数学文·河北省沧州一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（文科） Word版含解析

数学文·河北省沧州一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（文科） Word版含解析

‎2016-2017学年河北省沧州一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（　　）‎ A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]‎ ‎2．若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i ‎3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q ‎5．函数f（x）=+lg的定义域为（　　）‎ A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]‎ ‎6．设向量=（1，2），=（1，1），=+k，若⊥，则实数k的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知{an}是公差为1的等差数列；Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（　　）‎ A． B． C．10 D．12‎ ‎8．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣‎ ‎9．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎10．在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（　　）‎ A．[4，6] B．[﹣1， +1] C．[2，2] D．[﹣1， +1]‎ ‎11．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1）‎ C．（） D．（﹣∞，﹣，）‎ ‎12．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是　　．‎ ‎14．设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为　　．‎ ‎15．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=　　．‎ ‎16．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求sin2C的值．‎ ‎18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．‎ ‎19．已知{an}是递增的等差数列，a2，a3是方程x2﹣5x+6=0的两个实根．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Sn．‎ ‎20．已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和．‎ ‎21．已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4．‎ ‎（1）求a，b的值．‎ ‎（2）讨论函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）的极值．‎ ‎22．已知函数f（x）=lnx﹣．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：当x＞1时，f（x）＜x﹣1．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省沧州一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（　　）‎ A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．‎ ‎【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，‎ N={x|lgx≤0}=（0，1]，‎ 得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．‎ ‎【解答】解： =i，则=i（1﹣i）=1+i，‎ 可得z=1﹣i．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】充要条件．‎ ‎【分析】求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：∵|x﹣2|＜1，‎ ‎∴1＜x＜3，‎ ‎∵“1＜x＜2”‎ ‎∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．‎ 故选：A ‎　‎ ‎4．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．‎ ‎【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．‎ 令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，‎ 即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．‎ 则￢p∧q为真命题．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．函数f（x）=+lg的定义域为（　　）‎ A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则，‎ 即，‎ ‎＞0等价为①即，即x＞3，‎ ‎②，即，此时2＜x＜3，‎ 即2＜x＜3或x＞3，‎ ‎∵﹣4≤x≤4，‎ ‎∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，‎ 即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，‎ 故选：C ‎　‎ ‎6．设向量=（1，2），=（1，1），=+k，若⊥，则实数k的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由已知向量的坐标求得向量的坐标，然后由向量垂直的坐标表示列式求得k的值．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴，‎ 又，∴1×（1+k）+1×（2+k）=0，‎ 即2k+3=0，解得：k=﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．已知{an}是公差为1的等差数列；Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（　　）‎ A． B． C．10 D．12‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵{an}是公差为1的等差数列，S8=4S4，‎ ‎∴=4×（4a1+），‎ 解得a1=．‎ 则a10==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】利用分段函数，求出α，再求f（6﹣α）．‎ ‎【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；‎ α＞1时，﹣log2（α+1）=﹣3，∴α=7，‎ ‎∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】f′（x）=k﹣，由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=k﹣，‎ ‎∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，‎ ‎∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．‎ ‎∴，‎ 而y=在区间（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴k≥1．‎ ‎∴k的取值范围是[1，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（　　）‎ A．[4，6] B．[﹣1， +1] C．[2，2] D．[﹣1， +1]‎ ‎【考点】向量的加法及其几何意义．‎ ‎【分析】由于动点D满足||=1，C（3，0），可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），‎ ‎∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．‎ 又A（﹣1，0），B（0，），‎ ‎∴++=．‎ ‎∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）‎ ‎∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，‎ ‎∴=sin（θ+φ）≤=，‎ ‎∴|++|的取值范围是．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1）‎ C．（） D．（﹣∞，﹣，）‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质；函数单调性的性质．‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，‎ 且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，‎ 导数为f′（x）=+＞0，‎ 即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，‎ ‎∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），‎ 即|x|＞|2x﹣1|，‎ 平方得3x2﹣4x+1＜0，‎ 解得：＜x＜1，‎ 所求x的取值范围是（，1）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．‎ ‎【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，‎ 由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，‎ 求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，‎ 故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]‎ 故选：D ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是　0＜b＜2　．‎ ‎【考点】函数的零点．‎ ‎【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围 ‎【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，‎ 从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，‎ 结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，‎ 故答案为：0＜b＜2‎ ‎　‎ ‎14．设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为　　．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），‎ ‎∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．‎ 当n=1时，上式也成立，‎ ‎∴an=．‎ ‎∴=2．‎ ‎∴数列{}的前n项的和Sn=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎∴数列{}的前10项的和为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=　8　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．‎ ‎【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，‎ 曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，‎ 则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．‎ 由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，‎ 故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，‎ 得ax2+ax+2=0，‎ 又a≠0，两线相切有一切点，‎ 所以有△=a2﹣8a=0，‎ 解得a=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎16．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=　﹣　．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．‎ ‎【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．‎ ‎【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），‎ ‎∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，‎ ‎∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，‎ 又sin2θ+cos2θ=1，‎ 联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求sin2C的值．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦．‎ ‎【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．‎ ‎（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，‎ 所以BC=．‎ ‎（2）由正弦定理可得：，则sinC===，‎ ‎∵AB＜BC，∴C为锐角，‎ 则cosC===．‎ 因此sin2C=2sinCcosC=2×=．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解．‎ ‎（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得b，由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC，利用三角形面积公式即可得解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由tan（+A）=2．可得tanA=，‎ 所以==．‎ ‎（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA=，cosA=．‎ 又由a=3，B=及正弦定理，可得b=3，‎ 由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC=．‎ 设△ABC的面积为S，则S=absinC=9．‎ ‎　‎ ‎19．已知{an}是递增的等差数列，a2，a3是方程x2﹣5x+6=0的两个实根．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列与函数的综合；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）求出方程的根，求解数列的思想与公差，即可求解通项公式．‎ ‎（2）利用错位相减法求解数列的和即可．‎ ‎【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的两个实根为2，3，由题意得a2=2，a3=3，设数列{an}的公差为d，‎ 则d=a3﹣a2=3﹣2，=1，从而a1=1，所以数列{an}的通项公式an=n．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴①‎ ‎∴②‎ ‎①﹣②得， =2n+1﹣2﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴．‎ ‎　‎ ‎20．已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；‎ ‎（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d===3．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）．‎ ‎∴数列{an}的通项公式为：an=3n；‎ 设等比数列{bn﹣an}的公比为q，由题意得：‎ q3===8，解得q=2．‎ ‎∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1．‎ 从而bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．‎ ‎∴数列{bn}的通项公式为：bn=3n+2n﹣1；‎ ‎（2）由（1）知bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．‎ 数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1．‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4．‎ ‎（1）求a，b的值．‎ ‎（2）讨论函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）的极值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）由已知得f（0）=4，f′（0）=4．故b=4，a+b=8，从而a=4，b=4．‎ ‎（2）由（1）知，f（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，得．故f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣ln2）上单调递减．从而当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=ex（ax+a+b）﹣2x﹣4，‎ 由已知得f（0）=4，f′（0）=4．‎ 故b=4，a+b=8，‎ ‎∴a=4，b=4．‎ ‎（2）由（1）知，f（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，‎ ‎∴．‎ 令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2，‎ 从而当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；‎ 当x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0；‎ 故f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣ln2）上单调递减．‎ ‎∴当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=lnx﹣．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：当x＞1时，f（x）＜x﹣1．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求函数f（x）的导数，利用导函数大于0，求解不等式得到函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，然后证明当x＞1时，f（x）＜x﹣1．‎ ‎【解答】（I）解：，x∈（0，+∞）．‎ 由f′（x）＞0得解得．‎ 故f（x）的单调递增区间是．‎ ‎（II）证明：令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），x∈（0，+∞）．‎ 则有．当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0，‎ 所以F（x）在[1，+∞）上单调递减，‎ 故当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，‎ 即当x＞1时，f（x）＜x﹣1．‎ ‎　‎ ‎2016年10月25日