数学理卷·2018届湖南省衡阳县一中高三上学期第二次月考（2017

数学理卷·2018届湖南省衡阳县一中高三上学期第二次月考（2017

衡阳县一中2018届高三第二次月考数学（理）试题 分值：150分 时量：120分 命题人：‎ 一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知复数,其中为虚数单位，则所对应的点位于（ B ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎2.已知集合，，则（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为( D )‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎4.在的展开式中，的系数为 ( B )‎ A． B． C． D．‎ ‎ 衡阳县一中2018届高三模拟考试数学试题 分值：150分 时量：120分 ‎ ‎ 正视图 俯视图 ‎1‎ ‎5. 若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，则它的侧视图的面积为( D )‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎6．设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ( D )‎ A． B． C． D．‎ 7. 函数的部分图像可能是 ( B )‎ ‎ A B C D ‎8. 过抛物线的焦点的直线与圆 相交，截得弦长最短时直线方程为( B )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9、在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( D )‎ A． B． C． D．‎ ‎10、如果等差数列中，，那么( C )‎ ‎（A）14 （B）21 （C）28 （D）35‎ ‎11、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：“置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3．那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为 ( B )‎ A． B． C． D． ‎ ‎12、设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为( A )‎ ‎ ‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13、若变量满足约束条件则的最小值为______‎ ‎14、两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是 ‎ 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________‎ ‎15、满足条件，的三角形的面积的最大值是 16、 数列的前项和为，且，. 用表示不超过的最大整数，如：。设，则数列的前项和为____________.‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17、（本小题满分12分）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且。‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，求（其中）。‎ 答案：（1） （2）‎ ‎18、已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示：‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计当时，的值；‎ ‎（2）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取3个点，记落在直线右下方的点的个数为，求的分布列以及期望.‎ 参考公式：，.‎ ‎（1）依题意，，，‎ ‎，，‎ ‎，∴；‎ ‎∴回归直线方程为，故当时，.‎ ‎（2）可以判断，落在直线右下方的点满足，‎ 故符合条件的点的坐标为，故的可能取值为1,2,3；‎ ‎，，，‎ 故的分布列为 故.‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2,E是PB上的点．‎ ‎（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（2）若E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ 解：（1）证明：,‎ ‎,‎ ‎. 4分 ‎（2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），（1，1，0），‎ ‎（1，－1，0）设，则 ‎ ‎ 6分 取，因为，所以为面的法向量，‎ 设为面的法向量，则，‎ 即，取，则， 8分 ‎ 依题意，则 10分 于是, ，‎ 设直线与平面所成角为，则. 12分 20、 ‎（本小题满分12分）如图，已知椭圆的焦距为，为短轴的端点，为左焦点，直线与椭圆交于另一点，且.‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 是否存在过点的直线与椭圆交于两点，且？若存在，求出满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由. ‎ 答案：（1） （2）‎ 21、 ‎（本小题满分12分）已知，函数在点处与轴相切.‎ （1） 求的值，并求的单调区间；‎ （2） 当时，，求实数的取值范围.‎ ‎ 解析：（1）函数的定义域为，‎ ‎ 因为 在点处与轴相切，‎ 所以 ‎ ‎ 当 时，，‎ ‎ 当 时，，‎ 故函数的递增区间为，递减区间为； 5分 （2） 令，则，‎ 令，‎ ‎（i）若，因为当时，，，所以，‎ 所以即在上单调递增，‎ 又因为，所以当时，，‎ 从而在上单调递增，而，‎ 所以，即成立. 9分 ‎（ii）若，可以在上单调递增，‎ 因为，，‎ 所以存在，使得，‎ 且当时，，所以即在上单调递减，‎ 又因为，所以当，，‎ 从而在上单调递减，而，‎ 所以当时，，即不成立. ‎ 综上所述，的取值范围为 ‎ 请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22、（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》‎ 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的的长度单位，已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为.曲线的图象与轴、轴分交于两点.‎ ‎（1）判断两点与曲线的位置关系；‎ ‎（2）点是曲线上的动点，求的面积最大值.‎ 解：（1），‎ 容易求得曲线与轴、轴的交点坐标分别是，代入椭圆方程可得两点分别是曲线的左顶点和下顶点,故两点均在曲线上. 5分 ‎（2）设的坐标为，则点到直线的距离为 而的长度为，所以的面积为 故. ‎ ‎23.（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》‎ 已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的最大值.‎ 解：（1）由于 所以 5分 ‎ (2)由已知，有，‎ 因为（当取等号），（当取等号），‎ 所以，即，‎ 故 . ‎