专题12-3 几何概型（测）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测

专题12-3 几何概型（测）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【新课标版理 】【测】第十二章 概率与统计 第03节 古典概型 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）‎ 第03节 几何概型 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）‎ ‎1. 在棱长为的正方体中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为　(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎2. 【2018湖南益阳市、湘潭市调研】若正方形边长为为四边上任意一点，则的长度大于的概率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设分别为或靠近点的四等分点，则当在线段 上时， 的长度大于， 所能取到点的长度为， 正方形的周长为， 的长度大于，的概率等于，故选D.‎ ‎3. 【2018贵州贵阳市第一中学模拟】已知事件“在正方形的边上随机了一点，使为三角形中最大角”发生的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为所对应边长始终大于正方形边长，所以最大角可能是，或，只需要> 即可．当P点为CD中点时，，当P点在靠近C的一半时，是最大角． ‎ 故选为A.‎ ‎4. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)‎ A. 　　　　 B. C. 　　　　 D. ‎【答案】B ‎【解析】设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.‎ ‎5. 【2018安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟】《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设水深为尺，则，解得，即水深12尺.又葭长13尺，则所求概率,‎ 故选B.‎ ‎6. 在平面直角坐标系中，记抛物线与轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线（）所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内的概率为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎7. 利用计算机在区间上产生随机数，则不等式成立的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由，得，‎ ‎ 则用计算机在区间上产生随机数，不等式成立的概率为，‎ 故选A．‎ ‎8. 在棱长为2的正方体中任取一点，则满足的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】以为直径作球，球在正方体内部的区域体积为，正方体的体积为，所以由几何概型得， ，故选A．‎ ‎9. 设点为区域内任意一点，则使函数在区间上是增函数的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域：‎ 若函数在区间上是增函数，‎ 则，即，‎ 则A(0，4) ，B(4，0)，由得，即C,则， ，则使函数在区间上是增函数的概率，故选A.‎ ‎10. 【2018黑龙江海林模拟】已知是所在平面内一点，且，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则 ,‎ ‎∵=,‎ ‎∴，得=﹣‎ 由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，‎ 点P到BC的距离等于A到BC的距离的．‎ ‎∴S△PBC=S△ABC．‎ 将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==‎ 故选C ‎11.如图，设是图中边长分别为1和2的矩形区域，是内位于函数图象下方的区域（阴影部分），从内随机取一个点，则点取自内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎12. 【2018福建福州市第一中学模拟】圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”。事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）：画一个等边三角形为圆心，边长为半径，作圆弧,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这点落在鲁列斯曲边三角形内的概率是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等边三角形的边长为1，则正方形的面积为1，鲁列斯曲边三角形的面积为，故选A.‎ 二、填空题 ‎13. 如图10610所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终 图10610‎ 边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为＝.‎ ‎14. 点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.‎ ‎15. 在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为_____．‎ ‎[答案] ‎ ‎[解析]首先的取值空间的长度为2，由直线与圆相交，所以，解得，所以得事件发生时的取值空间为，其长度为，利用几何概型可知，所求概率为 ‎16. 设函数y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)0~1区间上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为_____. ‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎ ‎17. 设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求方程有实根的概率．‎ ‎【解】　记事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.‎ 试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝＝.‎ ‎18. 已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{－1,1}，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．‎ ‎(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上的概率；‎ ‎(2)求以(x，y)为坐标的点位于区域D：内(含边界)的概率．‎ ‎19. 设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A、B除外)，将线段AB分成了三条线段，‎ ‎(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；‎ ‎(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．‎ ‎【解析】(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P＝.‎ ‎(2)设其中两条线段长度分别为x、y，则第三条线段长度为6－x－y，故全部试验结果所构成的区域为 ，即，‎ 所表示的平面区域为△OAB.‎ 若三条线段x，y,6－x－y能构成三角形，‎ 则还要满足，‎ 即为，‎ 所表示的平面区域为△DEF，‎ 由几何概型知，所求概率为P＝＝.‎ ‎20. 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.‎ ‎(1)求n的值；‎ ‎(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.‎ ‎①记“a＋b＝‎2”‎为事件A，求事件A的概率；‎ ‎②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．‎ ‎【解析】(1)依题意＝，得n＝2.‎ ‎(2)①记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“a＋b＝‎2”‎的有4种：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)．所以所求概率为P(A)＝＝.‎ ‎②记“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2＞4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域为B＝{(x，y)|x2＋y2＞4，(x，y)∈Ω}．所以所求的概率为P(B)＝1－.‎ ‎ ‎