安徽省亳州市第二中学2020届高三上学期月考数学（文）试题

安徽省亳州市第二中学2020届高三上学期月考数学（文）试题

亳州二中2017级高三年级第二次月考数学（文）‎ 一、选择题：（此题共12题每题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）‎ ‎1.函数y＝的定义域是 A. [1，＋∞） B. （，＋∞） C. [，1] D. （，1]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 要使函数有意义，需使，即解得故选D ‎2.已知，则( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分子分母同时除以，利用同角三角函数的商关系化简求值即可.‎ ‎【详解】因为，所以，于是有 ‎，故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数的商关系，考查了数学运算能力.‎ ‎3.已知扇形圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据扇形面积公式得到半径，再计算扇形弧长.‎ ‎【详解】 ‎ 扇形弧长 ‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了扇形面积和弧长公式，解出扇形半径是解题的关键，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.某快递公司在我市的三个门店，，分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店，与门店都相距，而门店位于门店的北偏东方向上，门店位于门店的北偏西方向上，则门店，间的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，作出图形，结合图形利用正弦定理，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】如图所示，依题意知，，，‎ 由正弦定理得：，则.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答中根据题意作出图形，合理使用正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.已知下面四个命题：‎ ‎①“若，则或”的逆否命题为“若且，则”‎ ‎②“”是“”的充分不必要条件 ‎③命题存在，使得，则：任意，都有 ‎④若且为假命题，则均为假命题，其中真命题个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①根据逆否命题的写法，以及或变为且得到命题正确；② 时，也成立；③含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论；④命题p，q中只要有一个为假命题，“P且q”为假命题．‎ ‎【详解】对于①，交换条件和结论，并同时否定，而且“或”的否定为“且”，故①是真命题；‎ 对于②时，也成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故②是真命题；‎ 对于③含有量词（任意、存在）命题的否定既要换量词，又要否定结论，故③是真命题；‎ 对于④命题p，q中只要有一个为假命题，“P且q”为假命题，因而p或q 有可能其中一个是真命题，故④是假命题.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了命题的逆否关系，充分不必要条件的判定，含有量词的命题的否定及含有逻辑词“且”的命题的真值情况，属于中档题．‎ ‎6.已知a＝log34，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. c＞a＞b D. b＞a＞c ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 得出，从而得到的大小关系，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，根据对数的运算可得，‎ 所以，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数的换底公式，以及对数的单调性、指数的运算的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎7.函数的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性以及特殊值进行排除即可．‎ ‎【详解】由题意，排除B，C，‎ 又 ‎，‎ 则函数是偶函数，排除D，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数值进行排除是解决本题的关键．‎ ‎8.已知函数，则（ ）‎ A. -5 B. 5 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题 ‎ 选B ‎9.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，对变形可得，则函数是周期为的周期函数，据此可得，，结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值，相加即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数满足任意的都有，则，‎ 则函数是周期为的周期函数，‎ ‎，‎ 又由函数是定义在上的奇函数，则，‎ 时，，则，‎ 则；‎ 故；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题．‎ ‎10.已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，则所得的函数解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据余弦函数的图象的对称性求得：，根据余弦函数图象：，解得：，利用周期公式：，解得，根据函数的图象，时，‎ ‎，，由于，解得，则，故选B.‎ ‎11.已知函数的最小值为则实数m的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数的表达式转化求解函数的最小值，求解m的范围即可．‎ ‎【详解】函数的最小值为．‎ 可知：时，由，解得，‎ 因为是增函数，所以只需，恒成立即可．‎ ‎，所以，可得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题．‎ ‎12.已知函数，则曲线上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，然后再求出的值域，即得到切线斜率的取值范围，然后可得倾斜角的范围．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 即倾斜角的取值范围是．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义及其应用，解题的关键是求出导函数的值域，然后根据斜率与倾斜角的关系得到所求，考查综合运用知识解决问题的能力，属于基础题．‎ 二．填空题（共4个小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.已知命题，那么是___________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据全称命题的否定即可求解.‎ ‎【详解】因为命题 所以命题：‎ ‎【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎14.将函数f（x）＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则下列结论中正确的是_____．（填所有正确结论的序号）‎ ‎①g（x）的最小正周期为4π；‎ ‎②g（x）在区间[0，]上单调递减；‎ ‎③g（x）图象的一条对称轴为x；‎ ‎④g（x）图象的一个对称中心为（，0）．‎ ‎【答案】②④．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的图象的变换规律求得的解析式，再利用三角函数的周期性、单调性、图象的对称性，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度后，‎ 得到的图象，‎ 则函数的最小正周期为，所以①错误的；‎ 当时，，故在区间单调递减，‎ 所以②正确；‎ 当时，，则不是函数的对称轴，所以③错误；‎ 当时，，则是函数的对称中心，所以④正确；‎ 所以结论正确的有②④.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的判定，其中解答熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎15.曲线在点处的切线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎16.定义运算，若，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题干定义得到，利用同角三角函数关系得到：，，代入式子：得到结果.‎ ‎【详解】根据题干得到 ‎ ‎ ‎，， ‎ ‎，，代入上式得到结果为：‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式的应用，以及同角三角函数关系的应用，特殊角的三角函数值的应用，难度中等.‎ 三、解答题(70分)‎ ‎17.化简 ‎（1）‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1)0；(2)1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据诱导公式：奇变偶不变，符号看象限，进行化简求值（2）利用诱导公式将负角化正角，大角化小角，最后根据特殊角对应三角函数值求解 试题解析：（1）原式 ‎（2）原式 ‎18.已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值。‎ ‎【答案】（1）2，；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知，f（x）=‎ 所以f（x）的最小正周期为2，值域为。…………………6分 ‎（2）由（1）知，f（）=‎ 所以cos（）。‎ 所以 ‎，…………………12分 ‎[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想.‎ ‎19.在中，角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（Ⅰ）求角大小；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，其外接圆的半径为，求的周长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由由正弦定理得，进而得到，求得，即可求解；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理，求得，再由余弦定理得，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的值，得出三角形的周长.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，因为，‎ 由正弦定理，得，‎ 即，‎ 由，得，‎ 又由，则，‎ 所以，解得，‎ 又因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，且外接圆的半径为，‎ 由正弦定理可得，解得，‎ 由余弦定理得，可得，‎ 因为的面积为，解得，‎ 所以，解得：，‎ 所以的周长.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎20.已知定义在区间上的函数为奇函数．‎ ‎（1）求函数的解析式并判断函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）解关于的不等式．‎ ‎【答案】（1）；在区间上是增函数；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用可求的值，注意检验．利用定义可判断为上的单调增函数 ‎（2）利用（1）中的结论及为奇函数可得的取值范围．‎ ‎【详解】（1）∵是在区间上的奇函数，‎ ‎∴，则，此时，‎ 是奇函数．‎ 设，‎ 则，‎ ‎， ‎ 则，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴函数在区间上是增函数．‎ ‎（2）∵，且为奇函数，‎ ‎∴．‎ 又∵函数在区间上是增函数，‎ ‎，解得，‎ 故关于的不等式的解集为．‎ ‎【点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用（或）恒成立来求参数的大小. 另外解函数不等式要利用函数的单调性和奇偶性去掉对应法则．‎ ‎21.已知函数在上的最大值为3.‎ ‎（1）求的值及函数的单调递增区间;‎ ‎（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）,函数的单调递增区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出的值，再结合正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间;‎ ‎（2）由（1）结合已知，可以求出角的值，通过正弦定理把问题的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎ ‎ 由已知，所以 ‎ 因此 令 得 因此函数的单调递增区间为 ‎ ‎（2）由已知，∴‎ 由得，因此 所以 ‎ 因为锐角三角形，所以，解得 因此，那么 ‎【点睛】本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在实数，使得，求正实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出定义域以及，分类讨论，求出大于0和小于0的区间，从而得到的单调区间；‎ ‎（2）结合（1）的单调性，分类讨论，分别求出和以及函数在上的单调区间以及最小值，从而求出的范围。‎ ‎【详解】（1）的定义域为，.‎ 当时，，则在上单调递增；‎ 当时，由得：﹔由得：.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上所述：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. ‎ ‎（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增。‎ ‎①当即时，在上单调递增，‎ 不符合题意； ‎ ‎②当即时，在上单调递减，在上单调递增，由，解得：；‎ ‎③当即时，在上单调递减，由，‎ 解得：．‎ 综上所述：a的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论的思想，有一定的综合性。‎ ‎ ‎ ‎ ‎