5年高考真题精选与最新模拟备战数学（文） 专题17 几何证明选讲

5年高考真题精选与最新模拟备战数学（文） 专题17 几何证明选讲

‎【2012高考真题精选】‎ ‎【2012·辽宁卷】 ‎ 如图1－8，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E，证明：[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(1)AC·BD＝AD·AB；‎ ‎(2)AC＝AE.‎ ‎【2012·课标全国卷】如图1－5，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：‎ ‎(1)CD＝BC；‎ ‎(2)△BCD∽△GBD.‎ 图1－5‎ ‎【答案】证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，‎ 所以DE∥BC.‎ 又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.‎ 因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.‎ ‎(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.‎ 由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.‎ 而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.‎ ‎【2012·全国卷】 正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(　　)‎ A．8 B．‎6 C．4 D．3‎ ‎【2012·广东卷】 (几何证明选讲选做题)如图1－3所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.‎ ‎【2012·江苏卷】如图1－7，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.‎ 求证：∠E＝∠C.‎ ‎【2012·陕西卷】如图1－6，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.‎ ‎【2012·天津卷】 如图1－3所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．‎ 图1－3‎ ‎【答案】13.　【解析】由相交弦的性质可得AF×FB＝EF×FC，‎ ‎∴FC＝＝＝2，‎ 又∵FC∥BD，∴＝＝＝，即BD＝，‎ 由切割线定理得BD2＝DA×DC＝4DC2，解之得DC＝.‎ ‎【2011高考真题精选】‎ ‎（2011·广东卷）(几何证明选讲选做题)如图1－3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，‎ 图1－3‎ E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．‎ ‎（2011·辽宁卷）如图1－10，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线 图1－10‎ 与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.‎ ‎(1)证明：CD∥AB；‎ ‎(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎【解答】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.‎ ‎（2011·课标全国卷）如图1－10，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．‎ 图1－10‎ 已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．‎ ‎(1)证明：C，B，D，E四点共圆；‎ ‎(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．‎ 图1－11‎ ‎【解答】 (1)证明：连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，‎ 即＝，又∠DAE＝∠CAB ，从而△ADE∽△ACB.‎ 因此∠ADE＝∠ACB，[来源:Zxxk.Com]‎ 即∠ACB与∠EDB互补，所以∠CED与∠DBC互补，‎ 所以C，B，D，E四点共圆．‎ ‎(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.‎ 故AD＝2，AB＝12.‎ 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为 C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.‎ 由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC，从而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5.‎ 故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.‎ ‎（2011·陕西卷）‎ 图1－7‎ ‎ (几何证明选做题)如图1－7，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.‎ ‎（2011·天津卷） 如图1－5，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．‎ ‎【2010高考真题精选】‎ ‎ 1．（2010年高考天津卷文科11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则的值为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为ABCD四点共圆，所以∠∠PCB，‎ ‎∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以∽，所以 ‎，所以=。‎ ‎2．（2010年高考广东卷文科14）（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,CB,AB=AD=,CD=,点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF= 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连结DE，可知为直角三角形。则EF是斜边上的中线，等于斜边的一半，为。‎ ‎3．（2010年高考辽宁卷文科22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 ‎ ‎ 如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点 ‎（Ⅰ）证明：∽△;‎ ‎（Ⅱ）若的面积，求的大小.‎ ‎【2009年高考真题精选】‎ ‎ 1．(2009广东)如图3，点A，B，C是圆上的点，且，，则圆的面积等于__________________。‎ ‎ ‎ ‎2.（海南、宁夏）选修4—1；几何证明选讲 如图，已知ABC中的两条角平分线和相交于，B=60，在上，且。 ‎ ‎（1）证明：四点共圆；‎ ‎（2）证明：CE平分DEF。‎ ‎【解析】解：‎ ‎【2008年高考真题精选】‎ ‎1．（2008广东）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R=________.‎ ‎【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即 ‎。‎ ‎【最新模拟】‎ ‎ 1．如图1，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的半径R＝________.‎ ‎ ‎ 　　[来源:学科网]‎ 解析：如图2所示，连接OA、OB，‎ 则∠AOB＝90°，‎ ‎∵AB＝4，OA＝OB，‎ ‎∴OA＝2，即R＝2.‎ 答案：2 图3‎ ‎2．如图3，AB、CD是圆O内的两条平行弦，BF∥AC，BF交CD于点E，交圆O于点F，过A点的切线交DC的延长线于点P，若PC＝ED＝1，PA＝2，则AC的长为________．‎ ‎3．如图4，已知圆O的半径为3，PAB和PCD为圆O的两条割线，且O在线段AB上，若PB＝10，PD＝8，则线段CD＝________；∠CBD＝________.‎ 图5‎ ‎4．如图5，△ABC的外角∠EAC的平分线AD交BC的延长线于点D，若AB是△ABC外接圆的直径，且∠EAC＝120°，BC＝6，则线段AD的长为________．‎ 图6‎ ‎5．如图6，已知点C在⊙O的直径BE的延长线上，CA切⊙O于点A，若AB＝AC，则＝________.‎ ‎6．如图7，⊙O与⊙P相交于A、B两点，圆心P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.若CD＝2，CB＝2，则由B、P、E、F四点所确定的圆的直径为________．‎ 图8‎ ‎7．如图8，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2，AC＝2，则AB＝________.‎ ‎8．如图9所示，圆的内接三角形ABC的角平分线BD与AC交于点D，与圆交于点E，连接AE，已知ED＝3，BD＝6，则线段AE的长＝________.‎ ‎9．如图10，正△ABC的边长为2，点M，N分别是边AB，AC的中点，直线MN与△ABC的外接圆的交点为P，Q，则线段PM＝________.‎ ‎10．如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝________.‎ ‎11．如图，过圆外一点P作⊙O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若∠AEB＝30°，则∠PCE＝________.‎ 解析：由切割线性质得：PE2＝PB·PA，即＝，‎ ‎∴△PBE∽△PEA，∴∠PEB＝∠PAE，又△PEA的内角和为2(∠CPA＋∠PAE)＋30°＝180°，所以∠CPA＋∠PAE＝75°，即∠PCE＝75°.‎ 答案：75°‎ ‎12.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.‎ ‎13．如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.‎ ‎(1)求证：B，D，H，E四点共圆；‎ ‎(2)求证：CE平分∠DEF.‎ ‎14．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.‎ ‎(1)求证：∠EDF＝∠CDF；‎ ‎(2)求证：AB2＝AF·AD.‎ ‎15．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.‎ ‎(1)证明：CD∥AB；‎ ‎(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．‎ 证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.‎ 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，‎ ‎16．已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：‎ ‎(1)C，D，F，E四点共圆；[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(2)GH2＝GE·GF.‎ ‎17.已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.‎ ‎(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；‎ ‎(2)求证：QT＝TS.‎ ‎18．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.‎ ‎(1)求证：FB＝FC；‎ ‎(2)求证：FB2＝FA·FD；‎ ‎(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝‎6 cm，求AD的长．‎ ‎ ‎