名师解读高考真题系列－高中数学（文数）：专题04 导数与函数的单调性（解读版）

名师解读高考真题系列－高中数学（文数）：专题04 导数与函数的单调性（解读版）

一、选择题 ‎1. 【三角变换及导数的应用】【2016，新课标1文数】若函数在单调递增,则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎2.【利用导数研究函数的性质】【2015，湖南，文8】设函数，则是( )‎ A.奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数 C.偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数 ‎ ‎ ‎【答案】A 二、非选择题 ‎3. 【利用导数研究函数的单调性，不等式的证明与解法】【2016，新课标Ⅲ文数】‎ 设函数．‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）证明当时，；‎ ‎（III）设，证明当时，.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略．‎ ‎4. 【导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式】【2016，天津文数】‎ 设函数，，其中 ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（Ⅰ）递减区间为，递增区间为，.（Ⅱ）略（Ⅲ）略 ‎5. 【导数的运算；利用导数求函数的单调性、最值，解决恒成立问题】【2016，四川文科】‎ 设函数，，其中，e=2.718…为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；‎ ‎（Ⅲ）确定的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增；（2）证明详见解析；（3）.‎ ‎6. 【导数的综合应用】【2015，福建，文22】已知函数．‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．‎ ‎ ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．‎ ‎2017年真题 ‎1. 【导函数的图象】【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是（ ）‎ ‎【答案】D ‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．‎ ‎2. 【导数的综合应用】【2017课标1，文21】已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；（2）．‎ 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增．‎ ‎③若，则由得．‎ 当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．‎ ‎（2）①若，则，所以．‎ ‎②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．‎ ‎③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值．‎ ‎3. 【利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立】【2017课标II，文21】‎ 设函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在 和单调递减，在单调递增（Ⅱ） ‎ 所以在 和单调递减，在单调递增 ‎(2) ‎ 当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，‎ 故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1‎ 当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1‎ 当0＜x＜1，，，取 则 当时，取 ‎ 综上，a的取值范围[1，+∞） ‎ ‎【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. ‎ ‎4. 【利用导数求单调性，利用导数证不等式】【2017课标3，文21】已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当a﹤0时，证明．‎ ‎【答案】（1）当时，在单调递增；当时，则在单调递增，在单调递减；（2）详见解析 ‎（2）由（1）知，当时，，‎ ‎，令 （），‎ 则，解得，‎ ‎∴在单调递增，在单调递减，‎ ‎∴，∴，即，∴.‎ ‎【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略 (1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎5. 【导数的几何意义，导数求函数的单调区间，导数的综合应用】【2017天津，文19】‎ 设，.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，‎ ‎（i）求证：在处的导数等于0；‎ ‎（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）递增区间为，，递减区间为.（2）（ⅰ）在处的导数等于0.（ⅱ）的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.‎ ‎（II）（i）因为，由题意知，‎ 所以，解得.‎ 所以，在处的导数等于0.‎ ‎（ii）因为，，由，可得.‎ 又因为，，故为的极大值点，由（I）知.‎ 另一方面，由于，故，‎ 由（I）知在内单调递增，在内单调递减，‎ 故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.‎ 由，得，.‎ 令，，所以，‎ 令，解得（舍去），或.‎ 因为，，，故的值域为.‎ 所以，的取值范围是.‎ ‎【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出 ，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.‎ ‎ ‎