高考数学知识点大串讲(4)

高考数学知识点大串讲(4)

2013 年高考数学知识点大串讲（4） 必考点四 参数不等式问题精讲 知识点导航 含有参数不等式问题是中学数学的重要内容之一，它与其他知识有着广泛的联系，有 利于培养同学们的逻辑思维能力、抽象思维能力与知识整合能力。在解题过程中，从以下 几个方面对此类问题加以研究，可达事半功倍之效。 1. 分类讨论。2. 变换主元。3. 数形结合。4. 分离参数。5. 最值性质：（1）a f x ( ) 恒成立 a fx[()]max；（ 2）a f x ( )恒成立 a fx[()]min；（ 3） a f x ( )有解 a fx[()]min；（ 4）a f x ( )有解a fx[()]max。 例 1. 解关于 x 的不等式： ax x a R( ) ( )   1 2 1 。 解析：该不等式的基本类型为分式不等式，应通过移项→通分→调整系数→数轴标根 等步骤完成，但在调整系数及数轴标根时，涉及到对参数 a 的分类讨论。分类时，应当根 据条件正确制定分类标准，确保所有可能情形都考虑到。做到不重不漏。 （1）当 a≠1 时，原不等式        ( )( )a x a a x 1 2 1 2 0。 ①当0 1a 时，解为2 2 1   x a a ； ②当a1时，解为 x a a x   2 1 2或 ； ③当a0时，解为 a a x   2 1 2 ④当a0时，无解。 高考名师 章晓峰 主编：章晓峰（高考教学研究组教研员） 副主编：林晓玲（中学优秀数学教师） 董洋洋（一线数学教师） 编委会成员：（排名不分先后） 刘思妍 林妙可 毛 檠 赵晓玲 龚 晨 孙萌萌 姜 芝 胡晶晶 童 玲 麦 罄 韩 俊 杨程鹏 夏小玉 范晓峰 （2）当 a＝1 时，解为 x2。 例 2. 若不等式2 1 12x mx ( )对满足| |m  2 的所有实数 m 都成立，求 x 的取值 范围。 解析：已知参数 m 的取值范围而求未知数 x 的取值范围，可采用变换主元的策略， 原不等式可变形为( ) ( )x m x2 1 2 1 0    ，当 时恒成立。构造以 m 为自变量的 函数 fmx mx()( ) ( )   2 1 21，则原问题可等价转化为函数 f m( ) 在区间[－2，2]上 的函数值恒小于零，从而有 f f ( ) ( )       2 0 2 0 ，即             2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x ， 解得   1 7 2 x  1 3 2 。 例 3. 已知对任意实数 x，不等式| |x kx 1 恒成立。求实数 k 的取值范围。 解：原不等式两端可视为两个函数 y x | |1与 y＝kx，在同一坐标系中画出这两个 函数的图象，问题的解决方法自然产生。如图，只有当直线 y kx 的斜率 k 取区间[0， 1]上的任一值时，才有 恒成立。故实数 k 的取值范围为0 1 k 。 例 4. 函数 y f x ( )为定义在( ]，4 上的增函数。 若 fm xfm x( sin) ( cos)2 22   恒成立，求实数 m 的取值范围。 解：依题意，原不等式                     m x m x m xm x m x m xm x 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 sin cos sin cos sin sin cos 对 m x2 4 sin 分离参数 m，应用得： m x2 4 sin 在函数定义域中恒成立  m x2 4 3(sin )min ， 可得   3 3m 对 mxm x2 22sin cos分离参数 m，应用得： sinsin2 2 3x xmm对一切 x R 恒成立  (sinsin)min 2 2 3x x mm。 可得m m 1 14 2 1 14 2 或 由①、②可知，实数 m 的取值范围为[ ] 3 1 14 2 ， 。 ［练一练］ 求使不等式| || |x x a4 3 有解的实数 a 的取值范围。 答案：a1。 提示：只需求出| || |x x 4 3的最小值，只要 a 大于其最小值即可，求出坐标轴上 到两点和的最小值。