数学卷·2018届江苏省扬州中学高三下学期开学考试（2月）（2018

数学卷·2018届江苏省扬州中学高三下学期开学考试（2月）（2018

江苏省扬州中学高三年级第二学期开学考 数学试卷 2018.2 一.填空题：本大題共 14 小败，每小題 5 分，共 70 分.不需要写出解答过程。 1.复数 的共轭复数是________． 2．设全集 , 则图中阴影部分表示的区 间是________． 3．运行如图所示的伪代码，其结果为________． S←1 For I From 1 To 7 Step 2 S←S＋I End For Print S 4.若命题“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围是 ． 5.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90； 乙组：87、88、92，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差 的绝对值不超过 3 的概率是 ． 6.矩形 中，沿 ,沿 将矩形 折成一个直二面角 ，则四面体 外接球的体积为 ． 7．设 满足 ，则 的最大值为 ． 8．已知 为等差数列， 为其前 项和，公差为 ，若 ，则 的值 为________． 9．已知函数 ，当 时恒有 ，则关于 的不 等式 的解集为________． 10.在平面直角坐标系 中，过点 的直线与圆 相切于点 ，与圆 相交于点 ，且 ，则正数 的值为 ． 11. 若 函 数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为______________________． 12.函数 ，若关于 的方程 至少有两个不相等的实 数根，则实数 的取值范围为_____________． 13. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 在 椭 圆 上 ， 点 满 足 ，且 ，则线段 在 轴上的投影长度的最大值 为 ． 14.在 中， 若当 面积取最大值时 ,则 ． 二.解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分1 2 15．（本小题满分 14 分）已知 的内角 所对的边分别 为 ，已知 . (1)求角 的大小；(2)若 的面积为 ，求 . 16. （本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 中，已知平面 平面 . (1)若 ，求证： ； (2)若过点 作直线 平面 ，求证： 平面 . 17．（本小题满分 14 分）如图是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西 方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为 4m，东西向渠宽 m(从拐角处，即图中 A，B 处开始)．假 定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)． (1)在水平面内，过点 A 的一条直线与水渠的内壁交于 P，Q 两点，且与水渠的一边的夹角 为θ π 2 ，将线段 PQ 的长度 l 表示为θ的函数； (2)若从南面漂来一根长为 7m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生 形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由． 18．（本小题满分 16 分）如图，点 A(1，)为椭圆 x2 2 ＋ y2 n ＝1 上一定点，过点 A 引两 直线与椭圆分别交于 B，C 两点． (1)求椭圆方程； (2)若直线 AB，AC 与 x 轴围成的是以点 A 为顶点的等腰三角形． ①求直线 BC 的斜率； ②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线 BC 的方程． 19．（本小题满分 16 分）函数 f(x)＝1＋lnx－() kx－2 x ，其中 k 为常数． (1)若 k＝0，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若 k＝5，求证：f(x)有且仅有两个零点； (3)若 k 为整数，且当 x＞2 时，f(x)＞0 恒成立，求 k 的最大值. 20.（本 小题满 分 16 分） 已知 有穷数 列 ， 对任 意的正 整数 ，都 有 成立． (1)若 是等差数列，且首项和公差相等，求证： 是等比数列； (2)若 是等差数列，且 是等比数列，求证： ． 附加题 1.已知矩阵 A＝3 3c d，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为α1＝11，属于特征值 1 的一个特征向量α2＝ 3－2.求矩阵 A，并求出 A 的逆矩阵． 2.在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ ＝4sin π 6 被射线θ＝θ0 π 2 所截得的弦长为 2，求θ0 的值． 3. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 p(0< p <1)．现有 3 次投篮机会，并规定连续两次 投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完 3 次投篮机会的 概率是 ． （1）求 p 的值； （2）设该运动员投篮命中次数为 ，求 的概率分布及数学期望 E( )． 4.在数列{an}中，an＝cos π 3×2n－2(n∈N) (1)试将 an＋1 表示为 an 的函数关系式； (2)若数列{bn}满足 bn＝1－ 2 n·n！(n∈N)，猜想 an 与 bn 的大小关系，并证明你的结论． 江苏省扬州中学高三年级第二学期开学考 数学参考答案 2018.2 1. 3 5 ＋4 5I 2. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 3.16 4. ( , 1]  5. 9 8 6.  6 125 7. 2 8. 1 10 9. ),1( 2e 10.4 11. [1，＋∞) 12. －1 3 ，1 ∪(1，＋∞) 13. 10 14. 32  15．（1）由已知 sin 3 cos 3sina B b A C  , 结合正弦定理得sin sin 3sin cos 3sinA B B A C  ， 所以    sin sin 3sin cos 3sin 3 sin cos sin cosA B B A A B A B B A     ， 即sin sin 3sin cosA B A B ，即 tan 3B  ，因为  0,B  ，所以 3B  .…………7 分 （2）由 1 sin ,2 3ABCS ac B B     ，得 3 7 3 4 4ac  ，即 7ac  ， 又  22 2 2 cosb a c ac ac B    ，得   2 243 2a c ac ac    ， 所以 7{ 8 ac a c    ，又 7, { 1 aa c c    . ………………14 分 16.证明：（1）因为平面 PBC  平面 ABC ，平面 PBC  平面 =ABC BC ， AB  平 面 ABC ， AB BC ，所以 AB  平面 PBC .因为CP  平面 PBC ，所以CP AB . 又因为 , ,CP PB PB AB B   ,AB PC  平面 ,PAB 所以CP  平面 ,PAB 又因为 PA  平面 ,PAB 所以 CP PA . …………7 分 （2）在平面 PBC 内过 P 作 BCPD  ，垂足为 D ,因为平面 PBC  平面 ABC , 又因为平面 PBC 平面 BCABC  , PD 平面 ABC ,所以 PD 平面 ABC , 又因为l  平面 ABC ，所以 PDl // ,又 l 平面 PBC ， PD 平面 PBC 所以 //l 平面 PBC ………………14 分 17．解 (1)由题意，PA＝ 2 sinθ ，QA＝ 4 cosθ ， 所以 l＝PA＋QA＝ 2 sinθ ＋ 4 cosθ 0＜θ＜π 2 ………………6 分 (2)设 f(θ)＝ 2 sinθ ＋ 4 cosθ ，θ∈ 0，π 2 . 由 f′(θ)＝－ 2cosθ sin2θ ＋4sinθ cos2θ ＝ 22 2sin3θ－cos3θ sin2θcos2θ ， 令 f′(θ)＝0，得 tanθ0＝ 2 2 . ………………10 分 且当θ∈(0，θ0)，f′(θ)＜0；当θ∈ θ0，π 2 ，f′(θ)＞0，所以 f(θ)在(0，θ0)上单调递减，在 θ0，π 2 上单调递增， 所以当θ＝θ0 时，f(θ)取得极小值，即为最小值． 当 tanθ0＝ 2 2 时，sinθ0＝ 1 3 ，cosθ0＝ 2 3 ，所以 f(θ)的最小值为 3 6， 即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为 3 6m.因为 3 6＞7，所以这根竹竿能从拐角处 一直漂向东西向的水渠． 答：竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠． ………………14 分 18.解 (1)把点 A(1， 3)代入x2 2 ＋y2 n ＝1 得 n＝6，故椭圆方程为x2 2 ＋y2 6 ＝1. …………2 分 (2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与 x 轴垂直． 因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为 k1，k2， 由 y－ 3＝k1x－1， x2 2 ＋y2 6 ＝1， 消去 y，得(3＋k21)x2＋2k1( 3－k1)x＋( 3－k1)2－6＝0， ∴点 B 的横坐标为 x＝1－6＋2 3k1 k21＋3 (x＝1 为点 A 的横坐标)， ∴点 B 的纵坐标为 y＝ 3－2 3k21＋6k1 k21＋3 ， 即 B 1－6＋2 3k1 k21＋3 ， 3－2 3k21＋6k1 k21＋3 . ………………6 分 同理可得点 C 的坐标为 C 1－6＋2 3k2 k22＋3 ， 3－2 3k22＋6k2 k22＋3 . ∵k1＋k2＝0，∴直线 BC 的斜率为 kBC＝ 3. ………………8 分 ②设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线 BC 的方程为 y＝ 3x＋m，代入方程x2 2 ＋y2 6 ＝1 得 6x2＋2 3mx ＋m2－6＝0， ∴x1＋x2＝－ 3 3 m，x1x2＝m2－6 6 ， ∴BC＝ 1＋ 32·|x1－x2|＝2· x1＋x22－4x1x2＝2 3 3 12－m2， 又点 A 到直线 BC 的距离为 d＝|m| 2 ， ∴S△ABC＝1 2BC·d＝ 3 6 m212－m2＝ 3 6 －m2－62＋36， ∴当 m2＝6，即 m＝ 6或 m＝－ 6时，△ABC 面积取得最大值 3. 此时，直线 BC 的方程为 y＝ 3x± 6. ………………16 分 19.(1)解 当 k＝0 时，f(x)＝1＋lnx. 因为 f′(x)＝1 x ，从而 f′(1)＝1. 又 f(1)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝x－1， 即 x－y＝0. ………………2 分 (2)证明 当 k＝5 时，f(x)＝lnx＋10 x －4. 因为 f′(x)＝x－10 x2 ，从而当 x∈(0,10)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当 x∈(10，＋∞)时，f′(x)＞ 0，f(x)单调递增．所以当 x＝10 时，f(x)有极小值． 因为 f(10)＝ln10－3＜0，f(1)＝6＞0，所以 f(x)在(1,10)之间有一个零点． 因为 f(e4)＝4＋10 e4 －4＞0，所以 f(x)在(10，e4)之间有一个零点． 从而 f(x)有两个不同的零点． ………………8 分 (3)解 方法一 由题意知，1＋lnx－kx－2 x ＞0 在(2，＋∞)上恒成立， 即 k＜x＋xlnx x－2 在(2，＋∞)上恒成立． 令 h(x)＝x＋xlnx x－2 ，则 h′(x)＝x－2lnx－4 x－22 . 设ν(x)＝x－2lnx－4，则ν′(x)＝x－2 x . 当 x∈(2，＋∞)时，ν′(x)＞0，所以ν(x)在(2，＋∞)上为增函数． 因为ν(8)＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，ν(9)＝5－2ln9＞0， 所以存在 x0∈(8,9)，ν(x0)＝0，即 x0－2lnx0－4＝0. 当 x∈(2，x0)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当 x∈(x0，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以当 x＝x0 时，h(x)的最小值为 h(x0)＝x0＋x0lnx0 x0－2 . 因为 lnx0＝x0－4 2 ，所以 h(x0)＝x0 2 ∈(4,4.5)． 故所求的整数 k 的最大值为 4. ………………8 分 方法二 由题意知，1＋lnx－kx－2 x ＞0 在(2，＋∞)上恒成立． f(x)＝1＋lnx－kx－2 x ，f′(x)＝x－2k x2 . ①当 2k≤2，即 k≤1 时，f′(x)＞0 在(2，＋∞)上恒成立， 所以 f(x)在(2，＋∞)上单调递增． 而 f(2)＝1＋ln2＞0 成立，所以满足要求． ②当 2k＞2，即 k＞1 时， 当 x∈(2,2k)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当 x∈(2k，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以当 x＝2k 时，f(x)有最小值 f(2k)＝2＋ln2k－k. 从而 f(x)＞0 在(2，＋∞)上恒成立等价于 2＋ln2k－k＞0. 令 g(k)＝2＋ln2k－k，则 g′(k)＝1－k k ＜0，从而 g(k)在(1，＋∞)为减函数． 因为 g(4)＝ln8－2＞0，g(5)＝ln10－3＜0， 所以使 2＋ln2k－k＞0 成立的最大正整数 k＝4. 综合①②，知所求的整数 k 的最大值为 4. 20.证明：（1）依题意， 1na na ，且 1 1 1a b  ，………………2 分 因为 1 2 1 3 2 1 2 1n n n n na b a b a b a b a b       12 2n n   ， ① 所以 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1n n n n na b a b a b a b a b         2 ( 1) 2n n    （ 2n≥ ），② ①  ②得， 1 1 2 2 1( ) 2 1n n n na b b b b b        （ 2n≥ ）， ③ ………………4 分 所以 1 1 1 2 2 1( ) 2 1n n na b b b b         （ 3n≥ ），④ ③  ④得， 1 1 2n na b  （ 3n≥ ），即 1 1 2n nb a   （ 3n≥ ），………………6 分 ①中，令 2n  得， 1 2 2 1 4a b a b  ，即 1 2 1 12 4a b a b  ，所以 2 1 2b a ， 所以 1 1 2n nb a   ，n *N ， 从而 1 2n n b b   ，即证 nb 是等比数列；………………8 分 （2）因为 nb 是等比数列，不妨设公比为 q ， 因为 1 2 1 3 2 1 2 1n n n n na b a b a b a b a b       12 2n n   ， ① 所以 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1n n n n na b a b a b a b a b         2 ( 1) 2n n    （ 2n≥ ），② ①  ② q 得，  1 1 2 2 2 ( 1) 2n n na b n q n          （ 2n≥ ）， 即 1 1 1 2 1 22n n q q qa nb b b        （ 2n≥ ），………………13 分 因为 na 是等差数列，所以 2q  ，此时 1 1 na nb   （ 2n≥ ）且对 1n  也适合， 所以 1 1 1 1 1 2 2 n n n na b n nb a       ． ………………16 分 附加题参考答案 1.解： 由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量α1＝ 1 1 可得， 3 3 c d 1 1 ＝6 1 1 ， 即 c＋d＝6； 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量α2＝ 3 －2 ，可得 3 3 c d 3 －2 ＝ 3 －2 ， 即 3c－2d＝－2，解得 c＝2， d＝4. 即 A＝ 3 3 2 4 ………………6 分 A 的逆矩阵是 2 3 －1 2 －1 3 1 2 ………………10 分 2.解 圆ρ＝4sin θ＋π 6 的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝4， 射线θ＝θ0 的直角坐标方程可以设为 y＝kx(x≥0，k＞0)． ………………6 分 圆心(1， 3)到直线 y＝kx 的距离 d＝|k－ 3| 1＋k2. 根据题意，得 2 4－k－ 32 1＋k2 ＝2 3，解得 k＝ 3 3 . 即 tanθ0＝ 3 3 ，又θ0∈ 0，π 2 ，所以θ0＝π 6 . ………………10 分 3.解：（1）设事件 A ：“恰用完 3 次投篮机会”， 则其对立事件 A ：“前两次投篮均不中”， 依题意，    2 21( ) 1 1 1 25P A P A p      ， 解得 3 5p  ；答： 3 5p  （3 分） （2）依题意， 的所有可能值为 0，1，2，3， 且  2 4( 0) 1 25P p     ，      2 24( 1) 1 1 1 125P p p p p p        ， 3 27( 3) 125P p    ，故 54( 2) 1 ( 0) ( 1) ( 3) 125P P P P            ，  的概率分布表为：  0 1 2 3 P 4 25 24 125 54 125 27 125 ………………8 分 E( ) 24 54 27 2132 3125 125 125 125      （次）． 答： E( ) 125 213 ………………10 分 4.解 (1)an＝cos π 3×2n－2 ＝cos 2π 3×2n－1 ＝2 cos π 3×2n－1 2－1， ∴an＝2a2n＋1－1， ………………2 分 ∴an＋1＝± an＋1 2 ，又 n∈N，n＋1≥2，an＋1＞0， ∴an＋1＝ an＋1 2 . ………………3 分 (2)当 n＝1 时，a1＝－1 2 ，b1＝1－2＝－1，∴a1＞b1， 当 n＝2 时，a2＝1 2 ，b2＝1－1 2 ＝1 2 ，∴a2＝b2， 当 n＝3 时，a3＝ 3 2 ，b3＝1－1 9 ＝8 9 ，∴a3＜b3， 猜想：当 n≥3 时，an＜bn，下面用数学归纳法证明． ………………5 分 ①当 n＝3 时，由上知，a3＜b3，结论成立． ②假设当 n＝k，k≥3，n∈N 时，ak＜bk 成立， 即 ak＜1－ 2 k·k！， 则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝ ak＋1 2 ＜ 2－ 2 k·k！ 2 ＝ 1－ 1 k·k！ ， ………………7 分 bk＋1＝1－ 2 k＋1·k＋1！ ， 要证 ak＋1＜bk＋1，即证明 1－ 1 k·k！ 2＜ 1－ 2 k＋1·k＋1！ 2， 即证明 1－ 1 k·k！＜1－ 4 k＋1·k＋1！＋ 2 k＋1·k＋1！ 2， 即证明 1 k·k！ － 4 k＋1·k＋1！ ＋ 2 k＋1·k＋1！ 2＞0， 即证明 k－12 kk＋1·k＋1！ ＋ 2 k＋1·k＋1！ 2＞0，显然成立． ………………9 分 ∴n＝k＋1 时，结论也成立． 综合①②可知：当 n≥3 时，an＜bn 成立． 综上可得：当 n＝1 时，a1＞b1；当 n＝2 时，a2＝b2， 当 n≥3，n∈N 时，an＜bn. ………………10 分