专题09-4圆锥曲线小题突破第四季-2019年领军高考数学（理）压轴题必刷题

专题09-4圆锥曲线小题突破第四季-2019年领军高考数学（理）压轴题必刷题

专题09-4圆锥曲线小题突破第四季 ‎1．已知，分别为椭圆的右顶点和上顶点，平行于的直线与轴、轴分别交于、两点,直线、均与椭圆相切,则和的斜率之积等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设椭圆方程为，可知，‎ ‎，‎ 设方程为，‎ 则，‎ 方程为，‎ 由，得，‎ 与椭圆相切， ‎ ‎，‎ 得，‎ 同理可得，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ ‎2．以下五个关于圆锥曲线的命题中：‎ ‎①平面内与定点A（-3，0）和B（3，0）的距离之差等于4的点的轨迹为；‎ ‎②点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则的最小值是6；‎ ‎③平面内到两定点距离之比等于常数的点的轨迹是圆；‎ ‎④若过点C（1，1）的直线交椭圆于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线的方程是．‎ ‎⑤已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 其中真命题的序号是______．（写出所有真命题的序号）‎ ‎【答案】②④⑤‎ ‎【解析】‎ 由题意，①中，平面内与定点和的距离之差等于4，根据双曲线的定义可得轨迹为双曲线的右支，且，即方程为，所以是错误的；‎ ‎②中，点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影为M点，且，由于点A在抛物线开口之外，抛物线的焦点F坐标为，则，‎ 由点A、P、F三点共线可得取得最小值，所以是正确的；‎ ‎⑤已知P为抛物线上一动点，Q为圆上的一个动点，由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离，‎ 又由的最小值即为到圆心的距离减半径1，即有最小值为，‎ 则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值为，所以是正确的，‎ 所以正确命题的序号为②④⑤.‎ ‎3．已知过椭圆上一点的切线方程为，若分别交轴于两点，则当最小时，__________．（为坐标原点）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为点的切线方程为，若分别交轴于两点，所以A（，0），B（0，），==，‎ 又 点P在椭圆上，有，‎ ‎=+)，当且仅当=时等号成立，，‎ 解得，， ==，‎ ‎=.‎ 故答案为.‎ ‎4．已知椭圆的右焦点关于直线对称的点在椭圆上，则椭圆的离心率为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示，点F关于直线的对称点为P ，交于直线于点M，‎ 直线的斜率为，即△MOF是一个的直角三角形，‎ 因为原点O为FF'的中点，且M为FP的中点，‎ 所以OM为△PF'F的中位线，‎ 所以，△PF'F也是一个直角三角形，且，‎ 从而，又.‎ 可得，‎ 又因为|FF'|＝2c，‎ 所以|PF|2+|PF'|2＝|FF'|2，‎ 所以，‎ 故离心率为．‎ 故答案为：‎ ‎5．已知抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点A，B在准线上的投影分别为，且，则的面积与的面积比值为______．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 由抛物线定义可得，所以，‎ 又因为,‎ 所以，同理可得,‎ 由正三角形的性质可得，‎ 所以，‎ 则，‎ 所以，‎ 的面积：‎ ‎，‎ 的面积：，‎ 则的面积与的面积比值为9，‎ 故答案为9．‎ ‎6．已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点，，，四点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】‎ 因为，所以焦点，准线，‎ 由圆：，可知其圆心为，半径为，‎ 由抛物线的定义得：，‎ 又因为，所以，同理，‎ 当轴时，则，所以，‎ 当的斜率存在且不为0时，‎ 设时，代入抛物线方程，得：，‎ ‎，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 综上所述，的最小值为13，‎ 故答案是：13.‎ ‎7．过抛物线C：上一点A(1，1)作两条互相垂直的直线分别交抛物线于P，Q(异于点A)两点，则直线PQ恒过定点________________．‎ ‎【答案】(，)‎ ‎【解析】‎ 由题意可得，这两条直线的斜率均存在，且不为0，设AP：，‎ 与抛物线C：联立，消去x，得，‎ 由根与系数的关系可得，，即P(()2，)，‎ 同理可得Q(，)，所以直线PQ的斜率，‎ 所以直线PQ：．‎ 通过对比可知，， 满足条件，即直线PQ恒过定点 (，)．‎ ‎8．已知，分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上在第一象限内的点，若且.延长交双曲线右支于点，则的面积等于________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 由题意知，根据双曲线定义，‎ 所以，，所以.‎ 由图知，‎ 所以，为等腰三角形，又因为，所以，则为等腰直角三角形，‎ 所以.所以.‎ ‎9．已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，点P是两曲线的一个公共点，分别是两曲线的离心率，若PF1PF2，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为,双曲线实轴为2，‎ 令P在双曲线的右支上，‎ 由双曲线的定义，①‎ 由椭圆定义，②‎ 又∵PF1PF2，‎ ‎∴，③‎ ‎①2+②2,得，④‎ 将④代入③,得，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎10．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 所以，，,‎ 即的最小值是.‎ ‎11．已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线 的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线的一个公共点且，则椭圆的离心率为_____．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 由在抛物线上可得：，‎ 又，‎ 解得.‎ ‎ 中，利用余弦定理可得： ‎ 化简得： ‎ 所以，解得或，‎ 故填或.‎ ‎12．已知点，点在圆上，为坐标原点，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ 可得与圆相切时，最小，最大，‎ 即当与圆相切时，比值最小，‎ 在中，，‎ 结合两点坐标，可得，‎ ‎，故答案为.‎ ‎13．已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左右焦点，过点作椭圆的切线和两轴分别交于点，当（为坐标原点）的面积最小时，，则椭圆的离心率为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 不妨设，在第一象限，‎ 由椭圆参数方程可得，‎ 则过的切线方程为，‎ 即 令得；‎ 令得，‎ ‎，‎ 当时，有最小值，此时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由余弦定理得，‎ 化为，‎ ‎，故答案为.‎ ‎14．已知直线与椭圆交于两点（直线的斜率大于0），且，若的面积为，则直线的方程为__________．‎ ‎【答案】或 又原点到直线的距离， ，‎ 所以，‎ 结合①得,解得或，当 时，，‎ 因为，所以，当时，，即，经检验满足，所以所求直线方程为或.‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线﹣t2y2＝1（t∈[2，3]）的右焦点为F，过F作双曲线的渐近线的垂线，垂足为H，则△OFH面积的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在双曲线中，‎ ‎，‎ 右焦点为，渐近线方程为，‎ ‎，，‎ 面积，‎ ‎，‎ 令，解得 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故面积的取值范围为，故答案为.‎ ‎16．设，是曲线的两点，则的最大值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，的面积为 ‎，‎ 所以的最大值为的最大值，‎ 曲线，即表示以为圆心，以为半径的圆，‎ 当圆内接等边三角形，三角形的面积取得最大值，‎ 此时圆，内接正三角形的边长为，‎ 此时圆内接正三角形的最大面积为，‎ 所以的最大值为。‎ ‎17．点在曲线上运动，是曲线第二象限上的定点，的纵坐标是，，，若，则的最大值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，可得点在曲线上，即在上运动，‎ 又由是曲线第二象限上的定点，的纵坐标是，代入可得，即，‎ 设点，因为，‎ 即，即，‎ 解得，所以，‎ 当，此时最大值为。‎ ‎18．如图，椭圆，圆 ，椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为__________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 设P点的坐标,‎ 因为P在椭圆上，‎ 所以，则，‎ 因为，‎ 所以，又，‎ 则，‎ 由对称性得= ‎ ‎.‎ ‎19．过直线上点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则使∠AOB最小的点P坐标是_____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 设，如图可知，，‎ ‎∴当与直线垂直时，最小，‎ 最大，最小，‎ 从而最小，‎ 此时直线的方程为，‎ 与直线联立，‎ 解得点坐标为，故答案为.‎ ‎20．已知双曲线的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，与在一象限的公共点为，若直线斜率为，则双曲线离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，，‎ 解得，所以抛物线的方程为；‎ 由,‎ 如图，过作抛物线准线的垂线,垂足为，设，‎ 则，‎ 由，可得，‎