泰州市姜堰区罗塘高级中学 2019~2020 学年度第二学期期中考试高二年级数学

泰州市姜堰区罗塘高级中学 2019~2020 学年度第二学期期中考试高二年级数学

泰州市姜堰区罗塘高级中学 2019~2020 学年度第二学期期中考试 高二年级数学试题 考试时间：120 分钟 满分 150 分 命题人：张宇辉 舒结高 陈林 一、单项选择题（本大题共 10 小题，共 50.0 分） 1、计算 33 44=AC （ ） A．16 B．56 C．96 D．576 2、函数 xy xe= 的导数为（ ） A． ' ( 1) xy x e=+ B． ' ( 2) xy x e=+ C． ' ( 1) xy x- e= D． ' xy xe= 3、甲、乙两人走过的路程퐬ퟏ(퐭)，퐬ퟐ(퐭)与时间 t 的关系如图所示，则在[ퟎ,퐭ퟎ]这个时间段 内，甲、乙两人的平均速度퐯甲，퐯乙的大小关系是( ) A. 퐯甲 > 퐯乙 B. 퐯甲 < 퐯乙 C. 퐯甲 = 퐯乙 D. 大小关系不确定 4、 42x x +的展开式中的常数项为（ ） A．12 B．20 C．24 D． 48 5、设随机变量훏～퐍(ퟑ, ퟒ)，若퐏(훏 < ퟐ퐚 − ퟑ) = 퐏(훏 > 퐚 + ퟐ)，则实 数 a 等于( ) A. ퟓ ퟑ B. ퟕ ퟑ C. 5 D. 3 6、对于给定的复数 z ，若满足 42zi−=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则 1z − 的取 值范围是（ ） A． 17 2, 17 2−+ B． 17 1, 17 1−+ C． 3 2, 3 2−+ D． 3 1, 3 1−+ 7、已知某省 2018 年 1 月至 4 月的快递业务量统计图如图①所示，2018 年 1 月至 4 月的快 递业务收入统计图如图②所示，下列对统计图理解错误的是( ) A. 2018 年 1 月至 4 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B. 2018 年 1 月至 4 月的业务量同比增长率均超过ퟓퟎ%，且 3 月最高 C. 从两图来看，2018 年 1 月至 4 月中同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并 不完全一致 D. 从 1 月至 4 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 8、将三颗质地均匀的骰子各掷一次，设事件퐀为“三个点数都不相同”，事件퐁为“至少 出现一个 6 点”，则概率퐏(퐀|퐁)等于( ) A. ퟔퟎ ퟗퟏ B. ퟏ ퟐ C. ퟓ ퟏퟖ D. ퟗퟏ ퟐퟏퟔ 9、2019 年某省发布了“3+1+2”模式的新高考方案,其中“3”是指语文、数学、外语三科为必 考科目,“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任 选两科,某学生根据自身的特点,决定按一下方法选课:①外语可选英语或日语,②若选历史, 则政治和地理至多选一科,③物理和日语最多只能选一个,则这个同学可能的选课方式共 有( ) A.6 种 B. 11 种 C. 12 种 D. 16 种 10、已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为ퟖퟎ％.现采用随机模拟的方法估计该 运动员 4 次射击至少 3 次击中目标的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机 数，指定 0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9 表示击中目标；再以每 4 个随机数为一组，代表 4 次射击的结果．经随机模拟产生了如下 20 组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 据此估计，该射击运动员 4 次射击至少 3 次击中目标的概率为( ) A. ퟓ ퟏퟖ B. ퟑ ퟒ C. ퟏ ퟒ D. ퟒ ퟓ 二、不定项选择题（本大题共 3 小题，共 15.0 分） 11、下列说法中正确的是( ) A. 数据 5，4，4，3，5，2 的众数是 4 B. 一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根 C. 数据 2，3，4，5 的标准差是数据 4，6，8，10 的标准差的一半 D. 频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率 12、甲、乙两类水果的质量(单位：퐤퐠)分别服从正态 分布퐍(훍ퟏ, 훔 ퟏ ퟐ)，퐍(훍ퟐ, 훔 ퟐ ퟐ)，其正态分布密度曲线 如图所示，则下列说法正确的是( ) A. 甲类水果的平均质量为ퟎ. ퟒ 퐤퐠 B. 甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于 平均值左右 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数훔ퟐ = ퟏ. ퟗퟗ 13、关于函数 ( ) 2 lnf x xx=+ ，下列判断正确的是（ ） A．函数 y f x x 有且只有 1 个零点． B． 2x = 是 ( )fx的极大值点 C．存在正实数 k ，使得 ( )f x kx 成立 D．对任意两个正实数 1x ， 2x ，且 12xx ，若 ( ) ( )12f x f x= ，则 124xx+. 三、填空题（本大题共 3 小题，共 15.0 分） 14、已知复数 z 满足 ( )2 3 2z i i+ = − + ，则复数 z 的共轭复数对应的点在第________象限. 15、若函数 ( ) ( )=lnf x x ax a R−在  1,3x 上存在极大值，且该极大值为负数，则实 数 a 的取值范围为____________. 16、甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决 赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队 主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17、( 本题满分 10 分) 心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性 别” 有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组 员中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男生 30 人、女生 20 人)，给每位同学立体几何题、代数题 各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选 题情况统计如下表：(单位：人) （Ⅰ）能否有ퟗퟕ.ퟓ%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？ （Ⅱ）经统计得，选择做立体几何题的学生答对率为ퟒ ퟓ，且答对的学生中男生人数是女 生人数的 5 倍，现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情 况进行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率． 附表及公式： 퐏(퐊ퟐ ⩾ 퐤) ퟎ. ퟏퟓ ퟎ. ퟏퟎ ퟎ. ퟎퟓ ퟎ. ퟎퟐퟓ ퟎ. ퟎퟏퟎ ퟎ. ퟎퟎퟓ ퟎ. ퟎퟎퟏ k ퟐ. ퟎퟕퟐ ퟐ. ퟕퟎퟔ ퟑ. ퟖퟒퟏ ퟓ. ퟎퟐퟒ ퟔ. ퟔퟑퟓ ퟕ. ퟖퟕퟗ ퟏퟎ.ퟖퟐퟖ 퐊ퟐ = 퐧(퐚퐝 − 퐛퐜)ퟐ (퐚 + 퐛)(퐜 + 퐝)(퐚 + 퐜)(퐛 + 퐝) 18、( 本题满分 12 分) 将 4 个编号为 1，2，3，4 的小球放入 4 个编号为 1，2，3，4 的盒子中． （Ⅰ）有多少种放法？ （Ⅱ）每盒至多一球，有多少种放法？ (Ⅲ)把ퟒ个不同的小球换成ퟒ个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ (IV)恰好有一个空盒，有多少种放法？ 19、( 本题满分 12 分) 在二项式 ( )0102 + ax ax ）（ 的展开式中 8x 项的系数为 3360。 （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求该二项展开式中所有项的系数和的值； (Ⅲ)求该二项展开式中二项式系数最大的项。 20、( 本题满分 12 分) 已知函数 321() 4f x x x x= − + . （Ⅰ）求曲线 ()y f x= 的斜率为 1 的切线方程； （Ⅱ）当 [ 2,4]x− 时，求证： 6 ( )x f x x−   ； 21、( 本题满分 12 分) 在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后 2 个球 都投进者获奖；否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是ퟐ ퟑ ． (Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望； (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率； (Ⅲ)已知教师乙在某场比赛中，6 个球中恰好投进了 4 个球，求教师乙在这场比赛中 获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？ 22、( 本题满分 12 分) 已知 32( ) 3 1( 0)f x ax x a= − +  ，定义   ( ), ( ) ( )( ) max ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) f x f x g xh x f x g x g x f x g x ==  ≥ ． (Ⅰ)求函数 ()fx的极值； (Ⅱ)若 ( ) lng x x= ， 2a = ，试确定函数 ()hx ( 0)x  的零点个数． (Ⅲ)若 ( ) ( )g x xf x= ，且存在 [1,2]x 使 ( ) ( )h x f x= ，求实数 a 的取值范围； 答案 1—5 CABCB 6-10 ADADB 11 BCD 12 ABC 13 AD 14 三 15 1 ,1)e （ 16 0.18 17、解：(ퟏ)由表中数据，计算 퐊ퟐ = 퐧(퐚퐝 − 퐛퐜)ퟐ (퐚 + 퐛)(퐜 + 퐝)(퐚 + 퐜)(퐛 + 퐝) = ퟓퟎ×(ퟐퟐ×ퟏퟐ−ퟖ×ퟖ)ퟐ ퟑퟎ×ퟐퟎ×ퟑퟎ×ퟐퟎ = ퟓퟎ ퟗ > ퟓ. ퟎퟐퟒ， -------------------------5 分 故有ퟗퟕ. ퟓ%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关； (ퟐ)由题知选做立体几何题且答对的共 24 人，其中男生 20 人、女生 4 人，------7 分 故答错的共 6 人，其中男生 2 人、女生 4 人， 则从 6 人中任取 2 人共有퐂ퟔ ퟐ = ퟏퟓ种不同结果， 其中恰好抽到一男一女的结果有퐂ퟐ ퟏ퐂ퟒ ퟏ = ퟖ 种， 所以恰好抽到男女生各一人的概率퐩 = ퟖ ퟏퟓ．---------------10 分 18、 (1) 每个小球都可能放入 4 个盒子中的任何一个，共有ퟒ × ퟒ × ퟒ × ퟒ = ퟒퟒ = ퟐퟓퟔ种放法;-- -3 分 (ퟐ)排列问题，共有푨 ퟒ ퟒ = ퟐퟒ种放法;----------3 分 (ퟑ) 先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个 盒子各放一个，故共有푪 ퟒ ퟑ푪 ퟑ ퟏ = ퟏퟐ种放法．-------------9 分 (2) (ퟒ)法一：先将 4 个小球分为三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，共有 푪ퟒ ퟐ푪ퟐ ퟏ푪ퟏ ퟏ 푨ퟐ ퟐ · 푨 ퟒ ퟑ = ퟏퟒퟒ种放法;---------------------12 分 法二：先取 4 个球中的两个“捆”在一起，把它与其他两个球共 3 个元素分别放入 4 个盒 子中的 3 个盒子，共有푪 ퟒ ퟐ푨 ퟒ ퟑ = ퟏퟒퟒ种放法；---------------------12 分 19、（1）二项展开式中，通项公式为 20 3 1 10 r r r rT C a x − + = ，令 20 3 8r−=，求得 4r = ， ------------------------------2 分 故含 8x 项的系数为 4 10 4 3360, 0, 2C a a a=   = ．-------------4 分 （2）令 1x = ，可得该二项展开式中所有项的系数和的值为 103 ；--------------------8 分 （3）该二项展开式中二项式系数最大的项为 ( ) 5 55 2 5 10 2 8064 .C x xx = ------------------12 分 20、Ⅰ） 23( ) 2 14f x x x = − + ，令 23( ) 2 1 14f x x x = − + = 得 0x = 或者 8 3x = . 当 时， (0) 0f = ，此时切线方程为 yx= ，即 0xy−=； 当 时， 88()3 27f = ，此时切线方程为 64 27yx=− ，即 27 27 64 0xy− − = ； 综上可得所求切线方程为 和 .--------------------------------5 分 （Ⅱ）设 321( ) ( ) 4g x f x x x x= − = − ，-------7 分 23( ) 24g x x x =−，令 23( ) 2 04g x x x = − = 得 0x = 或者 8 3x = ，所以当 [ 2,0]x− 时， ( ) 0gx  ， ()gx为增函数；当 8(0, )3x 时， ( ) 0gx  ， 为减函数；当 8[ ,4]3x 时， ， 为增函数；--------9 分 而 (0) (4) 0gg==，所以 ( ) 0gx ，即 ()f x x ； 同理令 321( ) ( ) 6 64h x f x x x x= − + = − + ，可求其最小值为 ( 2) 0h −=，所以 ( ) 0hx  ， 即 ( ) 6f x x−，综上可得 6 ( )x f x x−   .------------------------------12 分 21、解：(Ⅰ)퐗的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6． 依条件可知퐗～퐁(ퟔ, ퟐ ퟑ). 퐏(퐗 = 퐤) = 퐂ퟔ 퐤 ⋅ (ퟐ ퟑ)퐤 ⋅ (ퟏ ퟑ)ퟔ−퐤(퐤 = ퟎ,1，2，3，4，5，ퟔ) X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 6 P ퟏ ퟕퟐퟗ ퟏퟐ ퟕퟐퟗ ퟔퟎ ퟕퟐퟗ ퟏퟔퟎ ퟕퟐퟗ ퟐퟒퟎ ퟕퟐퟗ ퟏퟗퟐ ퟕퟐퟗ ퟔퟒ ퟕퟐퟗ 所以퐄퐗 = ퟏ ퟕퟐퟗ (ퟎ × ퟏ + ퟏ × ퟏퟐ + ퟐ × ퟔퟎ + ퟑ × ퟏퟔퟎ + ퟒ × ퟐퟒퟎ + ퟓ × ퟏퟗퟐ + ퟔ × ퟔퟒ) = ퟐퟗퟏퟔ ퟕퟐퟗ = ퟒ．-------------------4 分 或因为퐗～퐁(ퟔ, ퟐ ퟑ)，所以퐄퐗 = ퟔ × ퟐ ퟑ = ퟒ.即 X 的数学期望为 4 (Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A， 则퐏(퐀) = 퐂ퟒ ퟐ × (ퟏ ퟑ)ퟐ × (ퟐ ퟑ)ퟒ + 퐂ퟒ ퟏ × ퟏ ퟑ × (ퟐ ퟑ)ퟓ + (ퟐ ퟑ)ퟔ = ퟑퟐ ퟖퟏ．---------8 分 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为ퟑퟐ ퟖퟏ． (Ⅲ)设教师乙在这场比赛中获奖为事件 B， 则퐏(퐁) = 퐀ퟒ ퟐ퐀ퟒ ퟒ 퐀ퟔ ퟔ = ퟐ ퟓ．--------------------------------10 分 即教师乙在这场比赛中获奖的概率为ퟐ ퟓ． 显然ퟐ ퟓ = ퟑퟐ ퟖퟎ ≠ ퟑퟐ ퟖퟏ，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率 不相等．-----------------12 分 22、解：（1）∵函数 32( ) 3 1f x ax x=−+， ∴ 2'( ) 3 6 3 ( 2)f x ax x x ax= − = − ． --------------------1 分 令 '( ) 0fx= ,得 1 0x = 或 2 2x a= ，∵ 0a  ，∴ 12xx ，列表如下： x ( ,0)− 0 2(0, )a 2 a 2( , )a + '( )fx + 0 − 0 + ()fx ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴ ()fx的极大值为 (0) 1f = ，极小值为 2 2 2 2 8 12 4( ) 1 1f a a a a= − + = − ． ----------3 分 （2）由（1）知， ()fx在(0, )+ 上的最小值为 2 24( ) 1f aa=− ， 当 2a = 时， min( ) (1) 0f x f==，又 (1) 0g = ， ----------5 分 ∴ ( ) max{ ( ), ( )}h x f x g x= 在 (0, )+ 上有一个零点． ----------7 分 （3） 23 63)()( xaxxfxxg −== ，∵存在 [1,2]x 使 ( ) ( )h x f x= ， ∴ ( ) ( )f x g x≥ 在 [1,2]x 上有解，即 3 2 3 23 1 3 6ax x ax x− + −≥ 在 上有解， 即不等式 3 132a xx+≤ 在 上有解， ----------9 分 设 2 33[1,3 2]1 3 1()xy x xxx + = + = ，∵ 2 4 33'0xy x −−=对 恒成立， ∴ 3 13y xx=+在 上单调递减，∴当 1x = 时， 3 13y xx=+的最大值为 4， ∴ 24a≤ ，即 2a≤ ． ------------------------------12 分