2020届二轮复习 高考解题的数学思想 课件

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分类讨论思想 总纲目录 应用一   由概念、法则、公式引起的分类讨论 应用二 由运算、性质引起的分类讨论 应用三 由参数变化引起的分类讨论 应用四 由图形位置或形状引起的分类讨论 应用一　由概念、法则、公式引起的分类讨论 例1     (2017江苏,9,5分)等比数列{ a n }的各项均为实数,其前 n 项和 为 S n .已知 S 3 =   , S 6 =   ,则 a 8 = 　　　     . 答案 　32 解析 　设等比数列{ a n }的公比为 q . 当 q =1时, S 3 =3 a 1 , S 6 =6 a 1 =2 S 3 ,不符合题意, ∴ q ≠ 1,由题设可得   解得   ∴ a 8 = a 1 q 7 =   × 2 7 =32. 【技法点评】 　由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论往 往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条 件下结论不一致.如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等. 1. 已知函数 f ( x )=   若 f (2- a )=1,则 f ( a )等于   (　　) A.-2　    B.-1　    C.1　    D.2 答案     A　①当2- a ≥ 2,即 a ≤ 0时,2 2- a -2 -1=1, 解得 a =-1, 则 f ( a )= f (-1)=-log 2 [3-(-1)]=-2; ②当2- a <2,即 a >0时,-log 2 [3-(2- a )]=1, 解得 a =-   ,舍去. 综合①②可知, f ( a )=-2. 2. 设等比数列{ a n }的公比为 q ,前 n 项和 S n >0( n =1,2,3, … ),则 q 的取值 范围为 　　　　　　     . 答案 　(-1,0) ∪ (0,+ ∞ ) 解析 　由{ a n }是等比数列, S n >0,可得 a 1 = S 1 >0, q ≠ 0. 当 q =1时, S n = na 1 >0; 当 q ≠ 1时, S n =   >0,即   >0( n ∈N * ). 则有①   或②   由①得-1< q <1,由②得 q >1. 故 q 的取值范围是(-1,0) ∪ (0,+ ∞ ). 应用二　由运算、性质引起的分类讨论 例2 　已知 a , b >0且 a ≠ 1, b ≠ 1,若log a b >1,则   (　　) A.( a -1)( b -1)<0　    B.( a -1)( a - b )>0 C.( b -1)( b - a )<0　    D.( b -1)( b - a )>0 答案     D 解析 　　∵ a , b >0且 a ≠ 1, b ≠ 1,∴当 a >1,即 a -1>0时,不等式log a b >1 可化为   > a 1 ,即 b > a >1,∴( a -1)( a - b )<0,( b -1)( a -1)>0,( b -1)( b - a )>0. 当0< a <1,即 a -1<0时,不等式log a b >1可化为   < a 1 ,即0< b < a <1,∴ ( a -1)( a - b )<0,( b -1)·( a -1)>0,( b -1)( b - a )>0.综上可知,选D. 【技法点评】 　1.对于指数、对数型函数问题,应注意对底数是 否大于1进行讨论,进而确定函数的单调性. 2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引起的.比如除以一个数 时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数 是零、是正数、还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的 讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中 等价变形引发的讨论等. 3. 若函数 f ( x )= a x ( a >0, a ≠ 1)在区间[-1,2]上的最大值为4,最小值为 m ,且函数 g ( x )=(1-4 m )   在区间[0,+ ∞ )上是增函数,则 a = 　　          . 答案        解析 　若 a >1,则 a 2 =4, a -1 = m ,此时 a =2, m =   ,此时 g ( x )=-   在[0,+ ∞ ) 上为减函数,不合题意. 若0< a <1,有 a -1 =4, a 2 = m , 故 a =   , m =   ,此时 g ( x )=     在[0,+ ∞ )上为增函数,符合题意. 综上可知, a =   . 4. 已知 a , b , c 分别是△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边, a =2 b cos B , b ≠ c . (1)求证: A =2 B ; (2)若 a 2 + c 2 = b 2 +2 ac sin C ,求 A . 解析 　(1)证明:∵ a =2 b cos B ,且   =   , ∴sin A =2sin B cos B =sin 2 B , ∵0< A <π,0< B <π, ∴sin A =sin 2 B >0, ∴0<2 B <π, ∴ A =2 B 或 A +2 B =π. 若 A +2 B =π,则 B = C , b = c ,这与“ b ≠ c ”矛盾, ∴ A +2 B ≠ π,∴ A =2 B . (2)∵ a 2 + c 2 = b 2 +2 ac sin C , ∴   =sin C , 由余弦定理得cos B =sin C , ∵0< B <π,0< C <π,∴ C =   - B 或 C =   + B . ①当 C =   - B 时,由 A =2 B 且 A + B + C =π,得 A =   , B = C =   ,这与“ b ≠ c ”矛盾,∴ A ≠   ; ②当 C =   + B 时,由 A =2 B 且 A + B + C =π,得 A =   , B =   , C =   ,∴ A =   . 应用三　由参数变化引起的分类讨论 例3     (2018北京,18节选)设函数 f ( x )=[ ax 2 -(4 a +1) x +4 a +3]e x .若 f ( x ) 在 x =2处取得极小值,求 a 的取值范围. 解析 　因为 f ( x )=[ ax 2 -(4 a +1) x +4 a +3]e x , 所以 f '( x )=[ ax 2 -(2 a +1) x +2]e x =( ax -1)( x -2)e x . 若 a >   ,则当 x ∈   时, f '( x )<0; 当 x ∈(2,+ ∞ )时, f '( x )>0. 所以 f ( x )在 x =2处取得极小值. 若 a ≤   ,则当 x ∈(0,2)时, x -2<0, ax -1 ≤   x -1<0, 所以 f '( x )>0, 所以2不是 f ( x )的极小值点. 综上可知, a 的取值范围是   . 【技法点评】 　若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的 意义及对结果的影响进行分类讨论,此种题目为含参型,应全面分 析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适 当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确,不重不漏. 5. 已知函数 f ( x )= mx 2 - x +ln x ,若在函数 f ( x )的定义域内存在区间 D ,使 得该函数在区间 D 上为减函数,则实数 m 的取值范围为 　　　     . 答案        解析 　由题意知 f '( x )=2 mx -1+   =   , x >0, 即2 mx 2 - x +1<0在(0,+ ∞ )上有解. 当 m ≤ 0时显然成立; 当 m >0时,由于函数 y =2 mx 2 - x +1的图象的对称轴为 x =   >0, 故只需 Δ >0,即1-8 m >0,故 m <   . 综上所述, m <   ,故实数 m 的取值范围为   . 6. (2017课标全国Ⅰ,21改编)已知函数 f ( x )=e x (e x - a )- a 2 x .讨论 f ( x )的 单调性. 解析 　函数 f ( x )的定义域为(- ∞ ,+ ∞ ), f '( x )=2e 2 x - a e x - a 2 =(2e x + a )(e x - a ). ①若 a =0,则 f ( x )=e 2 x ,在(- ∞ ,+ ∞ )上单调递增. ②若 a >0,则由 f '( x )=0得 x =ln a . 当 x ∈(- ∞ ,ln a )时, f '( x )<0; 当 x ∈(ln a ,+ ∞ )时, f '( x )>0. 故 f ( x )在(- ∞ ,ln a )上单调递减,在(ln a ,+ ∞ )上单调递增. ③若 a <0,则由 f '( x )=0得 x =ln   . 当 x ∈   时, f '( x )<0; 当 x ∈   时, f '( x )>0. 故 f ( x )在   上单调递减,在   上单调递增. 应用四　由图形位置或形状引起的分类讨论 例4     (2018课标全国Ⅰ,19,12分)设椭圆 C :   + y 2 =1的右焦点为 F , 过 F 的直线 l 与 C 交于 A , B 两点,点 M 的坐标为(2,0). (1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程; (2)设 O 为坐标原点,证明:∠ OMA =∠ OMB . 解析 　(1)由已知得 F (1,0), l 的方程为 x =1, 由已知可得,点 A 的坐标为   或   . 又 M (2,0),所以 AM 的方程为 y =-   x +   或 y =   x -   . (2)证明:当 l 与 x 轴重合时,∠ OMA =∠ OMB =0 ° , 当 l 与 x 轴垂直时,直线 OM 为 AB 的垂直平分线, 所以∠ OMA =∠ OMB . 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为 y = k ( x -1)( k ≠ 0), A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 x 1 <   , x 2 <   ,直线 MA , MB 的斜率之和为 k MA + k MB =   +   . 由 y 1 = kx 1 - k , y 2 = kx 2 - k 得 k MA + k MB =   . 将 y = k ( x -1)代入   + y 2 =1得 (2 k 2 +1) x 2 -4 k 2 x +2 k 2 -2=0, 所以 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   . 则2 kx 1 x 2 -3 k ( x 1 + x 2 )+4 k =   =0, 从而 k MA + k MB =0, 故 MA , MB 的倾斜角互补, 所以∠ OMA =∠ OMB . 综上,∠ OMA =∠ OMB . 【技法点评】 　对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分 类整合法,这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关 系,以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究.破解此类题的 关键点: ①确定特征,一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定. ②分类,根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类. ③得出结论,将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理. 7. 正三棱柱的侧面展开图是长和宽分别为6和4的矩形,则它的体 积为   (　　) A.   　    B.4   C.   　    D.4   或   答案     D　当正三棱柱的高为4时,体积 V =2 ×   ×   × 4=4   ;当正 三棱柱的高为6时,体积 V =   ×   ×   × 6=   . 8. 已知变量 x , y 满足的不等式组   表示的是一个直角三 角形围成的平面区域,则实数 k =   (　　) A.-   　    B.   　     C.0　    D.-   或0 答案     D　作出不等式组   表示的平面区域,易知当直 线 y = kx +1与直线 x =0或 y =2 x 垂直时平面区域是直角三角形区域. ∴ k =0或-   .故选D.