数学文卷·2018届宁夏长庆高级中学高三第四次月考（2017

数学文卷·2018届宁夏长庆高级中学高三第四次月考（2017

宁夏长庆高级中学2017-2018学年第一学期 第四次月考高三数学（文科）试卷 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1、已知，，则等于 ‎ A．（，1） B．（，2） C．（0，2） D．（1，2）‎ ‎2、已知是虚数单位，复数 A． B． C． D．2‎ ‎3、在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102‎ 根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝(　　)‎ A．192 B．202 C．212 D．222‎ ‎5．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ ‎6、已知命题，，命题是偶函数，则下列结论中正确的是 ‎ A．是假命题 B．是真命题  ‎ C．是真命题 D．是假命题 ‎7、若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8、如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则 ‎ A．2 B．1 C． D．0‎ ‎9、已知和点满足．若存在实数使得成立，则 ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎10、已知函数，若，则 ‎ A． B． C． D．1‎ ‎11、已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝，若bn＝anan＋1，则数列{bn}的前n项和Sn为(　　)‎ A. B. C. D. ‎12．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题　共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、已知平面向量，满足,且，,则与的夹角 ‎ ‎14、如图，从气球A上测得正前方的河流在B，C处的俯角分别为750和300此时气球距地面的高度是60米，则河流的宽度BC等于 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15．若x，y满足则2x＋y的最大值为 ‎ ‎16．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知向量a＝，b＝(cosx，－1)．‎ ‎(1)当a∥b时，求tan2x的值；‎ ‎(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域．.‎ ‎18. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ ‎(1)三棱锥P－ABC的体积； (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值． ‎ ‎ ‎ ‎19．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a＝Sn＋1＋Sn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝a2n－1·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎20. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a＝2，＝.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)求△ABC的面积的最大值．‎ ‎21．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；‎ ‎(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。‎ ‎22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线：（为参数），经过伸缩变换后得到曲线.‎ ‎（1）求曲线的参数方程；‎ ‎（2）若点在曲线上运动，试求出到直线的距离的最小值.‎ 23． ‎（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 设.‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数x的取值范围.‎ 宁夏长庆高级中学2017-2018学年第一学期 第四次月考高三数学（文）试卷 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1、已知，，则等于 ‎ A．（，1） B．（，2） C．（0，2） D．（1，2）‎ ‎2、已知是虚数单位，复数 A． B． C． D．2‎ ‎3、在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102‎ 根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝(　　)‎ A．192 B．202 C．212 D．222‎ ‎5．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ ‎6、已知命题，，命题是偶函数，则下列结论中正确的是 ‎ A．是假命题 B．是真命题 ‎ C．是真命题 D．是假命题 ‎7、若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8、如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则 ‎ A．2 B．1 ‎ C． D．0‎ ‎9、已知和点满足．若存在实数使得成立，则 ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎10、已知函数，若，则 ‎ A． B． C． D．1‎ ‎11、已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝，若bn＝anan＋1，则数列{bn}的前n项和Sn为(　　)‎ A. B. C. D. ‎12．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　　)‎ A．1 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题　共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、已知平面向量，满足，且，，则向量与的夹角 1200 ‎ ‎14、如图，从气球A上测得正前方的河流在B，C处的俯角分别为750和300此时气球距地面的高度是60米，则河流的宽度BC等于 120(√3-1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15．若x，y满足则2x＋y的最大值为 4‎ ‎16．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝____130____.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知向量a＝，b＝(cosx，－1)．‎ ‎(1)当a∥b时，求tan2x的值；‎ ‎(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域．‎ 解　(1)∵a∥b，∴sinx·(－1)－·cosx＝0，‎ 即sinx＋cosx＝0，tanx＝－，‎ ‎∴tan2x＝＝.‎ ‎(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2‎ ‎＝sinxcosx－＋cos2x＋1‎ ‎＝sin2x－＋cos2x＋＋1＝sin.‎ ‎∵－≤x≤0，‎ ‎∴－π≤2x≤0，－≤2x＋≤，‎ ‎∴－≤sin≤，‎ ‎∴f(x)在上的值域为.‎ ‎18. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ ‎(1)三棱锥P－ABC的体积； ‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ 解　(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥P－ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.‎ ‎(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．‎ 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，‎ cos∠ADE＝＝.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎ ‎19．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a＝Sn＋1＋Sn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝a2n－1·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)因为a＝Sn＋1＋Sn，①‎ 所以当n≥2时，a＝Sn＋Sn－1，②‎ ‎①－②得a－a＝an＋1＋an，‎ 即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an，‎ 因为an>0，所以an＋1－an＝1，‎ 所以数列{an}从第二项起，是公差为1的等差数列．‎ 由①知a＝S2＋S1，因为a1＝1，所以a2＝2，‎ 所以当n≥2时，an＝2＋(n－2)×1，即an＝n.③‎ 又因为a1＝1也满足③式，所以an＝n(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)得bn＝a2n－1·2an＝(2n－1)·2n，‎ Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④‎ ‎2Tn＝22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，⑤‎ ‎④－⑤得－Tn＝2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－1)·2n＋1，‎ 所以－Tn＝2＋－(2n－1)·2n＋1，‎ 故Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.‎ ‎20. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a＝2，＝.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)求△ABC的面积的最大值．‎ 解　(1)根据正弦定理，‎ 由＝可得＝，‎ ‎∴b2－a2＝bc－c2，即b2＋c2－a2＝bc，‎ 由余弦定理可得cosA＝＝＝，‎ ‎∵A∈(0，π)，∴A＝.‎ ‎(2)由a＝2及余弦定理可得cosA＝＝＝，故b2＋c2＝bc＋4.‎ 又bc＋4＝b2＋c2≥2bc，∴bc≤4＋2，‎ 当且仅当b＝c＝ 时等号成立．‎ 故所求△ABC的面积的最大值为×(4＋2)×＝＋1.‎ ‎21．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；‎ ‎(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．‎ 解　(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.‎ ‎(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.‎ 设切点为(x0，y0)，‎ ‎①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.‎ 若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.‎ ‎∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.‎