武汉市2019届毕业生二月调研测试理科数学(解析版)

武汉市2019届毕业生二月调研测试理科数学(解析版)

武汉市 2019 届毕业生二月调研测试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知复数 z 满足(3 4i) 7 iz   ，则 z  （ ） A．1 i B．1 i C． 1 i  D． 1 i  1．答案：B 解析： 7 i (7 i)(3 4i) 25 25i 1 i3 4i (3 4i)(3 4i) 25z           ． 2．已知集合  2 4 0 , { | 0}A x x x B x x   ≤ ，则 A B  （ ） A．(0, 4] B．[0, 4] C．[0, 2] D．(0, 2] 2．答案：A 解析：由 2 4 0x x ≤ ，得 2 4 0x x ≤ ，即  4 0x x  ≤ ，所以 4, 4 4x x≤ ≤ ≤ ， 即 [ 4,4], (0, ), (0,4]A B A B      ． 3．已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 1 512, 90a S  ，则等差数列{ }na 的公差 d  （ ） A．2 B． 3 2 C．3 D．4 3．答案：C 解析： 5 1 5 45 60 10 902S a d d     ，解得 3d  ． 4．已知双曲线 2 2 2 1( 0)4 x y bb   的渐近线方程为 3 0x y  ，则b  （ ） A． 2 3 B． 3 C． 3 2 D．12 4．答案：A 解析：由双曲线方程可知其渐近线方程为 2 by x  ，又渐近线方程为 3y x  ，所以 3, 2 32 b b  ． 5．执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ） A．5 B．12 C．27 D．58 开始 1, 1k s  k<30? 输出s 结束 2 1k k  s s k 是 否 5．答案：C 解析： 1 1 3 7 15 27s       ． 6．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A． 2 3  B． 4 3  C． 2 D． 2 5 6．答案：B 解析：该几何体有两个圆锥拼接而成，圆锥的底面半径 1r  ，高 2h  ，所以该几何体的体积为 21 42 ( 1 ) 23 3V       ． 7．已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是（ ） A． 3 5 B． 4 5 C． 7 20 D． 13 20 7．答案：D 解析：恰有两种颜色的概率 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 1 3 1 3 6 6 3 1 3 13 20 20 C C C C C C C CP C         ． 也可以从反面考虑： 1 1 1 3 2 3 1 3 3 6 6 1 131 1 20 20 C C C CP C       ． 8．在 ABC△ 中， 0, 4, 5,AB AC AB BC D        为线段 BC 的中点， E 为线段 BC 垂直平分线l 上 任一异于 D 的点，则 AE CB    （ ） A． 7 2 B． 7 4 C． 7 4 D．7 8．答案：A 解析： 2 2 3AC BC AB      ，        2 21 1 7 2 2 2 AE CB AD DE CB AD CB DE CB AD CB AB AC AB AC AB AC                                   D C BA E 9．已知函数 ( ) 2sin 4f x x      在区间 0, 8      上单调递增，则 的最大值为（ ） A． 1 2 B．1 C．2 D．4 9．答案：C 解析：当 0, 8x     时， ,4 4 8 4x           ，则由题意可得 8 4 2     ≤ ，解得 2 ≤ ，即 的 最大值为 2． 10．已知 ,A B 为抛物线 2 4y x 上两点，O 为坐标原点，且OA OB ，则 AB 的最小值为（ ） A． 4 2 B． 2 2 C．8 D．8 2 10．答案：C 解析：设 2 2 1 1 2 2( , 2 ), ( ,2 )A t t B t t ，则 2 1 2 1 2( ) 4 0OA OB t t t t      ，解得 1 2 0t t  （舍去）或 1 2 4t t   ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2 1 2 1 1 1 12 4 2 1 1 1 1 16 8 256 64( ) (2 2 ) 2 4AB t t t t t t t tt t t t                       2 256 2 256 8 ≥ ，当且仅当 2 1 4t  时等号成立，所以 AB 的最小值为 8． 解法 2：特值法，当 OA OB ，即直线OA 的倾斜角为 45时， AB 取得最小值，联立 2 4 y x y x    ， 得 (4,4)A ，同理可得 (4, 4)B  ，所以 8AB  ． 11．若 ,x y 满足约束条件 2 2 2 3 6 x y y x    ≤ ≤ ，则( 1)x y 的取值范围为（ ） A．[ 3,0] B． 93, 4     C． 90, 8      D． 93, 8     11．答案：D 解析：由 2 2 2 3 6 x y y x    ≤ ≤ ，得 2 2 2 6 2 3 6 x y y x     ≤ ≤ ≤ ≤ ，作可行域如图所示， 其中 3 31, , ( 2,0), 1, , (2,0)2 2A B C D            ，则 ( 1)z x y  表示以点( , )x y 和 ( 1,0) 的连线段为对角线 的长方形的面积（可为负值），当( , )x y 位于线段 3: 2 2 0 2AD x y y       ≤ ≤ 时， 2( 1) ( 2 3) 2 3z x y y y y y        ，因为 30 2y≤ ≤ ，所以 90, 8z     ； 当 ( , )x y 位于线段 3 6: (1 2)2 xCD y x ≤ ≤ 时， 23( 1) ( 2) [ 3,0]2z x y x x       ； 当 ( , )x y 位于线段 3: 2 2 02BC x y y       ≤ ≤ 时， 2 1( 1) ( 2 1) 2 3, 8z x y y y y y              ； 当 ( , )x y 位于线段 3 6: ( 2 1)2 xAB y x  ≤ ≤ 时， 23 3( 1) ( 3 2) ,02 8z x y x x           ． 综上可知， ( 1)z x y  的取值范围是 93, 8     ． 2 1 1 2 2 2 C A B D 2 1 1 2 2 2 C A B D 2 1 1 2 4 2 2 C A B D 解法 2：由 ( 1)z x y  ，得 1 zy x  ，作出函数 1 zy x  的图象，使其经过可行域内的点，当 1 zy x  与直线 : 2 2AD x y  相切时， z 取得最大值，设切点为横坐标为t ，因为 2( 1) zy x     ， 所以 2 2 1 2 1 ( 1) 2 z t t z t       ，解得 1 2 9 8 t z     ，即 max 9 8z  ， 当 1 zy x  过点 31, 2C     时， z 取得最小值 min 3(1 1) 32z          ． 综上可知， ( 1)z x y  的取值范围是 93, 8     ． 12．已知函数 ( ) ln( ) ( 0)xf x e a ax a a a     ，若关于 x 的不等式 ( ) 0f x  恒成立，则实数 a 的取值 范围为（ ） A． 2(0, ]e B． 2(0, )e C． 2[1, ]e D． 2(1, )e 12．答案：B 解析：函数 ( )f x 的定义域为(1, ) ，由 ( ) ln( ) 0xf x e a ax a a     ，得 1 ln( ) xe ax aa    ， 函数 1 xey a  与函数 ln( )y ax a  互为反函数，其图象关于直线 y x 对称，所以要使得 ( ) 0f x  恒成 立，只需 1 xe xa   恒成立，即 1 xea x  恒成立，设 ( ) 1 xeg x x  ，则 2 ( 2)( ) ( 1) xe xg x x    ，可知当 2x  时， ( )g x 取得最小值 2e ，所以 2a e ，又因为 0a  ，所以 a 的取值范围是 2(0, )e ． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13． 7( 2)( 2)x x  展开式中 7x 项的系数为 ． 13．答案： 12 解析：展开式中含 7x 的项为 1 6 1 7 7 7 ( 2) 2 12x C x x x     ，故展开式中 7x 项的系数为 12 ． 14．函数 ln( )y x x a  在点(0,0) 处的切线方程为 y x ，则实数 a 的值为 ． 14．答案：e 解析： ln( ) xy x a x a      ，当 0x  时， ln 1y a  ，解得 a e ． 15．已知正项数列{ }na 满足 1 1a  ，前 n 项和 nS 满足 2 14 ( 3) ( 2, )n nS a n n N    ≥ ，则数列{ }na 的通 项公式为 na  ． 15．答案： 2 1n  解析：当 2n  时， 2 2 1 2 24 ( 3) 16, 4, 3S a S a      ；当 3n  时， 2 3 2 3 34 ( 3) 36, 9, 5S a S a     ， 当 4n  时， 2 4 3 3 34 ( 3) 64, 16, 7S a S a     ，猜想得 2 1na n  ，经验证，当 2 1na n  时， 2 1 2 3,n na n S n    ，满足 2 14 ( 3)n nS a   ．故 2 1na n  ，下面用数学归纳法证明： ① 1 1a  ， 2 3a  ，满足 2 1na n  ， ②设 n k≤ 时，结论成立，即 2 1ka k  ， 2 kS k ， 则 2 2 2 2 2 2 1 1 1 14 ( 3) (2 2) 4( 1) , ( 1) , ( 1) 2 1k k k k k kS a k k S k a S S k k k                   2( 1) 1k   ，也满足 2 1na n  ， 结合①②可知， 2 1na n  ． 16．在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 A 关于平面 1BDC 的对称点为 M ，则 M 到平面 1 1 1 1A B C D 的距离为 ． 16．答案： 5 3 解析：将正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 再叠加一个正方体，构成如图所示的正四棱柱 1 1 1 1 2 2 2 2A B C D A B C D ， 则平面 1BDC 即为平面 2 1A BC D ，连接 2AC ，与平面 2A BD ，平面 2 2B CD 交于 ,P Q 两点， 易证得平面 2 //A BD 平面 2 2B CD ，且 2AC  平面 2A BD ， 2AC  平面 2 2B CD ，且 ,P Q 两点是线段 2AC 的两个三等分点，所以点Q 即为点 A 关于平面 1BDC 的对称点为 M ，易知点Q 平面 1 1 1 1A B C D 的距离为 5 3 ． A C B D A1 D1 C1 B1 B2 C2 D2 A2 P Q 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 在 ABC△ 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ．已知 2, 3, sin 2 sin 0a b C A    ． （1）求c ； （2）求 ABC△ 的面积． 17．解析：（1）由sin 2 sin 0C A  ，知 2sin cos sin 0C C A   ， 2 2 2 2 2 2 22 0, ( ) 02 a b cc a c a b c a bab           ，而 2, 3a b  ， 2(4 9 ) 12 0c c     ， 即 3 13 12 0, ( 1)( 3)( 4) 0c c c c c        ，而 0, 4c c   ．…………………………………6 分 （2）在 ABC△ 中，由余弦定理得： 2 2 2 211 3 15cos , sin 1 cos2 16 16 a c bB B Bac        ， 所以 ABC△ 的面积 1 1 3 15 3 15sin 2 42 2 16 4S ac B      ．……………………………………12 分 解法 2： 1 92, 3, 4, ( )2 2a b c p a b c       ，由海伦公式得： ABC△ 的面积 9 5 3 1 3 15( )( )( ) 2 2 2 2 4S p p a p b p c         ．…………………………12 分 18．（本小题满分 12 分） 如图，已知四边形 ABCD 为梯形， 1 1// , 90 ,AB CD DAB BDD B   为矩形，平面 1 1BDD B  平面 ABCD ， 又 1 1, 2AB AD BB CD    ． （1）证明： 1 1CB AD ； （2）求二面角 1 1B AD C  的余弦值． A B C B1 D D1 18．解法一：（1） 1 1BDD B 为矩形，且平面 1 1BDD B  平面 ABCD ， 1BB  平面 1,ABCD DD  平面 ABCD ，在 1Rt DD C△ 中， 1 1 15, 2, 2D C AD AB   ， 在梯形 ABCD 中， 90 , 1, 2, 5, 2DAB AD AB DC AC BC         ，从而 1 3B C  ． 在 1 1B D C△ 中， 1 1 1 15, 2, 3D C B D BD B C    ，可知 1 1 1B C B D ， 在 1B CA△ 中， 1 13, 2, 5B C AB AC   ，可知 1 1B C AB ， 又 1 1 1 1B D AB B  ， 1B C  平面 1 1B D A，又 1AD  平面 1 1 1 1,B D A CB AD  ．……………………………………6 分 （2）取 1AD 的中点 E ，连接 1 ,B E CE ，由 1 1 1 2B D AB  知 1 1B E AD ， 由 1 5CD AC  知 1CE AD ， 1B EC 为二面角 1 1B AD C  的平面角． 由（1）知 1B C  平面 1 1B D A， 1 90CB E   ，又 1 3 622 2B E    ， 2 2 1 1 3 2 2CE B C B E   ， 1 1 3cos 3 B EB EC CE    ． A B C B1 D D1 x y z A B C B1 D D1 E 解法二：（1） 1 1BDD B 为矩形，且平面 1 1BDD B  平面 ABCD ， 1BB  平面 ABCD ，又 AD DC ， 所以可以以 D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 1 1(1,0,0), (1,1,0), (0,2,0), (0,0,0), (1,1,1), (0,0,1)A B C D B D ， 1 1 1 1 1 1(1, 1,1), ( 1,0,1), 1 1 0 ( 1) 1 1 0,CB AD CB AD CB AD                    ． （2） 1 1 1( 1,0,1), (1,1,0), ( 1,2,0)AD D B AC        ， 设平面 1 1AD B 的法向量为 1 1 1( , , )m x y z  ，则 1 1 1 1 1 1 1 0 0 m AD x z m D B x y               ，令 1 1x  ，得 (1, 1,1)m    ． 设平面 1AD C 的法向量为 2 2 2( , , )n x y z  ，则 1 2 2 2 2 0 2 0 n AD x z n AC x y                ，令 2 1y  ，得 (2,1,2)n   ． 3 3cos , 33 3 m nm n m n          ， 因为二面角 1 1B AD C  为锐角，所以二面角 1 1B AD C  的余弦值为 3 3 ． 19．（本小题满分 12 分） 一个工厂在某年连续 10 个月每月产品的总成本 y（万元）与该月产量 x（万件）之间有如下一组数据： x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 （1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）①建立月总成本 y 与月产量 x 之间的回归方程； ②通过建立的 y 关于 x 的回归方程，估计某月产量为 1.98 万件时，此时产品的总成本为多少万元？ （均精确到 0.001） 附注：①参考数据： 10 10 1 1 14.45, 27.31i i i i x y      ， 10 10 2 2 2 2 1 1 ˆ10 0.850, 10 1.042, 1.222i i i i x x y y b         ， ②参考公式：相关系数 1 2 2 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x y nx y r x nx y ny                  ， 回归方程 ˆˆ ˆy a bx  中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 2 1 ˆ ˆˆ, n i i i n i i x y nx y b a y bx x nx           ． 19．解析：（1）由已知条件得： 10 2 2 1 10 2 2 1 10 0.85ˆ 1.22 0.9971.04210 i i i i x x r b y y            ， 这说明 y 与 x 正相关，且相关性很强．……………………………………………………………………5 分 （2）①由已知求得 ˆ ˆ1.445, 2.731, 2.731 1.222 1.445 0.965x y a y yx        ， 所以所求回归直线方程为 ˆ 1.222 0.965y x  ．……………………………………………………8 分 ②当 1.98x  时， 1.222 1.98 0.965 3.385y     （万元）， 此时产品的总成本为 3.385 万元．……………………………………………………………………12 分 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x y a ba b     的长轴长为 4，离心率为 2 2 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过 (1,0)P 作动直线 AB 交椭圆 于 ,A B 两点，Q 为平面上一点，直线 , ,QA QB QP 的斜率分别为 1 2 0, ,k k k ，且满足 1 2 02k k k  ，问Q 点是否在某定直线上运动，若存在，求出该直线方程；若不存在， 请说明理由． 20．解析：（1）依题意， 2 4, 2a a   ，而 2 22 , 2, 22 ce c b a ca       ， 从而椭圆的方程为 2 2 14 2 x y  ．…………………………………………………………………………4 分 （2）方法 1：当直线 AB 的斜率存在时，设直线 : ( 1)AB y k x  与椭圆交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 设 0 0( , )Q x y ，将 ( 1)y k x  代入 2 22 4 0x y   ，得 2 2 2 2(2 1) 4 2 4 0k x k x k     ，显然 0  ． 2 1 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 4 2 1 kx x k kx x k        ① ② ，由已知条件 1 2 02k k k  ，得 0 1 0 2 0 0 1 0 2 0 2 1 y y y y y x x x x x      ， 即 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 01 1 y y y y y y x x x x x x                  ，将 1 1 2 2( 1), ( 1)y k x y k x    代入，整理得： 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 2 0 ( 1)( ) ( 1)( ) 0( )( 1) ( )( 1) x y kx k x y kx k x x x x x x           ，而 0 0 0y kx k   ，所以 1 2 0 1 0 2 1 1 0x x x x x x     ， 即： 0 1 2 1 2 0( 1)( ) 2 2 0x x x x x x     ， 2 2 0 02 2 4 2 4( 1) 2 2 01 2 1 2 k kx xk k         ， 即 2 2 2 0 0 0 0( 1) 4 4 8 2 4 0, 4x k k x k x x         ． 当直线 AB 的斜率不存在时，经检验符合题意． 综上，点Q 的轨迹方程为： 4x  ．……………………………………………………………………12 分 方法 2：当直线 AB 的斜率存在时，设直线 : ( 1)AB y k x  与椭圆交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 设 0 0( , )Q x y ，将 ( 1)y k x  代入 2 22 4 0x y   ，得 2 2 2 2(2 1) 4 2 4 0k x k x k     ，显然 0  ． 2 1 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 4 2 1 kx x k kx x k        ① ② ， 直线 AQ 的斜率 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 ( 1)y y k x y kx k yk kx x x x x x           ，同理 0 0 2 2 0 kx k yk k x x     ， 1 2 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 2 0 1 2 0 1 2 0 21 12 ( ) 2 ( ) ( ) x x xk k k kx k y k kx k yx x x x x x x x x x                       ③ ， 将①②代入③，由 1 2 02k k k  ，得： 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 4 2 (2 1) 22 ( ) 2 4 4 (2 1) 1 k x k yk kx k y k k x x k x           ， 所以 2 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 (1 )( ) 2 ( 1) 4 1 k x x yk kx k y k x x x           ， 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 (1 )( ) 2 ( 1) 4 1 k x x y kx xkx k y k x x x            ， 又 0 0( 1)y k x  ， 2 0 0 2 2 2 0 0 0 2 (1 ) 1 2 ( 1) 4 1 k x x k x x x        ， 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 02 ( 1) 2 ( 1) 4k x x x k x x         ， 0 4x  ． 当直线 AB 的斜率不存在时，经检验符合题意． 综上，点Q 的轨迹方程为： 4x  ．……………………………………………………………………12 分 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) ( ) ( 0)xf x ax x e a  ≥ ． （1）若函数 ( )f x 在区间[2, ) 上单调递减，求实数 a 的取值范围； （2）设 ( )f x 的两个极值点为 1 2 2 1, ( )x x x x ，证明：当 2 11 5a≥ 时， 1 2( ) ( ) 0f x f x  ． （附注：ln11 2.398 ） 21．解析：（1）由 2( ) ( ) xf x ax x e  ，得 2 2( ) ( 2 ) ( ) [ ( 2) ]x x xf x a x e ax x e x a x a e          ， 2 2( 2) 4( ) 4 0a a a        ， 2 ( 2)x a x a    有两个不同的实根 1 2 1 2, ( )x x x x ， 2 2 1 2 2 4 2 4,2 2 a a a ax x       ， 所以函数 ( )f x 在 1( , ]x 上单调递减，在 1 2( , )x x 上单调递增，在 2[ , )x  上单调递减． 所以要 ( )f x 在[2, ) 上单调递减，只需 2 2 2 4 22 a ax    ≤ ，即 2 4 6a a ≤ ， 2 24 (6 ) 6 0 a a a      ≤ ，从而 8 3a ≤ ． 所以所求 a 的取值范围是 80, 3      ．…………………………………………………………………………6 分 （2）解： 2 1 2( ) [ ( 2) ] , ,xf x x a x a e x x       是 ( )f x 的极值点 1 2( )x x ， 1 2,x x 是关于 x 的方程 2 ( 2) 0x a x a    两个实根， 1 2 1 22,x x a x x a      ， 又 1 22 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )x xf x f x ax x e ax x e     ， 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2( 2) 0 2 2 ( 2) 2x a x a ax x x a x x x x x               ， 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1( 2) 0 2 2 ( 2) 2x a x a ax x x a x x x x x               ， 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( 2) ( 2)x xf x f x x x e x x e        ， 又 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1( ) ( ) 0 ( 2) ( 2) 0 ( 2) ( 2) 0x x x xf x f x x x e x x e x x x x e                 ， 令 2 1t x x  ，则 2 2 2 1 1 2 1 2 12( ) 4 4 5t x x x x x x a       ≥ ， 从而只需 ( 2) ( 2) 0tt t e     对 12 5t ≥ 恒成立． 令 ( ) ( 2) ( 2) th t t t e     ，而 ( ) 1 ( 1) th t t e     在 12 ,5    上单调递增， 12 12 12 5 5 512 7 12 22 2 2( ) 1 0, ( ) 115 5 5 5 5 5h t h e h t h e e                          ≥ ， 又 12 512ln11 2.398 2.4 , 11 , ( ) 05 e h t       ．………………………………………………………12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 1 : 4 sin 3 0C      ，曲线 2 2: sin 04 2C        ． （1）求 1 2,C C 的直角坐标方程； （2）已知曲线 1C 与 y 轴交于 ,A B 两点， P 为 2C 上任一点，求 PA PB 的最小值． 22．解析：（1）由 2 1 : 4 sin 3 0C      ，得 2 2 4 3 0x y y    ， 即 1C 的直角坐标方程为 2 2 4 3 0x y y    ； 由 2 2: sin 04 2C        ，得 2 2 2sin cos 0, 1 02 2 2 y x            ， 即 2C 的直角坐标方程为 1 0x y   ．………………………………………………………………5 分 （2） 2 2 4 3 0x y y    与 y 轴交于点 (0,3), (0,1)A B ， 而 (0,1)B 关于直线 1y x  的对称点为 (2, 1)B  ， 2 2(2 0) (3 1) 2 5PA PB PA PB AB         ≥ ．………………………………10 分 3 2 1 1 2 B' A B C1 O P 23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) 2 1 , Rf x x x a a     ． （1）当 1a  时，求不等式 ( ) 0f x  的解集； （2）若关于 x 的不等式 ( )f x x≥ 在 Rx 时恒成立，求实数 a 的取值范围． 23．解析：（1）当 1a  时，由 ( ) 0f x  ，得 2 1 1x x   ， 2 24( 1) ( 1)x x    ， (3 1)( 3) 0x x    ，解得 3x   或 1 3x   ，所以 ( ) 0f x  的解集为 1( , 3) ,3         ．……5 分 （2） ( ) 2 1f x x x a x    ≥ 对 Rx 恒成立，即 2 1x a x x  ≤ ， 即 2 1 2 1x x x a x x     ≤ ≤ ， 2 2 1 2 1x x a x   ≤ ≤ 对 Rx 恒成立， 显然 min2 1 0x   ， 令 ( ) 2 2 1g x x x   ，则 4 2, 1( ) 2, 1 x xg x x      ≤ ， ( )g x 在 ( , 1]  单调递增， max[ ( )] 2g x   ， 2 0a ≤ ≤ ．………………………………………………………………………………………………10 分