数学理卷·2018届河南省高三一轮复习诊断调研考试（1月）（2018

数学理卷·2018届河南省高三一轮复习诊断调研考试（1月）（2018

河南省一轮复习诊断调研考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知，复数，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了如图的折线图．‎ 已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A．最低气温与最高气温为正相关 B．10月的最高气温不低于5月的最高气温 C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 D．最低气温低于的月份有4个 ‎ ‎4.在等比数列中，若，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 ‎ ‎6.定义表示不超过的最大整数，，例如，，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.若对于任意都有，则函数图象的对称中心为（ ）‎ A．（ ） B．（）‎ C．（ ） D．（） ‎ ‎8.设，满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或2 ‎ ‎9.函数的部分图象大致是（ ）‎ ‎10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎11.设椭圆：的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数，其中是自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在中，，，则 ．‎ ‎14.已知，，若，则 ．‎ ‎15.已知为数列的前项和，，当时，恒有成立，若，则 ．‎ ‎16.设，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于，，且在第一象限，若为等边三角形，则双曲线的实轴长为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，，分别为线段上的点，且，．‎ ‎（1）求线段的长；‎ ‎（2）求的面积．　‎ ‎18.某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一个卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2,3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2,3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．‎ ‎（1）求甲获得奖品的概率；‎ ‎（2）设为甲参加游戏的轮数，求的分布列与数学期望．‎ ‎19.如图，在三棱台中，，分别是，的中点，平面，是等边三角形，，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ ‎20.已知抛物线：，斜率为且过点的直线与交于，两点，且，其中为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设点，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．‎ ‎21.已知函数（），且是它的极值点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求在上的最大值；‎ ‎（3）设，证明：对任意，都有．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设直线与的交点为，当变化时点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求出曲线的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知（）．‎ ‎（1）若的解集为，求的值；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 河南省一轮复习诊断调研考试数学（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，，所以．‎ 由余弦定理得，‎ 所以，即，‎ 在中，，，‎ 所以，所以．‎ ‎（2）因为是的平分线，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 所以，，‎ 又因为，所以，‎ 所以．‎ ‎18.解：（1）设甲获得奖品为事件 ‎，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，‎ 则．‎ ‎（2）随机变量的取值可以为．‎ ‎，，，，‎ 的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以数学期望．‎ ‎19.解：（1）证明：因为，，为棱的中点，‎ 所以，，‎ 所以四边形为平行四边形，从而．‎ 又平面，平面，‎ 所以平面，‎ 因为是的中位线，所以，‎ 同理可证，平面．‎ 因为，所以平面平面，‎ 又平面，所以平面．‎ ‎（2）以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，则，．‎ 设平面的一个法向量，则即 取，得．‎ 同理，设平面的一个法向量，‎ 又，，‎ 由得 取，得，‎ 所以，‎ 即二面角的正弦值为．‎ ‎20.解：（1）直线的方程为，联立方程组得，‎ 设，，‎ 所以，，‎ 又，‎ 所以，从而抛物线的方程为．‎ ‎（2）因为，，‎ 所以，，‎ 因此 ‎，‎ 又，，‎ 所以，‎ 即为定值．‎ ‎21.解：（1），‎ 因为是的一个极值点，所以，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 易知在上递增，在上递减，‎ 当，即时，在上递增，；‎ 当，即时，在上递减，；‎ 当，即时，．‎ ‎（3），设，，其中 ‎，，‎ 则，设，则，可知在上是增函数，‎ 所以，即在上是增函数，‎ 所以．‎ 又，由，得；由，得，‎ 所以在上递减，在上递增，‎ 所以，从而．‎ 所以，对任意，，．‎ ‎22.解：（1）将，的参数方程转化为普通方程 ‎：，①‎ ‎：，②‎ ‎①②消可得：，‎ 因为，所以，所以的普通方程为（）．‎ ‎（2）直线的直角坐标方程为．‎ 由（1）知曲线与直线无公共点，‎ 由于的参数方程为（为参数，，），‎ 所以曲线上的点到直线的距离为 ‎，‎ 所以当时，的最小值为．‎ ‎23.解：（1），即，平方整理得，‎ ‎，‎ 所以，是方程的两根，‎ 所以解得．　‎ ‎（2），‎ 因为对任意，恒成立，所以，‎ 当时，，解得；‎ 当时，，此时满足条件的不存在，‎ 综上可得，实数的取值范围是．‎