 4 16   种选法． 解法 2：从 6 门课程中选 3 门，共有 3 6 20C  种选法，其中 ,A B 两门课程都不选共有 3 4 4C  种选法，故学 生甲共有 20 4 16  种选法． 15．在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 1 3,2 2       ， 则 cos 2 3      ． 15．答案： 1 解析：由已知得 1 3cos ,sin2 2   ，所以 2 2 1 3cos 2 cos sin ,sin 2 2sin cos2 2           ， 所以 1 1 3 3cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 13 3 3 2 2 2 2                  ． 解法 2：不妨取 3   ，则 2 3    ，所以 cos 2 cos 13         ． 16．已知二次函数 2( )f x ax bx c   ，且 4 9c a ，若不等式 ( ) 0f x  恒成立，则 (1) (0) ( 1) f f f  的取 值范围是 ． 16．答案： 1, (3, )16        解析：由 2 0ax bx c   恒成立可知 2 0 4 a b ac    ，设 ,b cx ya a  ，则 2 4 9 4 x y y    ， 则 (1) 1 21(0) ( 1) ( ) 1 1 f a b c a b c x y y f f c a b c a b x x                    ，令 2 1 yz x   ，则 z 表示区域内的点 ( , )x y 与 (1, 2)P  连线的斜率，因为 93, 4A    ，所以 92 174 4 16PAk      ． 设直线 : ( 1) 2PB y k x   ，联立 2 4 ( 1) 2 x y y k x       ，得 2 4 4 8 0x kx k    ， 216 16 32 0 1, 2k k k k         ， 由图可知， 17, (2, )16z         ，故 (1) 1, (3, )(0) ( 1) 16 f f f           ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 已知 ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 sin( ) sin 2 B Ca A B c   ； （1）求 A ； （2）若 ABC△ 的面积为 3 ，周长为 8，求 a ． 17．解析：（1）由题设得 sin cos 2 Aa C c ．……………………………………………………2 分 由正弦定理得sin cos 2 AA  ，……………………………………………………………………4 分 所以 1sin 2 2 A  ．……………………………………………………………………………………5 分 故 60A   ．…………………………………………………………………………………………6 分 （2） 1 sin 32ABCS bc A △ ，从而 4bc  ．……………………………………………………8 分 由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 22 cos ( ) 3 ( ) 12a b c bc A b c bc b c bc b c            ．…………10 分 又 8a b c   ，故 2 2(8 ) 12a a   ，解得 13 4a  ．………………………………………………12 分 18．（本小题满分 12 分） 已知三棱锥 P ABC （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 ABCD 为边长等于 2 的正方形， ABE△ 和 BCF△ 均为正三角形，在三棱锥 P ABC 中： （1）证明：平面 PAC  平面 ABC ； （2）若点 M 在棱 PA 上运动，当直线 BM 与平面 PAC 所成的角最大时，求二面角 P BC M  的余弦 值． 18．解析：（1）设 AC 的中点为O ，连接 ,BO PO ．由题意，得 2, 1PA PB PC PO    ， 1AO BO CO   ，因为在 PAC△ 中， ,PA PC O 为 AC 的中点，所以 PO AC ， 因为在 POB△ 中， 1, 1, 2PO OB PB   ， 2 2 2PO OB PB  ，所以 PO OB ，……3 分 因为 AC OB O ，所以 PO  平面 ABC ． 因为 PO  平面 PAC ，所以平面 PAC  平面 ABC ．………………………………………………5 分 （2）由（1）知， , , ,BO PO BO AC PO AC O BO     平面 PAC ，所以 BMO 就是直线 BM 与平面 PAC 所成的角．且 1tan BOBMO OM OM   ，…………………………………………6 分 所以当OM 最短时，即 M 是 PA 的中点时， BMO 最大．……………………………………7 分 由 PO  平面 ,ABC OB AC ，所以 ,PO OB PO OC  ，于是以O 为坐标原点， , ,OC OB OP 所在 直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), ( 1,0,0)O C B A  ， 1 1(0,0,1), ,0,2 2P M     ， 3 1(1, 1,0), (1,0, 1), ,0,2 2BC PC MC             ．……………………8 分 设平面 MBC 的法向量为 1 1 1( , , )m x y z  ，则 0 0 n BC n MC          ，得 1 1 1 1 0 3 0 x y x z      ，令 1 1x  ，得 1 11, 3y z  ， 即 (1,1,3)m   ．………………………………………………………………………………………………9 分 设平面 PBC 的法向量为 2 2 2( , , )n x y z  ，由 0 0 n BC n PC          ，得 2 2 2 2 0 0 x y x z      ， 令 1x  ，得 1, 1y z  ，即 (1,1,1)n   ．…………………………………………………………10 分 1 1 3 5 5 33cos , 3311 3 33 m nn m m n             ．………………………………………………11 分 由图可知，二面角 P BC M  的余弦值为 5 33 33 ．……………………………………………………12 分 A B C M P z yx O 19．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b    的离心率为 1 3 ，左、右焦点分别为 1 2F F、 ， A 为椭圆C 上一点， 1AF 与 y 轴交于 B ， 2 4, 3AB F B OB  ． （1）求椭圆C 的方程； （2）设椭圆C 的左、右顶点为 1 2A A、 ，过 1 2A A、 分别作 x 轴的垂线 1 2l l、 ，椭圆C 的一条切线 : ( 0)l y kx m k   与 1 2l l、 交于 M N、 两点，求证： 1 2MF N MF N   ． 19．解析：（1）连接 2AF ，由题意得 2 1AB F B F B  ，所以 BO 为 1 2F AF△ 的中位线， 又因为 1 2BO F F ，所以 2 1 2AF F F ，且 2 2 82 3 bAF BO a   ，…………………………3 分 又 1 3 ce a  ， 2 2 2a b c  ，得 2 29, 8a b  ，故所求椭圆方程为 2 2 19 8 x y  ．……………………5 分 O A B x y F1 F2 （2）由题可知， 1l 的方程为 3x   ， 2l 的方程为 3x  ． 直线l 与直线 1 2l l、 联立得 ( 3, 3 ) (3,3 )M k m N k m   、 ， 所以 1 1( 2, 3 ), (4,3 )F M k m F N k m        ，所以 2 2 1 2 8 9F M F M m k       ．………………7 分 联立 2 2 19 8 x y y kx m       ，得 2 2 2(9 8) 18 9 72 0k x kmx m     ． 因为直线l 与椭圆C 相切，所以 2 2 2(18 ) 4(9 8)(9 72) 0km k m      ， 化简得 2 29 8m k  ．………………………………………………………………………………9 分 所以 2 2 1 1 8 9 0F M F N m k        ，所以 1 1F M F N   ，故 1MF N 为定值 2  ．………………10 分 同理 2 2( 4, 3 ), (2,3 )F M k m F N k m        ，所以 2 2 2, 2F M F N MF N      ． 故 1 2MF N MF N   ． ………………………………………………12 分 5 4 3 2 1 1 2 3 4 2 2 4 M N A2A1 F1 O F2 20．（本小题满分 12 分） 某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近 6 个月广告投入量 x（单位：万元）和收 益 y（单位：万元）的数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 2 4 6 8 10 12 收益 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67 他们分别用两种模型① y bx a  ，② bxy ae 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得 到如图所示的残得到如图所示的残差图及一些统计量的值差图及一些统计量的值： x y 6 1 i i i x y   6 2 1 i i x   7 30 1464.24 364 （1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； （2）残差绝对值大于 2 的数据被认为是异常数据，需要剔除： （i）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程； （ii）若投入广告量 18x  时，该模型收益的预报值是多少？ 附：对于一组数据 1 1 2 2( , ), ( , ), , ( , )n nx y x y x y ，其回归直线 ˆ ˆy bx a  的斜率和截距的最小二乘估计分 别为： 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ˆ ˆˆ, ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b a y bx x x x nx                   ． 20．（1）应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模型拟合精度越高， 回归方程的预报精度越高．………………………………………………………………………………2 分 （2）（i）剔除异常数据，即月份为 3 的数据后，得 5 1 7 6 6 30 6 31.87.2, 29.64, 1464.24 6 31.8 1273.445 5 i i i x y x y             ， 5 2 2 1 364 6 328i i x     ．……………………………………………………………………………6 分 5 1 5 2 2 1 1273.44 5 7.2 29.64 206.4ˆ 3328 5 7.2 7.2 68.8 i i i i i x y nx y b x nx               ； ˆˆ 29.64 3 7.2 8.04a y bx      ， 所以 y 关于 x 的线性回归方程为： ˆ 3 8.04y x  ． ……………………………………9 分 （ii）把 18x  代入回归方程得： ˆ 3 18 8.04 62.04y     ， 故预报值约为62.04 万元． …………………………………………12 分 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) (1 ln )xf x e a x  ，其中 0a  ，设 ( )f x 为 ( )f x 的导函数． （1）设 ( ) ( )xg x e f x  ，若 ( ) 2g x ≥ 恒成立，求 a 的范围； （2）设函数 ( )f x 的零点为 0x ，函数 ( )f x 的极小值点为 1x ，当 2a  时，求证： 0 1x x ． 21．（1）由题可知， ( ) 1 ln ( 0)x af x e a x xx         ， 2 ( 1)( ) ( ) 1 ln , ( ) ( 0)x a a xg x e f x a x g x xx x         ． ………………………………2 分 当 (0,1)x 时， ( ) 0, ( )g x g x  在区间(0,1) 上单调递减， 当 (1, )x  时， ( ) 0, ( )g x g x  在区间(1, ) 上单调递增， 故 ( )g x 在 1x  处取得最小值，且 (1) 1g a  ， 由于 ( ) 2g x ≥ 恒成立，所以1 2a ≥ ，所以 1a≥ ．………………………………………………4 分 （2）设 ( ) ( ) 1 lnx ah x f x e a xx        ，则 2 2( ) 1 lnx a ah x e a xx x         ． 设 2 2( ) 1 lna aH x a xx x    ，则 2 2 3 3 2 2 ( 2 2)( ) 0a a a a x xH x x x x x         ， 故 ( )H x 在(0, ) 上单调递增． ……………………………………………………6 分 因为 2a  ，所以 1(1) 1 0, 1 ln 2 02H a H a         ，故存在 2 1 ,12x     ，使得 2( ) 0H x  ， 则 ( )h x 在区间 2(0, )x 上单调递减，在区间 2( , )x  上单调递增， 故 2x 是 ( )h x 的极小值点，因此 2 1x x ． ……………………………………………8 分 由（1）可知，当 1a  时， 1ln 1x x ≥ ． ……………………………………………9 分 因此 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 ln (1 ) 0x xah x h x e a x e ax           ≥ ，即 ( )f x 单调递增． 由于 1( ) 0H x  ，即 12 1 1 21 ln 0a a a xx x    ，即 1 2 1 1 21 ln a aa x x x   ， 所以 1 1 1 1 1 1 02 2 1 1 1 1 22( ) (1 ln ) 0 ( )x x x xa af x e a x e ae f xx x x             ．……………………11 分 又由（1）可知， ( )f x 在 (0, ) 单调递增，因此 1 0x x ． …………………………12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 M 的参数方程 为 1 cos 1 sin x y        （ 为参数），过原点O 且倾斜角为 的直线l 交 M 于 A B、 两点． （1）求l 和 M 的极坐标方程； （2）当 0, 4      时，求 OA OB 的取值范围． 22．解析：（1）由题意可得，直线 1l 的极坐标方程为 ( )   R ．………………………………2 分 曲线 M 的普通方程为 2 2( 1) ( 1) 1x y    ， ……………………………………………3 分 因为 2 2 2cos , sin ,x y x y        ，……………………………………………………………4 分 所以极坐标方程为 2 2(cos sin ) 1 0       ．…………………………………………………5 分 （2）设 1 2( , ), ( , )A B    ，且 1 2,  均为正数，将  代入 2 2(cos sin ) 1 0       ，……6 分 得 2 2(cos sin ) 1 0       ，当 0, 4      时， 2 28sin 4 04         ， 所以 1 2 2(cos sin )      ， ……………………………………………………………8 分 根据极坐标的几何意义， ,OA OB 分别是 ,A B 的极径． 从而： 1 2 2(cos sin ) 2 2 sin 4OA OB               ． 当 0, 4      时， ,4 4 2         ，故 OA OB 的取值范围是(2,2 2]．……………………10 分 23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) ,f x x x a a  R ． （1）当 (1) ( 1) 1f f   ，求 a 的取值范围； （2）若 0a  ，对 , ( , ]x y a   ，都有不等式 5( ) 4f x y y a  ≤ 恒成立，求 a 的取值范围． 23．解析：（1） (1) ( 1) 1 1 1f f a a       ， ……………………………………………1 分 若 1a ≤ ，则1 1 1a a    ，得 2 1 ，即 1a ≤ 时恒成立；…………………………………………2 分 若 1 1a   ，则1 (1 ) 1a a    ，得 1 2a   ，即 11 2a    ；……………………………………3 分 若 1a≥ ，则 (1 ) (1 ) 1a a     ，得 2 1  ，此时不等式无解．……………………………………4 分 综上所述， a 的取值范围是 1, 2      ．……………………………………………………………………5 分 （2）由题意知，要使不等式恒成立，只需 max min 5( ) 4f x y y a      ≤ ．……………………6 分 当 ( , ]x a  时，   2 2 max( ) , ( ) 2 4 a af x x ax f x f         ．………………………………7 分 因为 5 5 4 4y y a a   ≥ ，所以当 5 ,4y a     时， min 5 5 5 4 4 4y y a a a          ．……8 分 于是 2 5 4 4 a a ≥ ，解得 1 5a ≤ ≤ ． ……………………………………………………9 分 结合 0a  ，所以 a 的取值范围是(0,5]． ………………………………………………………10 分