河南省郑州市2019届高三第一次（1月）质量预测理科数学(解析版)

河南省郑州市2019届高三第一次（1月）质量预测理科数学(解析版)

2019 年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学试题卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．若复数1 2 i ( )2 i a a R  的实部和虚部相等，则实数 a 的值为（ ） A．1 B． 1 C． 1 6 D． 1 6 1．答案：C 解析：1 2 i (1 2 i)(2 i) (2 2 ) (4 1)i 2 i (2 i)(2 i) 5 a a a a         ，所以 2 2 4 1a a   ，解得 1 6a  ． 2．已知集合 { | 3 4}M x x  ≤ ， 2{ | 2 8 0}N x x x   ≤ ，则（ ） A． M N R B． { | 3 4}M N x x   ≤ C． { | 2 4}M N x x  ≤ ≤ D． { | 2 4}M N x x   ≤ 2．答案：D 解析： 2{ | 2 8 0} { | ( 2)( 4) 0} { | 2 4}N x x x x x x x x       ≤ ≤ ≤ ≤ ， 所以 { | 3 4}M N x x  ≤ ≤ ， { | 2 4}M N x x   ≤ ． 3．已知矩形 ABCD 中， 2 4BC AB  ，现向矩形 ABCD 内随机投掷质点 M ，则满足 0MB MC   ≥ 的 概率是（ ） A． 4  B． 4 4  C． 2  D． 2 4   3．答案：B 解析：满足 0MB MC   ≥ 的点在以 BC 为直径的圆外（含边界）， 则所求概率 212 4 22 44 4 2P         ． 4．下列函数既是奇函数，又在[ 1,1] 上单调递增的是（ ） A． ( ) sinf x x B． ( ) ln e xf x e x   C． 1( ) ( )2 x xf x e e  D． 2( ) ln( 1 )f x x x   4．答案：C 解析：选项 A， ( ) sin( ) sin sin ( )f x x x x f x       ，所以 ( )f x 为偶函数； 选项 B，定义域为( , )e e ，且 ( ) ( ) ln ln ln ln1 0e x e x e x e xf x f x e x e x e x e x                  ，所以 ( )f x 为奇函数，因为 ( ) 2 2( ) ln ln ln 1e x x e e ef x e x e x e x               ，所以 ( )f x 在 ( , )e e 上单调递减； 选项 C， 1( ) ( ) ( )2 x xf x e e f x     ，故 ( )f x 为奇函数，显然 ( )f x 在[ 1,1] 上单调递增，故选 C； A B C D 选项 D， 2 2( ) ( ) ln( 1 ) ln( 1 ) ln1 0f x f x x x x x          ，所以 ( )f x 为奇函数， 又 2( ) ln( 1 )f x x x    ，所以 ( )f x 在[ 1,1] 上单调递减． 5．在 ABC△ 中，三边长分别为 a ， 2a  ， 4a  ，最小角的余弦值为13 14 ，则这个三角形的面积为（ ） A．15 34 B．15 4 C． 21 34 D． 35 34 5．答案：A 解析：最小角的余弦值为 2 2 2 2 2 ( 2) ( 4) 12 20 13 2( 2)( 4) 2( 6 8) 14 a a a a a a a a a           ，整理得 2 6 0a a   ，解得 3a  或 2a   （舍去），所以 ABC△ 的三边长为 3，5，7， 21 135 7 12 14 15 34ABCS         △ ． 6．如图，在 ABC△ 中， 2 3AN NC   ，P 是 BN 上一点，若 1 3AP t AB AC     ，则实数t 的值为（ ） A B C N P A． 2 3 B． 2 5 C． 1 6 D． 3 4 6．答案：C 解析： 2 5,3 2AN NC AC AN        ，所以 1 5 3 6AP t AB AC t AB AN         ，因为 , ,P N B 三点共线， 所以 5 11,6 6t t   ． 7．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b    的左右焦点分别为 1F ， 2F ，实轴长为 6，渐近线方程为 1 3y x  ，动点 M 在双曲线左支上，点 N 为圆 2 2: ( 6) 1E x y   上一点，则 2MN MF 的最小值 为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．答案：B 解析：依题意可知 3, 1, 10a b c   ． 2 1 16 6 4 6 10ME MF ME MF EF       ≥ ， 所以   min m n2 i2 1 9MN MF ME MF   ． 2 1 1 2 3 4 6 4 2 2 E F2F1 O M 8．已知函数 ( ) sin( )( 0, )2 2f x x         ≤ ≤ 的图像相邻的两个对称中心之间的距离为 2  ，若将 函数 ( )f x 的图像向左平移 6  后得到偶函数 ( )g x 的图像，则函数 ( )f x 的一个单调递减区间为（ ） A． ,8 6      B． 7,4 12       C． 0, 3      D． 5,2 6       8．答案：B 解析： 2, , 22 2 T T T       ， ( )f x 的图像向左平移 6  后得到 ( ) sin 26 6g x f x x                   sin 2 3x        为偶函数，所以 ,3 2k k Z      ， 所以 ,6k k Z    ，又因为 2 2   ≤ ≤ ，所以 6   ． 由 32 2 2 ,2 6 2k x k k Z      ≤ ≤ ，得 2 ,6 3k x k k Z    ≤ ≤ ， 因为 7 2, ,4 12 6 3              ，故选 B． 9．如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A．16 2 (32 16 2 16 5)   B．16 2 (16 16 2 16 5)   C．16 2 (32 32 2 32 5)   D．16 2 (16 32 2 32 5)   9．答案：A 解析：该几何体最上面是一个正四棱柱，下面是两个倒扣的圆锥，其表面积 2 16 2 (32 14 2 2 2 2 4 4 4 2 6 2 16 5)4 4 5S                  ． 10．已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中的底面为等腰直角三角形，AB AC ，点 M ，N 分别是边 1AB ， 1AC 上动点，若直线 //MN 平面 1 1BCC B ，点Q 为线段 MN 的中点，则点Q 的轨迹为（ ） A．双曲线的一支（一部分） B．圆弧（一部分） C．线段（去掉一个端点） D．抛物线的一部分 10．答案：C 解析：平移平面 1 1BCC B ，使其与 1 1 1 1, , ,AB A B AC AC 交于 1 1, , ,M M N N ，则四边形 1 1MM NN 为矩形， 且线段 MN 的中点Q 为矩形 1 1MM NN 的中心，设 1AA 的中点为 D ，矩形 1 1BCC B 的中心为 E ，则点Q 在 线段 DE 上，包括 D ，但不包括 E ． 11．抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F ，已知点 A ， B 为抛物线上的两个动点，且满足 60AFB   ， 过弦 AB 的中点C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为 D ，则 AB CD   的最小值为（ ） A． 3 B．1 C． 2 3 3 D．2 11．答案：B 解析： 2 2 2 2 22 cos60AB AF BF AF BF AF BF AF BF         ，    1 1 1 1 2 2CD AA BB AF BF    ， 则           22 2 2 2 2 2 4 12 124 4AB AF BF CD AF BF AF BF AF BF AF BF AF BF A AF B F BF F                     124 14 AF BF AF BF   ≥ ，所以 1 AB CD   ≥ ，当且仅当 AF BF 时等号成立，即 AB CD   的最小值为 1． QM M1 N1 B1 A1 C1 A C B N 12．已知函数 2 3 2 3 6 , 0,( ) 3 4, 0, x x xf x x x x       ≥ 设 { | ( ( ) ) 0}A x Z x f x a   ≥ ，若 1A 中有且仅有 4 个元素， 则满足条件的整数 a 的个数为（ ） A．31 B．32 C．33 D．34 12．答案：D 解析：当 0x  时， 3 2( 4) 3f xx x   ， 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x       ，当 2x   时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减；当 2 0x   时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增，且 ( 2) 0f   ，作出 ( )f x 的图象如图所示， 由 ( ( ) ) 0x f x a ≥ ，当 0x  时满足题意；当 0x  时，需 ( )f x a≥ ；当 0x  时，需 ( )f x a≤ ． 又 ( 4) 20, ( 3) 4, ( 2) 0, ( 1) 2, (0) 0, (1) 3, (2) 0, (3) 9, (4) 24f f f f f f f f f               ， 要保证集合 1A 中有且仅有 4 个元素，由图可知当 0a  ，或 9, 10, , 23a     ，或 2,3, 4, ,19a   时 满足题意，故满足条件的整数 a 的个数为 34． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．已知 21( )nxx  的展开式的各项系数和为 64，则展开式中 3x 的系数为 ． 13．答案：20 解析：令 1x  ，得 21( )nxx  的展开式的各项系数和为 2 64, 6n n   ，则展开式中含 3x 的项为 3 3 2 3 3 6 1 ( ) 20C x xx       ，所以展开式中 3x 的系数为 20． 7 6 5 4 3 2 1 1 2 4 2 2O D C A1 B1 B O F A D C B1 A1 B O F A 14．已知变量 x ， y 满足 2 4 0, 2, 6 0, x y x x y       ≤ ≥ ≤ 则 1 3 yz x   的取值范围是 ． 14．答案：[ 13, 4]  解析：作可行域为如图所示的 ABC△ ，其中 8 10(2,3), (2, 4), ,3 3A B C      ， 1 3 yz x   表示可行域内的点与 点 (3, 1)P  连线的斜率， 4, 13PA PCk k    ，所以 1 3 yz x   的取值范围是[ 13, 4]  ． O x y A B C P 15．《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计 的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、 《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长 沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有 种．（用数字作答） 15．答案：144 解析： , , , , ,A B C D E F 排序，B 在 D 的前面， ,A F 不相邻且均不排在最后，先排 , , ,B C D E ，共有 4 4 24A  种方法，其中 B 在 D 的前面的有 12 种方法，产生 4 个空位（不包括最后一个空位），再安排 ,A F 插入 4 个空位，共有 2 4 12A  种方法，所以后六场的排法有12 12 144  种． 16．如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动，点 B 恰好经过原点．设顶点 ( , )P x y 的轨迹方程是 ( )y f x ，则对函数 ( )y f x 有下列判断：①函数 ( )y f x 是偶函数；②对任意的 x R ，都有 ( 2) ( 2)f x f x   ；③函数 ( )y f x 在区间[2,3]上单调递减；④函数 ( )y f x 的值域是[0,1] ； ⑤ 2 0 1( ) 2f x dx   ．其中判断正确的序号是 ． 16．答案：①②⑤ 解析：点 P 的运动轨迹如图所示，由图可知，函数 ( )y f x 是周期为 4 的偶函数，故①②正确， 函数 ( )y f x 在区间[ 2, 1]  上单调递增，所以在区间[2,3]上单调递增，故③错误； 函数 ( )y f x 的值域是[0, 2] ，故④错误； 2 2 0 1 1 1( ) ( 2) 1 18 2 4 2f x dx           ，故⑤正确． x y O 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． 17． 已知数列{ }na 为等比数列，首项 1 4a  ，数列{ }nb 满足 2logn nb a ，且 1 2 3 12b b b   ． （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）令 1 4 n n n n c ab b    ，求数列{ }nc 的前 n 项和 nS ． 17． 解析：（Ⅰ）由 2logn nb a 和 1 2 3 12b b b   得 2 1 2 3log ( ) 12a a a  ，∴ 12 1 2 3 2a a a  ．……2 分 设等比数列{ }na 的公比为 q ，∵ 1 4a  ，∴ 2 6 3 12 1 2 3 4 4 4 2 2a a a q q q      ，计算得出 4q  ……4 分 ∴ 14 4 4n n na    ．…………………………………………………………………………………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 2log 4 2n nb n  ， 4 14 42 2( 1) ( 1) n n nc n n n n      1 1 41 n n n   ……………………………………………………7 分 设数列 1 ( 1)n n      的前 n 项和为 nA ，则 1 1 1 1 11 2 2 3 1nA n n        1 n n  ……………………9 分 设数列{4 }n 的前 n 项和为 nB ，则 4 4 4 4 (4 1)1 4 3 n n nB     ，…………………………………………11 分 ∴ 4 (4 1)1 3 n n nS n   ．…………………………………………………………………………………12 分 18． 已知四棱锥中 P ABCD ，底面 ABCD 为菱形， 60ABC   ， PA  平面 ABCD ， E 、 M 分别 是 BC 、 PD 上的中点，直线 EM 与平面 PAD 所成角的正弦值为 15 5 ，点 F 在 PC 上移动． P A B C D E F M （Ⅰ）证明：无论点 F 在 PC 上如何移动，都有平面 AEF  平面 PAD ； （Ⅱ）求点 F 恰为 PC 的中点时，二面角C AF E  的余弦值． 18．解析：（Ⅰ）证明：连接 AC ，∵底面 ABCD 为菱形， 60ABC   ，∴ ABC△ 是正三角形， ∵ E 是 BC 中点，∴ AE BC ．又 //AD BC ，∴ AE AD ，∵ PA  平面 ABCD ，AE  平面 ABCD ， ∴ PA AE ，又 PA AE A ，∴ AE  平面 PAD ， 又 AE  平面 AEF ，∴平面 AEF  平面 PAD ．……………………………………4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得， AE ， AD ， AP 两两垂直，以 AE ， AD ， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系，……………………………………………………………………5 分 ∵ AE  平面 PAD ，∴ AME 就是 EM 与平面 PAD 所成的角， 在 Rt AME△ 中， 15sin 5AME  ，即 6 2 AE AM  ，设 2AB a ，则 3AE a ，得 2AM a ， 又 2AD AB a  ，设 2PA b ，则 (0, , )M a b ，所以 2 2 2AM a b a   ， 从而b a ，∴ 2PA AD a  ，…………………………………………………………………………7 分 则 (0,0,0)A ， ( 3 , ,0)B a a ， ( 3 , ,0)C a a ， (0, 2 ,0)D a ， (0,0,2 )P a ， ( 3 ,0,0)E a ， 3( , , )2 2 a aF a ， 所以 ( 3 ,0,0)AE a  ， 3( , , )2 2 a aAF a  ， ( 3 ,3 ,0)BD a a   ，……………………………………8 分 设 ( , , )n x y z  是平面 AEF 一个法向量， 则 0 0 n AE n AF           3 0 3 02 2 ax ax ay az      取 z a ，得 (0, 2 , )n a a   …………………………………9 分 又 BD  平面 ACF ，∴ ( 3 ,3 ,0)BD a a   是平面 ACF 的一个法向量，…………………………10 分 ∴ cos , | | | | n BDn BD n BD         26 15 55 2 3 a a a     ，……………………………………………………11 分 ∴二面角C AF E  的余弦值为 15 5 ．………………………………………………………………12 分 P A B C D E F M x y z 19． 2012 年 12 月 18 日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的 74 个城市之一，郑州市正式发布 2.5PM 数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善．郑 州市设有 9 个监测站点监测空气质量指数（ AQI ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设 有 2, 5, 2 个监测站点，以 9 个站点测得的 AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量． （Ⅰ）若某日播报的 AQI 为 118，已知轻度污染区 AQI 的平均值为 74，中度污染区 AQI 的平均值为 114， 求重度污染区 AQI 的平均值； （Ⅱ）如图是 2018 年 11 月的 30 天中 AQI 的分布，11 月份仅有一天 AQI 在[170,180) 内． 组数 分组 天数 第一组 [50,80) 3 第二组 [80,110) 4 第三组 [110,140) 4 第四组 [140,170) 6 第五组 [170, 200) 5 第六组 [200,230) 4 第七组 [230.260) 3 第八组 [260,290) 1 ①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的 AQI 为标准，如果 AQI 小于 180，则去 进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率； ②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数 据中抽取 3 天的数据进行评价，设抽取到 AQI 不小于 180 的天数为 X ，求 X 的分布列及数学期望． 19．解析：（Ⅰ）设重度污染区 AQI 的平均值为 x ，则74 2 114 5 2 118 9x      ，解得 172x  ． 即重度污染区 AQI 平均值为 172．………………………………………………………………………2 分 （Ⅱ）①由题意知， AQI 在[170,180) 内的天数为 1， 由图可知， AQI 在[50,170) 内的天数为 17 天，故 11 月份 AQI 小于 180 的天数为1 17 18  ， 又 18 3 30 5 ，则该学校去进行社会实践活动的概率为 3 5 ．………………………………………………5 分 ②由题意知， X 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 3 0 18 12 3 30 204( 0) 1015 C CP X C   ， 2 1 18 12 3 30 459( 1) 1015 C CP X C   ， 1 2 18 12 3 30 297( 2) 1015 C CP X C   ， 0 3 18 12 3 30 11( 3) 203 C CP X C   ，………………………………………………10 分 则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 204 1015 459 1015 297 1015 11 203 数学期望 EX  204 459 297 110 1 2 31015 1015 1015 203       6 5 ．……………………………………12 分 20． 设点 M 为圆 2 2: 4C x y  上的动点，点 M 在 x 轴上的投影为 N ，动点 P 满足 2 3PN MN   ， 动点 P 的轨迹为 E ． （Ⅰ）求 E 的方程； （Ⅱ）设 E 的左顶点为 D ，若直线 :l y kx m  与曲线 E 交于两点 A ， B （ A ， B 不是左右顶点），且 满足 DA DB DA DB       ，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标． 20． 解析：（Ⅰ）设点 0 0( , )M x y ， ( , )P x y ，由题意可知 0( ,0)N x ∵ 2 3PN MN   ，∴ 0 02( , ) 3(0, )x x y y    ，……………………………………………………2 分 即 0x x ， 0 2 3 y y ，又点 M 在圆 2 2: 4C x y  上 ，∴ 2 2 0 0 4x y  ． 代入得 2 2 14 3 x y  ，即轨迹 E 的方程为 2 2 14 3 x y  ．…………………………………………………4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ( 2,0)D  ，设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 联立 2 2 14 3 y kx m x y     得 2 2 2(3 4 ) 8 4( 3) 0k x mkx m     ， 2 2 2(8 ) 4(3 4 )(4 12)mk k m     2 216(12 3 9) 0k m    ． 即 2 23 4 0k m   ， 2 2 1,2 2 8 16(12 3 9) 2(3 4 ) mk k mx k      ． ∴ 1 2 2 8 3 4 mkx x k    2 1 2 2 4( 3) 3 4 mx x k   ．…………………………………………………………7 分 又 1 2 1 2( )( )y y kx m kx m   2 2 1 2 1 2( )k x x mk x x m    2 2 2 3 12 3 4 m k k   ∵ DA DB DA DB       ，∴ DA DB   ，即 0DA DB    ． 即 1 1 2 2( 2, ) ( 2, )x y x y   1 2 1 2 1 22( ) 4 0x x x x y y      ． ∴ 2 2 2 2 2 2 4 12 8 3 122 43 4 3 4 3 4 m mk m k k k k        0 ．∴ 2 27 16 4 0m mk k   ．…………………………10 分 解得 1 2m k ， 2 2 7m k ，且均满足即 2 23 4 0k m   当 1 2m k 时，l 的方程为 2 ( 2)y kx k k x    ，直线恒过 ( 2,0) ，与已知矛盾； 当 2 2 7m k ，l 的方程为 2 2( )7 7y kx k k x    ，直线恒过 2( ,0)7 所以，直线l 过定点，定点坐标为 2( ,0)7 ．…………………………………………………………12 分 21． 已知函数 2( ) 8 ln ( )f x x x a x a R    ． （Ⅰ）当 1x  时， ( )f x 取得极值，求 a 的值并判断 1x  是极大值点还是极小值点； （Ⅱ）当函数 ( )f x 有两个极值点 1x ， 2 1 2( )x x x ，且 1 1x  时，总有 21 1 1 1 ln (4 3 )1 a x t x xx    成立，求t 的 取值范围． 21． 解析：（Ⅰ） 22 8( ) ( 0)x x af x xx     ， (1) 0f   ，则 6a  从而 2( 1)( 3)( ) ( 0)x xf x xx     ，所以 (0,1)x 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 为增函数； (1,3)x 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 为减函数，所以 1x  为极大值点．…………………………4 分 （Ⅱ）函数 ( )f x 的定义域为(0, ) ，有两个极值点 1x ， 2 1 2( )x x x ，则 2( ) 2 8 0t x x x a    在(0, ) 上有两个不等的正实根，所以0 8a  ， 由 1 2 1 2 1 2 4 2 x x ax x x x       可得 1 1 1 0 2 2 (4 ) x a x x      从而问题转化为在 10 2x  ，且 1 1x  时 21 1 1 1 ln (4 3 )1 a x t x xx    成立．…………………………6 分 即证 21 1 1 1 1 1 2 (4 )ln (4 3 )1 x x x t x xx     成立，即证 1 1 1 1 2 ln ( 1)1 x x t xx   ，即证 1 1 1 1 2 ln ( 1) 01 x x t xx    ， 亦即证 2 1 1 1 1 1 ( 1)[2ln ] 01 x t xxx x   ． ① 令 2( 1)( ) 2ln (0 2)t xh x x xx     则 2 2 2( ) (0 2)tx x th x xx      1)．当 0t ≥ 时， ( ) 0h x  ，则 ( )h x 在(0, 2) 上为增函数且 (1) 0h  ，①式在(1,2) 上不成立． 2)．当 0t  时， 24 4t   若 0 ≤ ，即 1t ≤ 时， ( ) 0h x ≤ ，所以 ( )h x 在 (0, 2) 上为减函数且 (1) 0h  ， 1 11 x x 、 2 1 1 1 ( 1)2ln t xx x  在区间(0,1) 及 (1,2) 上同号，故①式成立． 若 0  ，即 1 0t   时， 2 2y tx x t   的对称轴 1 1x t   ， 令 1min( ,2)a t  ，则1 x a  时， ( ) 0h x  ，不合题意． 综上可知： 1t ≤ 满足题意．…………………………………………………………………………12 分 选考题：共 10 分．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分． 22．选修 4—4：坐标系与参数方程 已知曲线 2 2 1 : ( 3) 9C x y   ， A 是曲线 1C 上的动点，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，以极点O 为中心，将点 A 绕点O 逆时针旋转90 得到点 B ，设点 B 的轨迹方程为曲线 2C ． （Ⅰ）求曲线 1C ， 2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线 5 ( 0)6    与曲线 1C ， 2C 分别交于 P ，Q 两点，定点 ( 4,0)M  ，求 MPQ△ 的面积． 22．解析：（Ⅰ）曲线 2 2 1 : ( 3) 9C x y   ，把公式 cos sin x y        代入可得： 曲线 1C 的极坐标方程为 6sin  ． 设 ( , )B   ，则 ( , )2A    ，则有 6sin( ) 6cos2       ． 所以，曲线 2C 的极坐标方程为 6cos   ．…………………………………………………………5 分 （Ⅱ） M 到射线 5 6   的距离为 54sin 26d   ， 射线 5 6   与曲线 1C 交点为 5(3, )6P  ，射线 5 6   与曲线 2C 交点为 5(3 3, )6Q  ∴ 3 3 3PQ   故 1 3 3 32S PQ d     ．………………………………………………10 分 23．选修 4—5：不等式选讲 已知函数 ( ) 3 2 2 2 ( )f x x a x a R     ． （Ⅰ）当 1 2a  时，解不等式 ( ) 6f x  ； （Ⅱ）若对任意 0x R ，不等式 0 0 0( ) 3 4 2 2f x x x    都成立，求 a 的取值范围． 23．解析：（Ⅰ）当 1 2a  时，不等式 ( ) 6f x  可化为 3 1 2 2 6x x    ， 当 1 3x  时，不等式即1 3 2 2 6x x    ，∴ 3 5x   ； 当 1 13 x≤ ≤ 时，不等式即3 1 2 2 6x x    ，∴ x ； 当 1x  时，不等式即3 1 2 2 6x x    ，∴ 9 5x  ． 综上所述不等式的解集为 3 9 5 5x x x       或 ．………………………………………………5 分 （Ⅱ）不等式 0 0 0( ) 3 4 2 2f x x x    可化为 0 03 2 3 4x a x   ． 令 ( ) 3 2 3g x x a x    26 2 , 3 22 , 3 ax a x aa x     ≥ ，所以函数 ( )g x 的最小值为 2a ， 根据题意可得 2 4a  ，即 2a  ，所以 a 的取值范围为(2, ) ．……………………………………10 分