2018-2019学年江西省南康中学高二下学期期中考试（第二次大考）数学（文）试题 Word版

2018-2019学年江西省南康中学高二下学期期中考试（第二次大考）数学（文）试题 Word版

南康中学 2018～2019 学年度第二学期高二第二次大考 数学（文）试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共 10 小题， 每小题 5 分，共 50 分） 1. 已知复数 ，则 ( 　) A． B． C． 　　D． 2. “ ”是 “ ”的 ( 　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件 3. 某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用 x 与销售利润 y 的统计 数据如右表,由表中数据，得线性回归方程 ，则下列结论错误的是(　　 ) 广告费用 x(万元) 2 3 5 6 销售利润 y(万元) 5 7 9 11 A. B. C.直线 过点 　 D.直线 过点 4．若命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 5．用反证法证明命题“若 则 ”时， 第一步应假设（ ） A． B． C． D． 6．如果执行下图的算法框图，若输入 n＝6，m＝4， 那么输出的 p 等于 (　　)． A．720　　　　　 B．360 C．240　　　　　 D．120 7．据统计，某位同学在大考中语文和数学成绩达到优秀等级(120 以上)的概率分别为 和 ， 3 1 iz i += − z = 1 2 5 5 0x > 0x ≠ :l y bx a= + 0b> 0a > l (4,8) l (2,5) 2 0 0 0, 1 0x R x ax∃ ∈ + + < a ( 2,2)− ( , 2] [2, )−∞ − +∞ [ 2,2]− ( , 2) (2, )−∞ − +∞ 2 2 2 0,a b c+ + = 0a b c= = = 0a b c≠ ≠ ≠ 0 0 0a b c≠ ≠ ≠或 或 0abc ≠ 0, 0, 0a b c≠ ≠ ≠ 0.6 0.8 假设两科考试成绩相互独立，则这位同学在期中考试中语文和数学至少有一科优秀的概率是 (　 　) A． B． C． 　 D． 8．已知 分别是椭圆 的左，右焦点， 为椭圆上一点，且 （O 为坐标原点）， ，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．某几何体的三视图如图所示，该几何体各个面中， 最大面积为（ ） A． B． C． D． 10．已知函数 是 上的可导函数，当 时，有 ，则函数 的零点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 11 山。．已知抛物线 与双曲线 有一个相同的焦点，则动点 的轨迹是（ ） A．直线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 12．已知定义在 上的函数 ， 为其导数，且 恒成立， 则（ ） A． B． 0.08 0.44 0.48 0.92 1 2,F F 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > P 1 1( ) 0PF OF OP+ =    1 2| | 2 | |PF PF=  6 3 2 − 6 5− 6 3− 6 5 2 − 2 34 10 8 2 6 2 ( )y f x= R 0x ≠ ( )( ) 0f xf x x ′ + > 1( ) ( )F x xf x x = + 2 2 ( 0)y nx n= < 2 2 12 x y m − = G( , )m n 0, 2 π     (x)f ( )f x′ ( )cos ( )sinf x x f x x′< 3 6 3f f π π   <       2 6 4f f π π   >       C． D． 0 二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）． 13.掷一个骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“小于 5 的点数出 现”，则一次试验中，事件 发生概率为 . 14. 曲线 在 处的切线方程为 . 15 ． 设 的 三 边 长 分 别 为 ， 的 面 积 为 ， 内 切 圆 半 径 为 ， 则 ；类比这个结论可知：四面体 的四个面的面积分别为 ， 内切球的半径为 ，四面体 的体积为 ，则 ． 16．已知函数 ，对 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 70 分）． 17．（本小题满分 10 分）已知命题 直线 与圆 有公共 点； 命题 函数 在区间 上单调递减； （1）分别求出两个命题中 的取值范围，并回答 是 的什么条件； （2）若 真 假，求实数 的取值区间． 18．（本小题满分 12 分）某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了 20 名用户的 评分，得到图 3 所示茎叶图，对不低于 75 的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意， （1）根据以上资料完成下面的 2×2 列联表，若据此数据算得 ，则在犯错误 的概率不超过 5%的前提下，你是否认为“满意与否”与“性别”有关？ 不满意 满意 合计 3 24 3f f π π   >       ( )1 2 sin16f f π <    BA + 1 1 xy x += − 1x = − ABC∆ cba ,, ABC∆ S r 2Sr a b c = + + P ABC− 1 2 3 4, , ,S S S S R P ABC− V R = ( ) | ln |f x x= [0, ]x e∀ ∈ ( ) (1) ( 1)f x f c x− ≥ − c :p : 0l x y m− + = 2 2 1 :( 1) 2C x y+ + = :q 2( ) 2 1f x mx x= − + ( ,1]−∞ m p q p q m 2 3.7781K = 3 3 4 6 8 5 1 3 6 4 6 2 4 5 5 1 7 3 3 5 6 9 8 3 2 1 图 3 S CB A M N 男 4 7 女 合计 附： P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 （2）根据这次的调查数据估计用户对该公司的产品“满意”的概率； （3）该公司为对客户做进一步的调查，从上述对其产品满意的用户中再随机选取 2 人， 求这两人都是男用户或都是女用户的概率. 19．（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)＝2x3－x2＋ax＋b， (1)若函数 f(x)的图像上有与 x 轴平行的切线，求参数 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)在 x＝1 处取得极值，且 x∈[－1,2]时，f(x)＜b2＋b 恒成立，求参数 b 的取 值范围． 20、（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， 且 ，点 是 的中点， 且交 于点 . （1）求证： 平面 ； （2）当 时，求三棱锥 的体积. ABCS − ⊥SA ABC 90=∠ABC ABSA = M SB SCAN ⊥ SC N ⊥SC AMN 1AB BC= = SANM − 21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 3 2 ，右焦点到直线 x＋y＋ 6＝0 的距离为 2 3. (1)求椭圆的方程； (2)过点 M(0，－ 1)作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，交 x 轴于 N 点，满足NA→ ＝－ 7 5NB→ ，求直 线 l 的方程． 22．（本小题满分 12 分）已知函数 ⑴若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围； ⑵若 （ 为自然对数的底数），证明：当 时， 2( ) ln .f x ax x x= − ( )f x (0, )+∞ a a e= e 0x > 1( ) .xf x xe e < + 南康中学 2018～2019 学年度第二学期高二第二次大考 数学（文）参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共 10 小题， 每小题 5 分，共 50 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D C B B D C B B D A 二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）． 13. 14. 15. 16. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 70 分）． 17．解：（1）在命题 中，由 ；　 ------3 分 在命题 中， 由 　，　------5 分 当 时，函数 也满足条件 ------6 分 ， 　 是 的必要不充分条件 ------7 分 （2） 由 真 假可得： ------10 分 18．解：（1） 不满意 满意 合计 男 3 4 7 女 11 2 13 合计 14 6 20 -----------------2 分 ∵ <3.84 1， ∴在犯错的概率不超过 5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别”有关。----4 分 3 2 2 1 0x y+ + = 1 2 3 4 3V S S S S+ + + 1[ 1, ]1e − − p | 1 | 2 | 1| 2 1 3 2 m m m − + ≤ ⇒ − ≤ ⇒ − ≤ ≤ q 0m ≠ 0 0 11 1 m m m > ⇒ < ≤ ≥ 0m = ( ) 2 1f x x= − + : 1 3p m∴ − ≤ ≤ :0 1q m≤ ≤ p q p q 1 3 1 0 1 30 m m mm − ≤ ≤ ⇒ − ≤ < < ≤ < > 或或m 1 [ 1,0) 1,3]m∴ ∈ − ( 2 3.7781K ≈ （2）因样本 20 人中，对该公司产品满意的有 6 人，故估计用户对该公司的产品“满意” 的概率为 -----------------6 分 （3）由（1）知，对该公司产品满意的用户有 6 人，其中男用户 4 人，女用户 2 人， 设男用户分别为 ；女用户分别为 -----------------8 分 从中任选两人，记事件 A 为“选取的两个人都是男用户或都是女用户”，则 总的基本事件为 共 15 个， ------------------10 分 而事件 A 包含的基本事件为 共 7 个， 故 ． ------------------------------------12 分 19、【解】　(1)f′(x)＝6x2－2x＋a，依题意知，方程 f′(x)＝6x2－2x＋a＝0 有实根，所以 Δ＝4－4×6a≥0，得 a≤ 1 6. 即参数 a 的取值范围为(－∞， 1 6]． (2)由函数 f(x)在 x＝1 处取得极值，知 x＝1 是方程 f′(x)＝6x2－2x＋a＝0 的一个根， 所以 a＝－4，方程 f′(x)＝6x2－2x＋a＝0 的另一个根为－ 2 3， 因此，当 x＜－ 2 3或 x＞1 时，f′(x)＞0； 当－ 2 3＜x＜1 时，f′(x)＜0. 所以 f(x)在[－1，－ 2 3]和[1,2]上为增函数，在(－ 2 3，1)上为减函数， ∴f (x)有极大值 f(－ 2 3)＝ 44 27＋b. 极小值 f(1)＝b－3，又 f(－1)＝b＋1，f(2)＝b＋4， ∴当 x∈[－1,2]时，f(x)max＝4＋b. ∵f(x)＜b2＋b 恒成立，∴4＋b＜b2＋b. ∴b＜－2 或 b＞2. 即参数 b 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 20.（1）证明： 底面 ， ，又易知 ， 平面 ， ， 又 ， 是 的中点， ， SA ⊥ ABC BC SA∴ ⊥ BC AB⊥ BC∴ ⊥ SAB BC AM∴ ⊥ SA AB= M SB AM SB∴ ⊥ 6 0.320 = , , ,a b c d ,e f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,( , ), , ,a b a c a d a e a f b c ( ) ( ), , , ,( , ),b d b e b f ( ) ( ) ( ), , , ,( , ), , ,( , ),( , )c d c e c f d e d f e f ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,( , ), , ,( , ),( , ), ,a b a c a d b c b d c d e f ( ) 7 15P A = 平面 ， ， 又已知 ， 平面 ； （2） 平面 ， 平面 ， 而 ， ， ， 又 ， ， 又 平面 ， ，而 ， ， ， ， . 21、解：(1)设右焦点为(c，0)，则 |c＋ 6| 2 ＝2 3，c＋ 6＝±2 6，c＝ 6或 c＝－3 6(舍 去)． 又离心率 c a＝ 3 2 ，即 6 a ＝ 3 2 ，解得 a＝2 2，则 b＝ a2－c2＝ 2， 故椭圆的方程为 x2 8 ＋ y2 2 ＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，0)，因为＝－ 7 5， 所以(x1－x0，y1)＝－ 7 5(x2－x0，y2)，y1＝－ 7 5y2　①， 易知当直线 l 的斜率不存在或斜率为 0 时，①不成立， 于是设 l 的方程为 y＝kx－1(k≠0)，联立{y＝kx－1 x2＋4y2＝8消去 x 得(4k2＋1)y2＋2y＋1－8k2＝ 0， 因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交． 于是 y1＋y2＝－ 2 4k2＋1　②，y1y2＝ 1－8k2 4k2＋1　③， 由①②得，y2＝ 5 4k2＋1，y1＝－ 7 4k2＋1，代入③整理得 8k4＋k2－9＝0，k2＝1，k＝±1. 所以直线 l 的方程是 y＝x－1 或 y＝－x－1. AM∴ ⊥ SBC AM SC∴ ⊥ SCAN ⊥ ⊥∴SC AMN SC ⊥ AMN SN∴ ⊥ AMN 1SA AB BC= = = 2AC∴ = 3SC = AN SC⊥ 6 3AN∴ = AM ⊥ SBC AM AN∴ ⊥ 2 2AM = 6 6MN∴ = 1 2 6 3 2 2 6 12AMBS∆∴ = × × = 1 1 3 36S AMN AMNV S SN− ∆∴ = ⋅ = 36 1==∴ −− AMNSSANM VV