2018-2019学年陕西省铜川市王益区高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年陕西省铜川市王益区高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2018-2019 学年陕西省铜川市王益区高二上学期期末数学（理） 试题 一、单选题 1．命题“若 x＞1，则 x2-2x+2＞0”的逆否命题是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【解析】根据命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”，写出它的逆否命题即 可． 【详解】 解：根据命题与逆否命题之间的关系，可得： 命题“若 x＞1，则 x2-2x+2＞0”的逆否命题是“若 x2-2x+2≤0，则 x≤1”． 故选：D． 【点睛】 本题考查了四种命题之间的关系应用问题，是基础题目． 2．∀a∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），方程 x2+ay2＝1 所表示的曲线不可能是（ ） A．双曲线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【答案】D 【解析】利用方程的特征，判断曲线的形状即可． 【详解】 解： ，方程 中含有 ， 项，没有一次项，所以曲 线不表示抛物线． 故选： ． 【点睛】 本题考查圆锥曲线的特征，曲线的判断，是基本知识的考查，属于基础题． 3．在空间直角坐标系中，已知 A，B 两点的坐标分别是（1，2，0），（2，﹣2，1），则 向量 为（ ） A．（1，﹣4，1） B．（1，0，1） C．（﹣1，4，﹣1） D．（3，0，1） 【答案】A 1x ≤ 2 2 2 0x x− + ≤ 2 2 2 0x x− + > 1x > 1x < 2 2 2 0x x− + > 2 2 2 0x x− + ≤ 1x ≤ p q q¬ p¬ ( ) ( ),0 0,a∀ ∈ −∞ +∞ 2 2 1x ay+ = 2x 2y D AB 【解析】根据点的坐标求向量坐标的方法即可得出 的坐标． 【详解】 解： ， ， ． 故选： ． 【点睛】 本题考查空间向量坐标的定义，由空间点的坐标求向量坐标的方法，考查计算能力，属 于基础题． 4．如图，在空间四边形 ABCD 中，E，M，N 分别是边 BC，BD，CD 的中点，DE，MN 交于 F 点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用 是边 的中点，可得 ，代入 即可 求解． 【详解】 解： 是边 的中点， ； ； 故选： ． 【点睛】 本题考查平面向量基本定理，考查学生的分析能力；属于基础题． 5．双曲线 1 的渐近线方程为（ ） A．y＝± x B．y＝±5x C．y＝± x D．y＝± x AB ( )1,2,0A ( )2, 2,1B − ∴ (1, 4,1)AB = − A 1 1 2 2AB AC EF+ + =   AD AF FA EM E BC 1 1 2 2AB AC AE+ =   1 1 2 2AB AC EF+ +   E BC ∴ 1 1 2 2AB AC AE+ =   ∴ 1 1 2 2AB AC EF AE EF AF+ + = + =      B 2 2 10 2 x y− = 1 5 5 5 5 【答案】D 【解析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定 双曲线的渐近线方程． 【详解】 解： 双曲线 ，它的 ， ，焦点在 轴上， 而双曲线 的渐近线方程为 ， 故选： ． 【点睛】 本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题 时要注意先定位，再定量的解题思想． 6．已知命题 p：“∀x∈[1，+∞），2x+x﹣m＞0”；命题 q：“∃x0∈[1，10]，lgx0+m＞0”， 若“p∧q”为真命题，则实数 m 的取值范围为（ ） A．（﹣∞，3） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，3） D．[﹣1，3] 【答案】C 【解析】根据“ ”为真命题判定命题 ， 的真假，利用复合命题之间的关系即可 得到结论． 【详解】 解：因为“ ”为真命题，则 和 都是真命题， 当 是真命题时，“ ， ， ”；即 ，对于 ， 恒成立， 令 ， ， ， ， ， ，所以函数 在 ， 上单调递增， ，所以 ， 当 是真命题时，“ ， ， ”，只需要 ， 即 ， 综上可得 ；  2 2 110 2 x y− = 10a = 2b = x 2 2 110 2 x y− = by xa = ± 1 2 0 y x∴ = ± 5 5y x∴ = ± D p q∧ p q p q∧ p q p [1x∀ ∈ )+∞ 2 0x x m+ − > 2xm x< + [1x∀ ∈ )+∞ ( ) 2xf x x= + [1x∈ )+∞ ( ) 2 2 1 0xf x ln′ = + > [1x∈ )+∞ ( )f x [1x∈ )+∞ ( )( ) 1 3minf x f= = 3m < q 0 [1x∃ ∈ 10] 0 0lgx m+ > 0m lgx− < ( ) ax0 mm lgx∴− < 1m∴− < 1m > − 1 3m− < < 故选： ． 【点睛】 本题主要考查复合命题之间的关系，根据“ ”为真命题判定命题 ， 的真假是解 决本题的关键，属于基础题． 7．已知 F1，F2 分别为椭圆 1（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆 左焦点且斜率为 的直线交椭圆于 A，B 两点，若 4，则弦长|AB|＝（ ） A．8 B．6 C．5 D． 【答案】A 【解析】通过三角形的面积以及弦长公式，转化求解即可． 【详解】 解：因为 ，所以 ， ， 过椭圆左焦点且斜率为 ， ． 故选： ． 【点睛】 本题考查了椭圆的简单性质，以及直线与椭圆的位置关系的应用，属中档题． 8．已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 y2＝1 的右支交于 A，B 两点，若|AB|＝8，则 直线 l 的方程为（ ） A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 【答案】B 【解析】设斜率为1 的直线 的方程为 ，联立双曲线的方程可得 的二次方程， 运用韦达定理和弦长公式，解方程可得 ，检验 ，可得所求直线方程． 【详解】 解：设斜率为 1 的直线 的方程为 ， C p q∧ p q 2 2 2 2 x y a b + = 3 3 2ABFS =  8 3 3 2 4ABFS =  1 2 | | 42 A Bc y y× × − = | | 4A By y∴ − =  3 3 2 1| | 1 | | 8A BAB y yk ∴ = + − = A 2 4 x − 21+ 21− 3 5 5 − 3 5 5 + l y x t= + x t 0t < l y x t= + 联立双曲线方程 ，可得 ， 设 ， ， ， ，可得 ， ， 则 ， 解得 ，由于直线 与双曲线的右支交于两点，可得 ， 则直线 的方程为 ． 故选： ． 【点睛】 本题考查双曲线的方程和运用，考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理和弦长 公式，考查化简运算能力，属于中档题． 9．已知空间向量 （1，2，m）， （0，﹣1，2），若 2 与 垂直，则 • （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用 与 垂直，得到 ，即可得出 ，进而求出结论． 【详解】 解： ， ， ， 因为： 与 垂直 ，即 ，解得 ． 故选： ． 【点睛】 本题考查的知识点是向量的数量积判断向量垂直，其中根据两向量垂直数量积为 0，属 于基础题． 10．已知 F1，F2 分别为椭圆 的左、右焦点，P 是椭圆上一点，若直线 PF1 与直线 PF2 斜率的乘积为﹣2，则 （ ） 2 2 14 x y− = 2 23 8 4 4 0x tx t+ + + = 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 1 2 8 3 tx x+ = − 2 1 2 4 4 3 tx x += 2 2 2 2 1 2 1 2 64 16 16 4 3| | 1 1 ( ) 4 2 2 89 3 3 t t tAB x x x x + −= + + − = − = =   21t = ± l 21t = − l 21y x= − B a = b = a b−  b a b = 5 4 9 4 11 2 5 2 2a b−  b (2 ) 0a b b− =    m  ( )1,2,a m= ( )0, 1,2b = − ( )2 2,5,2 2a b m∴ − = −  2a b−  b (2 ) 0a b b∴ − =    5 4 4 0m− + − = 9 4m = ∴ 9 50 2 2 2a b = − + =   D 2 2 18 4 x y+ = 1 2F PFS =  A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求得椭圆的 ， ， ，可得左右焦点的坐标，设 ，代入椭圆方程， 由直线的斜率公式可得 ， 的方程，解方程可得 ，再由三角形的面积公式计算可 得所求值． 【详解】 解：椭圆 的 ， ， ， 左、右焦点为 ， ， 设 ，可得 ， 直线 与直线 斜率的乘积为 ， 解得 ，即 ， 则 ． 故选： ． 【点睛】 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线的斜率公式的运用，方程思想和运算能力，属于 基础题． 11．如图，在三棱锥 中， ， 平面 ， ， ， ， 分别为 的中点，则异面直线 与 所 成角的余弦值为（ ） A． B． 2 6 3 8 3 4 6 3 16 3 a b c ( , )P m n m n | |n 2 2 18 4 x y+ = 2 2a = 2b = 2c = 1( 2,0)F − 2 (2,0)F ( , )P m n 2 22 8m n+ = 1PF 2PF 2 2 22 2 4 n n n m m m = = −+ − − 2 8 3n = 2 6| | 3n = 1 2 1 2 1 2 6 4 6| | | | | | 22 3 3F PFS F F n c n= = = =    C C OAB− OA OB⊥ OC ⊥ OAB 6OA = 8OB OC= = 1 4CE CB= ,D F ,AB BC DF OE 10 10 6 10 25 C． D． 【答案】B 【解析】建立空间坐标系，求得两直线的方向向量即可得到夹角. 【详解】 以 为单位正交基底建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ， 异面直线 与 所成角的 余弦值为 . 故选 . 【点睛】 这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内， 转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线 垂直的时候. 12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： （a＞b＞0）的左、右焦 点分别为 F1，F2，P 为椭圆上一点（在 x 轴上方），连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q，且 PF1＝3F1Q，若 PF2 垂直于 x 轴，则椭圆 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求得椭圆的左右焦点，设 ，由题意可得 ，代入椭圆方程求得 ， 再由向量共线的坐标表示可得 的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公 式可得所求值． 30 30 30 20 , ,OA OB OC   Oxyz ( )3,4,0D ( )0,4,4F ( )0,2,6E ( )3,0,4DF = − ( )0,2,6OE = • 24 6 10cos , 255•2 10• DF OEDF OE DF OE ∴ = = =      ∴ DF OE 6 10 25 B 2 2 2 2 1x y a b + = 1 3 1 2 3 3 3 2 ( , )P m n m c= n Q 【详解】 解：设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 设 ， ，由 垂直于 轴可得 ， 由 ，可得 ， 设 ，由 ，可得 ， ， 解得 ， ， 将 ， 代入椭圆方程可得 ， 即 ，即有 ， 则 ， 故选： ． 【点睛】 本题考查椭圆的方程和性质，注意运用向量共线定理，考查化简运算能力，属于中档 题． 二、填空题 13．若“ x＜3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是_____． 【答案】[3，+∞） 【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】 解：若“ ”是“ ”的充分不必要条件， 则“ ”能推出“ ”成立，“ ”不能推出“ ”成立， 所以由题意可设 ， ； 即 ， 则实数 的取值范围是 ， ， 故答案为： ， 【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题 的关键． 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c ( , )P m n 0n > 2PF x m c= 2 4 2 2 2 2(1 )c bn b a a = − = 2bn a = ( , )Q s t 1 13PF FQ=  3( )c c s c− − = + 2 3b ta − = 5 3s c= − 2 3 bt a = − 5( 3Q c− 2 )3 b a − 2 2 2 2 25 19 9 c b a a + = 2 2 2 225 9c a c a+ − = 2 23a c= 3 3 ce a = = C 1 2 ＜ 1 32 x< < 0 x m  1 32 x< < 0 x m  0 x m  1 32 x< < 1{ | 3}2A x x= < < { | 0 }B x x m=   A B 3 m m [3 )+∞ [3 )+∞ 14．已知曲线 ，直线 ，则抛物线 上一个动点 到直 线 的距离与它到直线 的距离之和的最小值为__________． 【答案】 【解析】根据抛物线的定义得到，点 到直线 的距离等于 ，所以点 到直线 与到直线 的距离之和等于 到直线 的距离与 之和。 【详解】 抛物线的标准方程为 ，焦点 ，所以点 到直线 的距离等于 ， 所以点 到直线 与到直线 的距离之和等于 到直线 的距离与 之和，其最 小值为 . 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线 有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结 和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化. 15．在△ABC 中，A（1，﹣1，2），B（2，1，1），C（﹣1，2，3），若向量 与平面 ABC 垂直，且 ＝15，则 的坐标为_____． 【答案】 （5 ， ，7 ）或 （﹣5 ， ，﹣7 ）． 【解析】求出 ，2， ， ，3， ，设 ， ， ，向量 与平 面 垂直， ，列出方程组能求出结果． 【详解】 ∵在△ABC 中，A（1，﹣1，2），B（2，1，1），C（﹣1，2，3）， ∴ （1，2，﹣1）， （﹣2，3，1）， 设 ∵向量 与平面 ABC 垂直， 1 : 3 0l x y− + = 2 : 3l x = − 21 8x y= P 1l 2l 5 2 12 + P 2l 1PF + P 1l 2l P 1l 1PF + 2 8y x= ( )2,0F P 2l 1PF + P 1l 2l P 1l 1PF + 2 2 1 2 1 0 3 5 21 121 1 × − × + + = + + 5 2 12 + n n n n = 3 3 3 n = 3 3− 3 (1AB = 1)− ( 2AC = − 1) (n x= y )z n ABC 15n = AB = AC = ( ), ,n x y z= n ∴ ，解得 ， ∵ ，∴ 15， 解得 ， ， 或 ， ， ∴ 或 ． 【点睛】 本题考查向量的坐标的求法，考查向量与平面垂直、向量的模等基础知识，考查运算求 解能力，属于中档题． 16．已知向量 （4，﹣5，12）， （3，t， ），若 与 的夹角为锐角，则实数 t 的取值范围为_____． 【答案】（﹣∞，4） 【解析】由题意利用两个向量的夹角的定义，两个向量共线的性质，求得实数 的取值 范围． 【详解】 解： 向量 ， ， ， ， ， ，若 与 的夹角为锐角， ，且 与 不共线， 即 ，且 不成立，解得 ， 则实数 的取值范为 ， 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题． 三、解答题 17．已知命题 p：“方程： 表示焦点在 x 轴上的双曲线”；命题 q：“关于 x 的不等式 x2+2ax+1≥0 在 R 上恒成立”． （1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若命题“p 或 q”为真命题，“p 且 q”为假命题，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）（﹣2，0）∪（0，2） （2）（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0} 2 0 2 3 0 n AB x y z n AC x y z  ⋅ = + − =  ⋅ = − + + =   5 7 x y z y =  = 15n = 2 2 2x y z+ + = 3y = 5 3x = 7 3z = 3y = − 5 3x = − 7 3z = − ( )5 3, 3,7 3n = ( )5 3, 3, 7 3n = − − − a = b = 2 3 a b t  (4a = 5− 12) (3b = t 2)3 a b ∴ · 0a b >  a b 24 3 5 12 03t× − + × > 2 3 3 4 5 12 t= =− 4t < t ( ,4)−∞ ( ,4)−∞ 2 2 2 2 14 x y a a − =− 【解析】（1）由题意可得关于 的不等式组，求解得答案； （2）求出命题 为真命题的 的取值范围，由“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题， 可得 真 假，或 假 真．然后利用交、并、补集的混合运算求解． 【详解】 解：（1） 方程： 表示焦点在 轴上的双曲线， ，解得 或 ． 实数 的取值范围为 ； （2）当命题 为真时， ，解得 ． “ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题， 真 假，或 假 真． 若 真 假，则 ，解得 或 ； 若 假 真，则 ，解得 ． 实数 的取值范围为 ． 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查计算能力，是中档题． 18．在底面是正三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，底面边长为 a， 侧棱长为 2a，点 M 是 A1B1 的中点． （1）证明：MC1⊥AB1． （2）求直线 AC1 与侧面 BB1C1C 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）以 为原点，在平面 中过 作 的垂线为 轴， 为 轴， a q a p q p q p q p q  2 2 2 2 14 x y a a − =− x ∴ 2 0 4 0 a a ≠  − > 2 0a− < < 0 2a< < ∴ a ( ) ( )2,0 0,2−  q 24 4 0a∆ = −  1 1a−    p q p q p∴ q p q p q 2 0 0 2 1 1 a a a a − < < < < − 或 或 2 1a− < < − 1 2a< < p q 2 2 0 1 1 a a a a − = − 或 或    0a = ∴ a ( ) ( ) { }2, 1 1,2 0− −   15 10 A ABC A AC x AB y 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 ． （2）求出侧面 的法向量，利用向量法能求出直线 与侧面 所成角的 正弦值． 【详解】 解：（1）证明：以 为原点，在平面 中过 作 的垂线为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 则 ，0， ， ， ， ， ，0， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，0， ， ， ， ， ， ． （2）解： ， ， ， ，0， ， ， ， ， 设侧面 的法向量 ， ， ， 则 ，取 ，得 ， ， ， 设直线 与侧面 所成角为 ， 则直线 与侧面 所成角的正弦值为： ． 【点睛】 1AA z 1 1MC AB⊥ 1 1BB C C 1AC 1 1BB C C A ABC A AC x AB y 1AA z (0A 0) (0B a 0) 1(0A 2 )a 1 3( 2 aC − 2 a 2 )a (0M 2 a 2 )a 1(0B a 2 )a 3( 2C a− 2 a 0) 1 3( 2 aMC = − 0) 1 (0AB = a 2 )a  1 1 0MC AB =   1 1MC AB∴ ⊥ 3( 2 aBC = − 2 a− 0) 1 (0BB = 2 )a 1 3( 2 aAC = − 2 a 2 )a 1 1BB C C (n x= y )z 1 3· 02 2 · 2 0 a an BC x y n BB az  = − − =  = =   x a= (n a= 3a− 0) 1AC 1 1BB C C θ 1AC 1 1BB C C 1 1 15sin 10 n AC n AC θ = = ⋅      本题考查面面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．已知曲线上一动点 P（x，y）（x＞0）到定点 F（ ，0）的距离与它到直线 l：x 的距离的比是 ． （1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （2）若 M 是曲线 E 上的一个动点，直线 l′：y＝x+4，求点 M 到直线 l′的距离的最小 值． 【答案】（1） y2＝1（x ） （2） 【解析】（1）由两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简可得所求轨迹方程； （2）设 ，过 与直线 且与双曲线相切的直线 ，联立双曲线的 方程，由相切的条件：判别式为 0，可得 ，注意检验，再由两平行直线的距离公式可 得所求最小值． 【详解】 解：（1）曲线上一动点 ， 到定点 ， 的距离与它到直线 的距离的比是 ， 可得 ，两边平方可得 ， 令 可得 ， 则动点 的轨迹 的方程为 ； （2）设 ，过 与直线 且与双曲线相切的直线 ， 由 可得 ， ，解得 ， 当 时， ，解得 ，由 可得 舍去； 当 时， ，解得 ，符合题意；直线 ， 和 的距离为 ，可得点 到直线 的距离的最小值为 ． 3 2 3 = 6 2 2 2 x − 2＞ 5 2 2 ( , )M x y M l′ 1 :l y x m= + m (P x )( 0)y x > ( 3F 0) 2: 3 l x = 6 2 2 2( 3) 6 22 3 x y x − + = − 2 2 12 x y− = 0y = 2x = ± P E 2 2 1( 2)2 x y x− = > ( , )M x y M l′ 1 :l y x m= + 2 22 2 y x m x y = +  − = 2 24 2 2 0x mx m+ + + = 2 216 8( 1) 0m m∆ = − + = 1m = ± 1m = 2 4 4 0x x+ + = 2x = − 0x > 2x = − 1m = − 2 4 4 0x x− + = 2x = 1 : 1l y x= − 1l l′ | 4 1| 5 2 22 + = M l′ 5 2 2 【点睛】 本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线联立，运用相切的条件：判别式 为 0，以及两平行直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 20．已知抛物线 ，焦点到准线的距离为 4. （1）求抛物线的方程； （2）若抛物线上存在两点关于直线 对称，且两点的横坐标之积为 2，求 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】(1)根据题干得到 ，进而得到方程；（2）设存在两点分别为 ， ，则根据对称性得到直线 的斜率为 ，代入 AB 的中点坐标得到 ，再由两根的和与积得到参数值. 【详解】 （1）由题意可得抛物线的焦点到准线的距离为 ， . 抛物线方程是 . （2）设存在两点分别为 ， ，则直线 的斜率 ， 又 两点在抛物线上， ， . 又 的中点 在直线 上， 即 ， . ， 即 . 又 ， ， ( )2 2 0x py p= > 2y x m= + m 2 8x y= 19 4 4p = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 1 2 − ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 28 x x x x x x m + − = + +  p 4p∴ = ∴ 2 8x y= ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 1 2 1 2 1 2 y yk x x −= = −− ,A B ( )2 2 1 2 1 2 1 8y y x x∴ − = − 1 2 4x x∴ + = − AB 1 2 1 2,2 2 x x y y+ +     2y x m= + 1 2 1 22•2 2 y y x x m + += + ( )1 2 1 22 2y y x x m∴ + = + + ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 28 x x x x m∴ + = + + ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 28 x x x x x x m + − = + +  1 2 4x x+ = − 1 2• 2x x = . 【点睛】 当题目中已知直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，可以设出直线和双曲线 的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程中，运用点差法，求出直线的斜率，然后利用中 点求出直线方程．（2）“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦） 弦中点轨迹、垂直平分线问题． 21．如图，已知四棱锥 的底面是正方形， 平面 ， ，点 分别为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，证得两个向量垂直， 即可得到线面垂直；（2）求两个面的法向量，求解两个法向量的夹角或其补角，即二 面角的大小。 【详解】 （1）证明：以 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 ， ， ， ， ， ， ， ， 19 4m∴ = P ABCD− PA ⊥ ABCD 2PA AD= = , ,E F G , ,AB AD PC PC ⊥ EFG E PC F− − 1 2 , ,AB AD AP   A xyz− ( )0,0,0A ( )2,0,0B ( )2,2,0C ( )0,0,2P ( )0,2,0D ( )1,0,0E ( )0,1,0F ( )1,1,1G ， ， . ， , . 又 ， 平面 . （2）解： ， ， ， . 设平面 的一个法向量为 ， 即 取 ， . 设平面 的一个法向量为 ， 即 取 ， 则 . 设二面角 的平面角为 ， . ， . 【点睛】 传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角 的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的 计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助 法向量求空间角. 22．已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ， 焦距为 6. （1）求椭圆 的方程. ( )0, 1, 1GE∴ = − − ( )1,0, 1GF = − − ( )2,2, 2PC = − ( ) ( ) ( )• 0 2 1 2 1 2 0GE PC∴ = × + − × + − × − =  • 2 0 2 0GF PC  = − + + = GE PC∴ ⊥  GF PC⊥  GE GF G∩ = PC∴ ⊥ EFG ( )1,0, 2PE = −  ( )1,2,0EC = ( )0,1, 2PF = − ( )2, 1,0CF = − − PEC ( )1 1 1 1, ,n x y z= 1 1 • 0, • 0, n PE n EC  =∴ =     1 1 1 1 2 0, 2 0, x z x y − =∴ + = 1 1 1 1 1 ,2 1 ,2 z x y x  =  = − 1 2x = ( )1 2, 1,1n = − PCF ( )2 2 2 2, ,n x y z= 2 2 • 0, • 0, n PF n CF  =∴ =     2 2 2 2 2 0, 2 0, y z x y − =∴− − = 2 2 2 2 ,2 ,2 yz yx  =  = − 2 2y = ( )2 1,2,1n = − E PC F− − θ 1 2 1 2 • 3 1cos 26 • 6 n n n n θ∴ = = =     0, 2 πθ  ∈   1cos 2 θ∴ = ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 3 2 1F 2F C （2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为 的直线分别与椭圆交于 点.试问直线 是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由. 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】（1）根据题意得到 解得 ，再由 a,b,c 的关系得到结果； （2）设出直线 AM，联立直线和椭圆，表示出点 M 的坐标，设直线 的斜率为 ， 则 ，即 ，把点 坐标中 的替换为 ，得到点 N 的坐标，利 用两点坐标表示出直线 MN 即可得到直线过定点. 【详解】 （1）由题意知 解得 . 又 ， ， 椭圆方程为 . （2）设左顶点 ，根据已知得直线 的斜率存在且不为零， 设 ，代入椭圆方程，得 ， 设 ，则 ，即 ， ， 即 . 设直线 的斜率为 ，则 ，即 ，把点 坐标中 的替换为 ，得 . 当 的横坐标不相等，即 时， ，直线 的方程为 1 4 − ,M N MN 2 2 112 3 x y+ = 3 ,2 3, c a c  =  = 2 3a = AN k′ 1 4kk′ = − 1 4k k ′ = − M k 1 4k − 3 ,2 3, c a c  =  = 2 3a = 2 2 2a b c= + 2 3b∴ = ∴ 2 2 112 3 x y+ = ( )2 3,0A − ,AM AN ( ): 2 3AM y k x= + ( )2 2 2 21 4 16 3 48 12 0k x k x k+ + + − = ( )1 1,M x y 2 1 2 48 122 3 1 4 kx k −− = + 2 1 2 2 3 8 3 1 4 kx k −= + ( )1 1 2 4 32 3 1 4 ky k x k = + = + 2 2 2 2 3 8 3 4 3,1 4 1 4 k kM k k  −  + +  AN k′ 1 4kk′ = − 1 4k k ′ = − M k 1 4k − 2 2 2 8 3 2 3 4 3,4 1 4 1 k kN k k  − −  + +  ,M N 1 2k ≠ ± 2 2 1 4MN kk k = − MN ，即 ，该直线恒过定点 . 当 时， 、 的横坐标为零，直线 也过定点 . 综上可知，直线 过定点 . 【点睛】 圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的 分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这 个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得 到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 2 2 2 2 4 3 2 2 3 8 3 1 4 1 4 1 4 k k ky xk k k  −− = −  + − +  2 2 1 4 ky xk = − ( )0,0 1 2k = ± M N MN ( )0,0 MN ( )0,0