数学文卷·2017届山东省济南第一中学高三12月月考（2016

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济南一中 2016 年 12 月阶段性测试 高三数学试题（文科） 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分.考试时间为 120 分钟， 注意事项： 1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形 码区域内. 2． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、笔迹清楚. 3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效. 4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题，共 65 分） 一、选择题（本大题包括 13 小题，每小题 5 分，共 65 分，每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.设复数 （ 是虚数单位），则 =（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数 中,满足对任意 当 时都有 的是（ ） A． B ． C ． D． 4. 已知等比数列 满足 , ,则 （ ） A.2 B.1 C. D. 5. 是 成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题正确的是 A. B. C. D. [ 1,0]− [0,1] { }na 1 1 4a = ( )3 5 44 1a a a= − 2a = { 1 1}A x x≤ ≤= − { 0 2}B x x≤ ≤= A B = [ 1,2]− ( ,1] [2, )−∞ +∞ 1z i= + i 2 z 1 i− − 1 i− + 1 i+ 1 i− ( )f x 1 2, (0, ),x x ∈ +∞ 1 2x x< 1 2( ) ( )f x f x> 1( )f x x = 2( ) ( 1)f x x= − ( ) xf x e= ( ) ln( 1)f x x= + 1 2 1 8 2x < 2 3 2 0x x− + < ,m n , ,α β γ , ,α γ β γ α β⊥ ⊥若 则 ‖ , ,m n m nα α若 则‖ ‖ ‖ , ,m n m nα α⊥ ⊥若 则 ‖ , ,m mα β α β若 则‖ ‖ ‖ 7. 的三内角 的对边边长分别为 ，若 ，则 （ ） A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D. 8.如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 9.函数 对任意 都有 ，则 等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 10.若等边 的边长为 ，平面内一点 M 满足 ，则 等 于 A. B. C.2 D. 11.若圆 关于直线 对称，则 的取值 范围是【来源：全,品…中&高*考+网】 A． B． C． D． 【来源：全,品…中&高*考+网】12.已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 在 轴上方）两点. 若 ，则 的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 13. 如 图 ， 函 数 的 图 象 为 折 线 ， 则 不 等 式 的解集是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共 85 分） x 2 0 2− 2 0 2− 0 ab ABC∆ , ,A B C , ,a b c 5 , 22a b A B= = cos B = 5 3 5 4 5 5 5 6 1 32 3 64 32 3 3 64 3 ( ) 2cos( )( 0)f x xω ϕ ω= + ≠ ( ) ( )4 4f x f x π π+ = − ( )4f π ABC∆ 32 CACBCM 3 1 3 1 += MBMA⋅ 32 32− 2− 2 2 4 2 1 0x y x y+ − + + = 2 1 0 ( , )ax by a b− − = ∈R 1, 4  −∞   1, 16  −∞   1 , 04  −   1 ,16  + ∞  :C xy 42 = F 3( 1)y x= − C , (A B A x AF mFB=  m 3 3 2 ( )f x ACB ( ) ( )2log 1f x x +≥ { }| 1 0x x− < ≤ { }| 1 1x x− ≤ ≤ { }| 1 1x x− < ≤ { }| 1 2x x− < ≤ 二、填空题(本大题包括 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 14. 已知向量 ．若向量 ，则实数 的值是_____________. 15. 若 ， 满足 则 的最大值为___________. 16. 已知函数 在区间 上的最大值是 ，则 的取值范围 是 ． 17. 函数 的图像与直线 以及 轴围成图形的面积记为 在 上的 面积.已知函数 在 上的面积为 ，则函数 在 上 的面积为________ 18. 已知双曲线 的一个焦点为 ,且双曲线的渐近线与圆 相切,则双曲线的方程为_______________. 三、解答题（本大题包括 5 小题，共 60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤）. 19.（本小题满分 12 分） 函数 （其中 ）的图象 如图所示，把函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移 1 个 单位，得到函数 的图象． （Ⅰ）求函数 的表达式； （Ⅱ）已知 内角 的对边分别为 ，且 ．若向量 与 共线，求 的值． 20. （本小题满分 12 分） 已知四棱锥 ，其中 ， ， ， ∥ ， 为 的中点. （Ⅰ）求证： ∥面 ； 2 4 11( ) ( )，， ，a = b = ( )λ⊥b a + b λ x y 0 1 0 x y x y x − ≤  + ≤  ≥ ， ， ， 2z x y= + ( ) ( )1 2 3 1 0 ( ) 0 x x f x x x − − ≤=   > [ ]1,m− 2 m ( )y f x= ,x a x b= = x ( )f x [ , ]a b siny nx= [0, ]n π 2 ( )n Nn +∈ sin3y x= 2[0, ]3 π 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b- = > > (2,0)F ( )2 22 3x y− + = ( ) sin( )f x A x= ω + ϕ 0, 0, 2A π> ω > ϕ < ( )f x 4 π ( )y g x= ( )y g x= ABC∆ , ,A B C , ,a b c 0)(,3 == Cgc (1,sin )m A= (2,sin )n B= a b， BCDEA − 1==== BEACBCAB 2=CD ABCCD 面⊥ BE CD F AD EF ABC A B A C D E F （Ⅱ）求证：面 ； （III）求四棱锥 的体积. 21. （本小题满分 12 分） 在等差数列 中， ，其前 n 项和为 . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 ，求数列 的前 n 项和 . 22. (本小题满分 12 分) 如图所示，椭圆 C： 的两个焦点为 、 ，短轴两个端点为 、 ．已知 、 、 成等比数列， ，与 轴不垂直的直线 与 C 交 于 不 同 的 两 点 、 ， 记 直 线 、 的 斜 率 分 别 为 、 ， 且 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）求证直线 与 轴相交于定点，并求出定点坐标． ACDADE 面⊥ BCDEA − { }na 1 2 3 2 62 3 11, 2 4a a a a a+ = = + − nS { }na { }nb 1 n n b S n = + }{ nb nT 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F A B OB 1F B 1 2F F 1 1 2 2F B F F⋅ =  x l M N AM AN 1k 2k 1 2 3 2k k⋅ = C l y y xO 2F1F B A N M   l 23. (本小题满分 12 分) 已知函数 ， . （Ⅰ）若 ，过点 作曲线 的切线 ，求 的方程； （Ⅱ） 若曲线 与直线 只有一个交点，求实数 的取值范围. 23)( axxxf −= a∈R 1a = (1,0) ( )y f x= l l )(xfy = 1y x= − a 济南一中高三测试题数学(文科)（答案） 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C D A C B C B D B D B D C 二、填空题 14. 15. 16. 17. 18. 三、解答题 19.解. （Ⅰ）由函数 的图象， ，得 ， 又 ，所以 ．　……………………3 分 由图像变换，得 ．……………………6 分 （Ⅱ）∵ ， 即 ∵ ， ， ∴ ，∴ ． ………………………………………………7 分 ∵ 共线，∴ ． 由正弦定理 ， 得 ①………………………………9 分 ∵ ，由余弦定理，得 ②……………………11 分 解方程组①②，得 ． ……………………………………12 分 20. 解：（Ⅰ）取 AC 中点 G,连结 FG、BG， ∵F,G 分别是 AD,AC 的中点 ∴FG∥CD,且 FG= DC=1 ． ∵BE∥CD ∴FG 与 BE 平行且相等 ∴EF∥BG． 3− 2 ( 1,4]− 4 3 2 2 13 yx − = )(xf ω πππ 2)312 7(4 =−=T 2=ω 3,32 πϕπϕπ =∴=+× )32sin()( π+= xxf 1)62sin(1)4()( −−=−−= ππ xxfxg ( ) sin(2 ) 1 06f C C π= − − = sin(2 ) 16C π− = 0 C π< < 1126 6 6C π π π− < − < 2 6 2C π π− = 3C π= m n 与 sin 2sin 0B A− = sin sin a b A B = 2 ,b a= 3c = 2 29 2 cos 3a b ab π= + − 3 2 3 a b  = = 2 1 ABCBGABCEF 面面 ⊂⊄ , A B A C D E F G ∴ ∥面 （Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG⊥AC 又∵DC⊥面 ABC,BG 面 ABC ∴DC⊥BG ∴BG 垂直于面 ADC 的两条相交直线 AC,DC， ∴BG⊥面 ADC ． ∵EF∥BG ∴EF⊥面 ADC ∵EF 面 ADE，∴面 ADE⊥面 ADC ． （Ⅲ）连结 EC,该四棱锥分为两个三棱锥 E－ABC 和 E－ADC ． ． 21. 解：（I） ， 即 得 ， ， . (II) ， ， . 22. 解: （Ⅰ）易知 、 、 （其中 ），则由题 意知有 ．又∵ ，联立得 ．∴ ． ∵ ，∴ ．∴ ． 故椭圆 C 的方程为 ． 4 分 （Ⅱ）设直线 的方程为 ， 、 坐标分别为 、 ． 由 ． ∴ ． 7 分 EF ABC ⊂ ⊂ 4 3 6 3 12 3 2 313 114 3 3 1 =+=××+××=+= −−− ACDEABCEBCDEA VVV 1 2 1 1 12 3 2 3( ) 5 3 11a a a a d a d+ = + + = + = 3 2 62 4a a a= + − 1 1 12( 2 ) 5 4a d a d a d+ = + + + − 2d = 1 1a = 1 ( 1) 1 ( 1) 2 2 1na a n d n n= + − = + − × = − 2 1 1 1( 1) 1 ( 1) 22 2nS na n n d n n n n= + − = × + − × = 2 1 1 1 1 1 ( 1) 1n n b S n n n n n n n = = = = −+ + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) 11 2 2 3 3 4 1 1 1n nT n n n n = − + − + − + + − = − =+ + + OB b= 1F B a= 1 2 2F F c= 2 2c a b= − 2 2a bc= 2 2 2a b c= + b c= 2a b= 1 1 2 2F B F F⋅ =  2 cos45 2ac ° = 2 21, 2b a= = 2 2 12 x y+ = l y kx b= + M N 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 2 2 2 21 (1 2 ) 4 2 2 02 x y k x kbx b y kx b  + = ⇒ + + + − =  = + 2 1 2 1 22 2 4 2 2,1 2 1 2 kb bx x x xk k −+ = − ⋅ =+ + ∵ ． ∴ ＝ ． 将韦达定理代入，并整理得 ，解得 ． ∴直线 与 轴相交于定点（0，2）． 12 分 23. 解 ： （ 1 ） 设 切 点 为 ， 则 处 的 切 线 方 程 为 . 该直线经过点 ，所以有 ， 化简得 ，解得 或 ， 所以切线方程为 和 . （2）由题得方程 只有一个根， 设 ， 则 ，因为 所以 有两个零点 ，即 （ ）， 且 ， ， 不妨设 ，所以 在 单调递增，在 单调递减， 为极大值， 为极小值， 方程 只有一个根等价于 且 ， 或者 且 ， 又 ， 1 2 1 2 1 2 1 1,y yk kx x + += = 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1 ) ( 1 ) (1 ) ( ) (1 )kx b kx b k x x b k x x bk k x x x x + + + + + + + + + +⋅ = ⋅ = 3 2 2 2 22 ( 1) 4 (1 2 )( 1) 31 k b k b k b b − − + + + =− 2b = l y P 0 0( , )x y P 2 3 2 0 0 0 0 0(3 2 )( )y x x x x x x= − − + − (1,0) 2 3 2 0 0 0 0 00 (3 2 )(1 )x x x x x= − − + − 3 2 0 0 02 0x x x− + = 0 0x = 0 1x = 0y = 1y x= − 3 2 1 0x ax x− − + = 3 2( ) 1g x x ax x= − + + 2'( ) 3 2 1g x x ax= − − 24 12 0,a∆ = + > '( )g x 1 2,x x 23 2 1 0i ix ax− − = 1,2i = 1 2 0x x < 23 1 2 i i xa x −= 1 20x x< < ( )g x 1 2( , ),( , )x x−∞ +∞ 1 2( , )x x 1( )g x 2( )g x 3 2 1 0x ax x− − + = 1( ) 0g x > 2( ) 0g x > 1( ) 0g x < 2( ) 0g x < 2 3 2 3 2 33 1 1( ) 1 1 1( 1,2)2 2 2 i i i i i i i i i i i x xg x x ax x x x x x ix −= − − + = − − + = − − + = 设 ，所以 ，所以 为减函数， 又 ，所以 时 ， 时 ， 所以 大于 或小于 ，由 知， 只能小于 ， 所以由二次函数 性质可得 ，所以 . 31( ) 12 2 xh x x= − − + 23 1'( ) 02 2h x x= − − < ( )h x (1) 0h = 1x < ( ) 0h x > 1x > ( ) 0h x < ( 1,2)ix i = 1 1 1 20x x< < ( 1,2)ix i = 1 2'( ) 3 2 1g x x ax= − − '(1) 3 2 1 0g a= − − > 1a <