2017-2018学年江苏省启东中学高二下学期期中数学文试题（解析版）

2017-2018学年江苏省启东中学高二下学期期中数学文试题（解析版）

江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试 高二文科数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1. 已知集合，集合，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意结合交集的定义可得：.‎ ‎2. 函数的单调递减区间是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查导数及函数的单调性 函数的定义域为 由得 令，则，解得；又则 故函数的递减区间为 ‎3. 已知命题的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若是的必要不充分条件，则集合是集合的子集，‎ 据此可得：实数的取值范围是.‎ ‎4. 若函数，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，结合导数的运算法则可得：‎ ‎.‎ ‎5. 已知函数，则函数的定义域为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数有意义，则：‎ ‎，解得：，‎ 据此可得函数的定义域为.‎ 点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．‎ ‎6. 设曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为 ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数的解析式可得：，‎ 则函数在处的切线斜率为，‎ 结合直线平行的结论可得：，解得：.‎ ‎7. 函数的值域为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的定义域为，则：‎ ‎，，，‎ 即函数的值域为.‎ ‎8. 函数的极大值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的定义域为，且，‎ 列表考查函数的性质如图所示：‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 则当时函数取得极大值：.‎ ‎9. 若函数是偶函数，则的值为______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】设，则，函数为偶函数，则，‎ 结合题中所给函数的解析式可得：，‎ 则.‎ 点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．‎ ‎10. 设函数为自然对数的底数，则的极小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的定义域为，且，‎ 列表考查函数的性质如图所示：‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 则当时函数取得极小值：.‎ ‎11. 设函数的导函数为，若，则＝______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合导数的运算法则可得：，‎ 则，‎ 导函数的解析式为：，‎ 据此可得：.‎ ‎12. 某种圆柱形的饮料罐的容积为，为了使得它的制作用料最少（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含的代数式表示）______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设饮料罐的底面半径为，高为，由题意可得：，故，‎ 圆柱的表面积：‎ ‎，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 据此可知为了使得它的制作用料最少，则饮料罐的底面半径为.‎ 点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.‎ ‎13. 已知函数是定义在上的偶函数，为奇函数，时，‎ ‎ ，则在区间(4，5)内满足方程的实数的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x+1)为奇函数，‎ ‎∴f(-x)=f(x)，f(-x+1)=-f(x+1)，‎ ‎∴f(2+x)=-f(-x)=-f(x)，‎ ‎∴f(x+4)=f(x)，函数的周期为，‎ 由题意可得：，则，‎ 当时，，由可得，‎ 据此可得原方程的解为：.‎ ‎14. 若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是 ______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数的解析式可得：‎ 当时，，；‎ 当时，，；‎ 当时，，；‎ 当时，，，此时函数单调递增；‎ 则，绘制函数的图象如图所示，‎ 函数有3个不同的零点，‎ 则函数与函数有个不同的交点，‎ 观察函数图象可得：.‎ 点睛：函数零点的求解与判断方法：‎ ‎(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. 已知函数 ‎(1)当在上是增函数，求实数的取值范围；‎ ‎(2)当处取得极值，求函数上的值域.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得, 满足题意时在区间上横成立，即在区间 上横成立，据此可得 ‎ ‎(2)由题意可得，且=0，据此可得结合导函数的解析式可得在上为减函数，在上增函数， 故函数的最大值函数的最小值函数的值域为.‎ 试题解析：‎ ‎(1), ‎ 因为在上是增函数，‎ 所以在区间上横成立，‎ 即在区间上横成立，‎ 令 ，，在上单调增函数.‎ 所以 ‎ ‎(2) ，‎ 因为处取得极值，所以=0，得出 ‎,令，‎ ‎ 在上为减函数，在上增函数， ‎ 又，函数的最大值函数的最小值 所以，函数上的值域为.‎ ‎16. 已知函数为自然对数的底数.‎ ‎(1)当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎(2)求函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）（2）当时，的单调递增区间为，无减区间.当时，的增区间为,减区间为 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由函数的解析式可得=3，=3，则在点处的切线方程为：‎ ‎（2）结合函数的解析式有，分类讨论可得：当时，的单调递增区间为，无减区间.当时，的增区间为,减区间为.‎ 试题解析：‎ ‎（1），=3‎ ‎ =3， ‎ 函数在点处的切线方程为：，即：‎ ‎（2），‎ ‎⑴当时，恒成立，的单调递增区间为，无减区间. ‎ ‎⑵当时, 令，，‎ ‎，， ‎ 的单调增区间为,单调减区间为.‎ 综上：当时，的单调递增区间为，无减区间.‎ ‎ 当时，的增区间为,减区间为.‎ 点睛：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；‎ 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．‎ ‎17. 已知全集,, .‎ ‎(1)求集合；‎ ‎(2)函数 ，对一切，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意可得，，则.‎ ‎(2)结合(1)的结论可知原问题等价于对一切 恒成立. 构造函数，令，结合导函数研究函数的单调性可得的最小值为. 则.‎ 试题解析：‎ ‎（1）求解一元二次不等式可得，求解分式绝对值不等式可得，‎ ‎.‎ ‎(2) 由得对一切 恒成立.‎ 对一切 恒成立. ‎ 令， ，‎ 在上单调递减，在上单调递增；‎ 的最小值为. .‎ ‎18. 已知命题：函数.‎ 命题：，不等式恒成立.‎ ‎(1)若函数的单调减区间是，求的值；‎ ‎(2)若函数在区间上为单调增函数，且命题为真命题，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）令则，利用换元法可得函数的解析式为，结合二次函数的性质可得 为真命题均为真命题命题p为真命题，讨论可得0≤m≤4，命题q为真命题，由判别式小于零可得，故m的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）令则，‎ 得出，所以，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为真命题均为真命题 命题p为真命题：若m=0,符合；‎ 若m≠0,得出m>0,，即0

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