高考数学二轮名师精编精析：圆锥曲线
圆锥曲线的定义、性质和方程
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．已知 AB 为过抛物线 y2=2px 焦点 F 的弦, 则以 AB 为直径的圆与抛物线的准线(B)
A．相交 B．相切 C．相离 D．与 p 的取值有关
2．（江苏理）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x-2y=0，则它的离心
率为 （ A ）
A． 5 B．
5
2 C． 3 D．2
3．点 P(a,b)是双曲线 x2-y2=1 右支上一点，且 P 到渐近线距离为 2 ，则 a+b=(B )
A、- B、 C、-2 D、2
4．（湖南）设 F1 、F2 分别是椭圆
2 2
2 2
1
x y
a b
（ 0a b ）的左、右焦点，若在其右准线上存在 P 使线段 PF1 的中垂
线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）
A．
2
0
2
，
B．
3
0
3
，
C．
2
1
2
，
D．
3
1
3
，
5．（湖北理）双曲线
2 2
1 2 2
: 1( 0 0)
x y
C a b
a b
，
的左准线为 l，左焦点和右焦点分别为 F1 、F2；抛物线 C2 的准线
为 l，焦点为 F2；C1 与 C2 的一个交点为 M，则
1 2 1
1 2
F F MF
MF MF
等于 （ A ）
A． 1 B．1 C．
1
2
D．
1
2
6．（全国一）抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，
AKl，垂足为 K，则△AKF 的面积是( C)
A．4 B．3 3 C．4 3 D．8
7．（福建理）以双曲线
2 2
1
9 16
x y
的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆方程是 （ A ）
A．x2+y2-10x+9=0 B．x2+y2-10x+16=0 C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+10x+9=0
8．（辽宁）设椭圆
2 2
1
25 16
x y
上一点 P 到左准线的距离为 10，F 是该椭圆的左焦点，若点 M 满足
1
( )
2
OM OP OF
，
则 | |OM 2
★★★高考要考什么
【热点透析】
一、圆锥曲线的定义
1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即： {P|
|PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|
||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比 e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当 0
1 时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：
2 2
2 2
1
x y
a b
（a>b>0）或
2 2
2 2
1
y x
a b
（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）
2.双曲线：
2 2
2 2
1
x y
a b
（a>0, b>0）或
2 2
2 2
1
y x
a b
（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）
3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）
三、圆锥曲线的性质
知识要点：
1.椭圆：
2 2
2 2
1
x y
a b
（a>b>0）
（1）范围：|x|≤a，|y|≤b （2）顶点：(±a,0)，(0,±b) （3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e= ∈(0,1) （5）准线：
2a
x
c
2.双曲线：
2 2
2 2
1
x y
a b
（a>0, b>0）
（1）范围：|x|≥a, y∈R （2）顶点：(±a,0) （3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：
c
e
a
∈(1,+∞) （5）准线：
2a
x
c
（6）渐近线：
b
y x
a
3.抛物线：y2=2px(p>0)
（1）范围：x≥0, y∈R （2）顶点：（0,0） （3）焦点：（ 2
p
,0）
（4）离心率：e=1 （5）准线：x=- 2
p
主要题型：
（1）定义及简单几何性质的灵活运用；
（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。
★★★突破重难点
【例 1】若 F1、F2 为双曲线
1
2
2
2
2
b
y
a
x
的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 在双曲线的左支上，点 M 在双曲线的右
准线上，且满足：
)(,
1
1
1
OM
OM
OF
OF
OPPMOF
)0( ，
则该双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D．3
解：由 PMOF 1 知四边形 F1OMP 是平行四边形，又
1
1(
OF
OF
OP )
OM
OM
知 OP 平分∠F1OM，即 F1OMP 是菱形，设|OF1|=c，则|PF1|=c.
又|PF2|-|PF1|=2a， ∴|PF2|=2a+c，
由双曲线的第二定义知
1
22
ec
ca
e
,且 e>1，∴e=2，故选 C.
【例 2】学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程
为
1
25100
22
yx
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、
7
64
,0M
为顶点
的抛物线的实线部分，降落点为 )0,8(D . 观测点 )0,6()0,4( BA 、 同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在 x轴上方时，观测点 BA、 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
解：（1）设曲线方程为 7
642 axy
， 由题意可知， 7
64
640 a
.
7
1
a
.
曲线方程为 7
64
7
1 2 xy
.
（2）设变轨点为 ),( yxC ，根据题意可知
)2(,
7
64
7
1
)1(,1
25100
2
22
xy
yx
得 03674 2 yy ，
4y 或 4
9
y
（不合题意，舍去）.
4 y .
得 6x 或 6x （不合题意，舍去）.
C 点的坐标为 )4,6( ， 4||,52|| BCAC .
答：当观测点 BA、 测得 BCAC、 距离分别为 452 、 时，应向航天器发出指令.
【例 3】如图 1，已知 A、B、C 是长轴为 4 的椭圆上三点，点 A 是长轴的一个顶 点，BC
过椭圆中心 O，且 0AC BC ，
2BC AC
。
（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；
（2）如果椭圆上两点 P、Q 使直线 CP、CQ 与 x 轴围
成底边在 x 轴上的等腰三角形，是否总存在实数
使 PQ AB ？请给出证明。
解：（1）以 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴建立如
图直角坐标系，则 A（2，0），椭圆方程可设为
2 2
2
1(0 2)
4
x y
b
b
。
而 O 为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB|
又 0AC BC ，所以 AC⊥BC
又
2BC AC
，所以|OC|＝|AC|，
所以△ AOC 为等腰直角三角形，所以点 C 坐标为（1，1）。将（1，1）代入椭圆方程得
2 4
3
b
，则椭圆方程为
2 23
1
4 4
x y
。
（2）由直线 CP、CQ 与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形，设直线 CP 的斜率为 k，则直线 CQ 的斜率为－k，直线
CP 的方程为 y-1=k(x-1)，直线 CQ 的方程为 y-1=-k(x-1)。由椭圆方程与直线 CP 的方程联立，消去 y 得
(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0①
因为 C（1，1）在椭圆上，所以 x＝1 是方程①的一个根，于是
2
2
3 6 1
1 3
P
k k
x
k
同理
2
2
3 6 1
1 3
Q
k k
x
k
这样，
1
3
P Q
PQ
P Q
y y
k
x x
， 又 B（－1，－1），所以
1
3
ABk
，
即 kAB=kPQ。所以 PQ∥AB，存在实数使PQ AB 。
【例 4】如图，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l1 ⊥l2，点 N∈l1．以 A、B 为端点 的 曲 线
段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，
图 1
|AM|= 17 ，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线 C 的方程．
解法一：如图建立坐标系，以 l1 为 x 轴，MN 的垂直平分线为 y 轴，点 O 为坐标原点．
依题意知：曲线段 C 是以点 N 为焦点，以 l2 为准线的抛线段的一段，其中 A、B 分
别为 C 的端点．设曲线段 C 的方程为
y2=2px (p＞0)，(xA≤x≤xB，y＞0)，其中 xA，xB 分别为 A，B 的横坐标，
P=|MN|．
所以 M (－ 2
P
，0)，N ( 2
P
，0)．
由 |AM|= 17 ，|AN|=3 得
(xA＋ 2
P
)2＋2PxA=17， ①
(xA－ 2
P
)2＋2PxA=9． ②
由①、②两式联立解得 xA= P
4
，再将其代入①式并由 p＞0 解得
1
4
Ax
p
或
2
2
Ax
p
．
因为△AMN 是锐角三角形，所以 2
P
＞xA，故舍去
2
2
Ax
p
．
∴ P=4，xA=1．
由点 B 在曲线段 C 上，得 xB=|BN|－ 2
P
=4．
综上得曲线段 C 的方程为 y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．
解法二：如图建立坐标系，分别以 l1、l2 为 x、y 轴，M 为坐标原点．
作 AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为 E、D、F．
设 A (xA，yA)、B (xB，yB)、N (xN，0)．
依题意有
xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，
yA=|DM|=
22
DAAM
=2 2 ，由于△AMN 为锐角三角形，故有
xN=|AE|+|EN|=4．
=|ME|+
22
AEAN
=4
XB=|BF|=|BN|=6．
设点 P (x，y)是曲线段 C 上任一点，则由题意知 P 属于集合
{(x，y)|(x－xN)2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0}．
故曲线段 C 的方程
y2=8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)．
第十七讲 圆锥曲线的定义、性质和方程(二)
【例 5】已知椭圆
)0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线，恰好通过
椭圆的左焦点 F1，向量 AB 与OM 是共线向量。
（1）求椭圆的离心率 e；
（2）设 Q 是椭圆上任意一点， F1、F2 分别是左、右焦点，求∠F1QF2 的取值范围；
解：（1）∵ a
b
ycxcF MM
2
1 ,),0,( 则
，∴ ac
b
kOM
2
。
∵
ABOM
a
b
k AB 与,
是共线向量，∴ a
b
ac
b
2
，∴b=c,故 2
2
e
。
（2）设
1 1 2 2 1 2
1 2 1 2
, , ,
2 , 2 ,
FQ r F Q r F QF
r r a F F c
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
21 21 2 1 2 1 2
4 ( ) 2 4
cos 1 1 0
2 2
( )
2
r r c r r r r c a a
r rr r r r r r
当且仅当 21 rr 时，cosθ =0，∴θ
]
2
,0[
。
【例 6】设 P 是双曲线
1
164
22
yx
右支上任一点.
|||| PFPE 的值； （1）过点 P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为 E，F，求
AOBPBAP 求,2 （2）过点 P 的直线与两渐近线分别交于 A、B 两点，且
的面积.
解：（I）设
1641
4
),,( 2
0
2
0
2
0
00 yx
x
yxP 则
∵两渐近线方程为 02 yx
由点到直线的距离公式得
.
5
16
5
|4|
||||
2
0
2
0
yx
PFPF
（II）设两渐近线的夹角为 ，
,
5
3
tan1
1
cos,
3
4
|
41
22
|tan
2
则
5
4
sin
,1
36
8
,1
36
)2(
36
)2(
,1
164
,
3
42
,
3
2
,2
.5||||
)(,5||,5||
),2,(),2,(,
21
2
21
2
21
22
21
0
21
0
21
21
2211
xxxxxx
yx
xx
y
xx
x
PBAP
xxOBOA
ABPxOBxOA
xxBxxAAOB
即得
代入
又
的内分点是
设
2
9
21 xx
9
5
4
2
9
5
2
1
)sin(||||
2
1
OBOAS AOB
【例 7】如图，已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|，点 E 分有向线段 AC 所成的比为11
8
， 双 曲 线
过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点．求双曲线的离心率．
解：如图，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立直角坐标系 xOy，则 CD⊥y 轴．
因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对称．
依题意，记 A(－c，0)，C( 2
c
，h)，B(c，0)，其中 c 为双曲线的半焦距，c= 2
1
|AB|，h 是梯形的高．
由定比分点坐标公式，得点 E 的坐标为
c
c
c
xE
19
7
11
8
1
211
8
，
h
h
yE
19
8
11
8
1
11
8
0
．
设双曲线的方程为
1
2
2
2
2
b
y
a
x
，则离心率 a
c
e
．
由点 C、E 在双曲线上，得
.1
361
64
361
49
,1
4
1
2
2
2
2
2
2
2
2
b
h
a
c
b
h
a
c
由①式得
1
4
1
2
2
2
2
a
c
b
h
代入②式得
9
2
2
a
c
所以，离心率
3
2
2
a
c
e
【例 8】已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点（A,B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的图过椭圆 C 的右顶点．求证：
直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
解：（I）由题意设椭圆的标准方程为
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
，
由已知得： 3a c ， 1a c ， 2a ， 1c ，
2 2 2 3b a c 椭圆的标准方程为
2 2
1
4 3
x y
（Ⅱ）设 1 1( )A x y，
， 2 2( )B x y，
，
联立
2 2
1.
4 3
y kx m
x y
，
得
2 2 2(3 4 ) 8 4( 3) 0k x mkx m ，
2 2 2 2 2 2
1 2 2
2
1 2 2
64 16(3 4 )( 3) 0 3 4 0
8
3 4
4( 3)
.
3 4
m k k m k m
mk
x x
k
m
x x
k
，即 ，则
，
又
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
3( 4 )
( )( ) ( )
3 4
m k
y y kx m kx m k x x mk x x m
k
，
因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 (2 0)D ， ，
1AD BDk k
，即
1 2
1 2
1
2 2
y y
x x
， 1 2 1 2 1 22( ) 4 0y y x x x x
，
2 2 2
2 2 2
3( 4 ) 4( 3) 16
4 0
3 4 3 4 3 4
m k m mk
k k k
，
2 27 16 4 0m mk k
解得： 1 2m k
，
2
2
7
k
m
，且均满足
2 23 4 0k m ，
当 1 2m k
时， l 的方程为 ( 2)y k x ，直线过定点 (2 0)， ，与已知矛盾；
当
2
2
7
k
m
时， l 的方程为
2
7
y k x
，直线过定点
2
0
7
，
所以，直线 l 过定点，定点坐标为
2
0
7
，
★★★自我提升
1.已知△ ABC 的顶点 B、C 在椭圆
2
3
x
＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ ABC
的周长是(C )
（A）2 3 （B）6 （C）4 3 （D）12
2．如果双曲线的两个焦点分别为 )0,3(1 F 、 )0,3(2F ，一条渐近线方程为 xy 2 ，那么它的两条准线间的距离是
（ C ）
A． 36 B．4 C．2 D．1
3．抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( B)
( A ) 16
17
( B ) 16
15
( C ) 8
7
( D ) 0
4．双曲线的虚轴长为 4，离心率 2
6
e
，F1、F2 分别是它的左，右焦点，若过 F1 的直线与双曲线的左支交于 A、B
两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（A）.
A、 28 B、 24 C、 22 D、8
5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是
22
1
16 4
yx
．
6．过椭圆左焦点 F，倾斜角为 60的直线交椭圆于 A、B 两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为( B )
(A)
2
3 (B)
2
3 (C)
1
2 (D)
2
2
7．椭圆 + =1 的离心率 e= ，则 m=___________m=8 或 2。
8． F1、F2 是椭圆
1
b
y
a
x
2
2
2
2
（a>b>0）的两焦点，过 F1 的弦 AB 与 F2 组成等腰直角三角形 ABF2，其中∠BAF2=900，
则椭圆的离心率是________ 36
9．已知椭圆 E 的离心率为 e，左、右焦点为 F1、F2，抛物线 C 以 F2 为焦点，F1 为其顶点，若 P 为两曲线的公共点，
且 e|PF2|=|PF1|，则 e＝__________。
10．如图，已知三点 A(－7, 0)，B(7,0)，C(2,－12).
① 若椭圆过 A、B 两点，且 C 为其一焦点，
求另一焦点 P 的轨迹方程；
② 若双曲线的两支分别过 A、B 两点，且 C 为其一
焦点，求另一焦点 Q 的轨迹方程。
解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，
即
故 P 的轨迹为 A（－7，0）、B（7，0）为焦点实轴长为 2 的双曲线的一支，
其方程为 ；
② 经讨论知，无论 A 在双曲线的哪一支上,
总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14
故点 Q 的轨迹为以 A（－7，0）、B（7，0）为焦点长轴长为 28 的椭圆，
其方程为 。
11．如图，A 为椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
( 0)a b 上 的一个动点，弦 AB、
AC 分别过焦点 F1、F2．当 AC 垂直于 x 轴 时， 恰好|AF1|:|AF2=3:1
（I）求该椭圆的离心率；
（II）设 BFAF 111 ， CFAF 222 ，试判 断 是 否 为 定
x
y
A
B
C
O F1 F2
值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（I）当 A C 垂直于 x 轴时，
1 2: 3:1AF AF
，由 1 2 2AF AF a
，
得
1
3
2
a
AF
，
2
2
a
AF
在 Rt△ 1 2AF F
中，
2
1AF
2 2
2 (2 )AF c
解得 e =
2
2 ．
（II）由e = 2
2
，则 2
2
1 2
22
e
a
ca
a
b
， cb ．
焦点坐标为 1 2( 0) ( 0)F b F b ， ， ，
，则椭圆方程为
1
2 2
2
2
2
b
y
b
x
，
化简有
222 22 byx ．
设 0 0( )A x y，
， 1 1 2 2( ) ( )B x y C x y， ， ，
，
①若直线 AC 的斜率存在，则直线 AC 方程为
)(
0
0 bx
bx
y
y
代入椭圆方程有
0)(2)23(
2
0
2
00
2
0
2 ybybxbyybxb
．
由韦达定理得： 0
2
2
0
2
20
23 bxb
yb
yy
，∴ 0
2
0
2
2
23 bxb
yb
y
所以
b
xb
y
y
CF
AF
0
2
0
2
2
2
23
，同理可得 b
xb
b
xb 00
1
2323
故=
6
6
b
b
．
②若直线 AC x 轴，
bx 0 ， 12 ，
5
23
1
b
bb
∴＝6．
综上所述：是定值 6．
12．已知椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
（a＞b＞0）上两点 A、B，直线 kxyl : 上有两点 C、D，且 ABCD 是正方形。此正方形
y
x
A
B
O
C
D
O＇
外接圆为 x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线 l 的方程。
解：圆方程 x2+y2-2y-8=0 即 x2+(y-1)2=9 的圆心 O＇（0，1），半径 r=3。
设正方形的边长为 p，则 rp 22 ，∴ 23p ，又 O＇是正方形 ABCD 的中心，∴O＇到直线 y=x+k 的距离应等
于正方形边长 p 的一半即 2
23
，由点到直线的距离公式可知
k=-2 或 k=4。
（1）设 AB：y=x-2 由 y=x-2
CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0
得 A（3，1）B（0，-2），又点 A、B 在椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
上，
∴a2=12，b2=4，椭圆的方程为
1
412
22
yx
。
（2）设 AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得
16 ,
5
48 22 ba
，此时 b2＞a2（舍去）。
综上所述，直线 l 方程为 y=x+4，椭圆方程为
1
412
22
yx
。
