全国大联考2020届高三2月联考理科数学
理科数学试卷 第 1 页（共 4 页） 20·LK2·QG
秘密★网络公布前 [网络公布时间：2020 年 2 月 6 日 15:00]
全国大联考 2020 届高三 2 月联考
理科数学试卷
注意事项：
1．考试时间 120 分钟，满分 150 分。
2．因受新型冠状病毒影响，原定的考试时间无法进行考试，故本套试卷选择通过网络
公布，以免影响高三考生的正常复习进度，公布后，考生和教师可自行打印使用此试卷。
建议打印用纸：试卷、答案：A4 纸或 A3 纸二合一打印 答题卡：A3 纸（建议彩印）
注：本套试卷免费公布，不得为任何个人或企业盈利所用。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设集合 A={x|x2≤x}，B={x| 1
x
≥1}，则 A∩B=
A．( 1]−， B．[0 1]，
C．(0 1]， D．( 1]−， ∪(0 1]，
2．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(1+i)=2i，则 z=
A．2 B．1+i C．-1+i D．1-i
3．“0
0)的焦点 F，且与
抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 1，则 p=
A．1 B． 2 C．2 D．4
( )3,1=a ( )0, 1=−b ( ),3k=c ( )2−⊥a b c
k
23 3−
开始
输出 y
结束
是
否
y=i2+2i
i=-1
i=i+1
i<3?
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7．我国古代木匠精于钻研，技艺精
湛，常常设计出巧夺天工的建
筑．在一座宫殿中，有一件特别
的“柱脚”的三视图如右图所
示，则其体积为
A． +4π B． +8π
C．8+4π D．8+8π
8．将函数 的图象向右平移 ( >0)个单位，再向上平移 1 个单位，
所得图象经过点( ，1)，则 的最小值为
A． B． C． D．
9．已知双曲线
22
221xy
ab−=(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作 x2+y2=a2 的切线，
交双曲线右支于点 M，若∠F1MF2=45º，则双曲线的离心率为
A． 2 B． 3 C．2 D．3
10．有一个长方体木块，三个侧面积分别为 8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则
该正四面体模型棱长的最大值为
A．2 B． 22 C．4 D． 42
11．已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，A(0，2)，|OB|2+|OA|2=20，若平面内
点 P 满足 3PB PA= ，则|PO|的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
12．已知 A、B 是函数
2e()
e
xa
x
xafx
xa
−
−
=
， ，
，
(其中 a>0)图象上的两个动点，点 P(a，0)，若
PA PB 的最小值为 0，则函数 ()fx的最小值为
A． 2
1
e− B． 1
e− C． 2
1
e
D． 1
e
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是_____．
14．已知向量 a，b 的夹角为 45º，若 a=(1，1)，|b|=2，则|2a+b|=________．
15．记 7 2 7
0 1 2 7( ( ) (2 ) 1 1 ()1)x a a x a x a x+ = + + + + ++ + ，则 12aa++ 6a + =________．
16．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 acosC-ccosA= 3
5b ，则 tan(A-C)
8
3
( ) sin 2 3cos2f x x x=+
8
5
12
7
12
5
24
7
24
x y
20
6 0
2 3 0
xy
xy
xy
−
+ −
− −
23z x y=−
俯视图
主视图 左视图
4
2
2 2
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的最大值为________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：（共 60 分）
17．（本小题满分 12 分）
设等比数列{an}的公比为 q，Sn 是{an}的前 n 项和，已知 a1+2，2a2，a3+1 成等差数列，
且 S3=4a2-1，q>1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记数列{
n
n
a }的前 n 项和为 Tn，试问是否存在 n∈N*使得 Tn<3？如果存在，请求
出 n 的值；如果不存在，请说明理由．
18．（本小题满分 12 分）
某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试．已知队员的测试分数 y 与仰卧起坐个
数 之间的关系如下： ；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限
时 1 分钟，当一组测完，测试成绩达到 60 分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成
绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟
内限时测试的频率分布直方图如下：
（1）计算 值；
（2）以此样本的频率作为概率，求①在本次达标
测试中，“喵儿”得分等于80 的概率；
②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布
列及数学期望．
19．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 ADE-BCF 中，侧面 ABCD 是为菱形， E 在平面 ABCD 内的射影 O 恰
为线段 BD 的中点．
（1）求证：AC⊥CF；
（2）若∠BAD=60º，AE=AB，求二面角 E-BC-F 的平
面角的余弦值．
x
0,0 30
60,30 40
80,40 50
100, 50
x
xy x
x
=
a
A B
C D
E F
O
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20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 E：
22
221xy
ab+=(a>b>0)的离心率为 3
2
，A、B 分别为 E 的左顶点和上顶点，
若 AB 的中点的纵坐标为 1
2
．F1，F2 分别为 E 的左、右焦点．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设直线 L：
2
2
mx my=+与 E 交于 M，N 两点，△MF1F2，△NF1F2 的重心分别为
G，H．若原点 O 在以 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 2( ) (1 ) lnf x a x x= − + (a∈R)，且 ()fx在(0，+∞)上满足 ()fx≤0 恒成立．
（1）求实数 a 的值；
（2）令 ()() f x axg x x xa
+= −
在 ()a +， 上的最小值为 m ，求证： 11 ( ) 10fm− − ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第
一题记分。
22． [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，P(2，0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，已知曲线 C 的极坐标方程为 2 = ，点 Q(ρ，θ)(0≤θ≤ )为 C 上的动点，M 为 PQ 的
中点．
（1）请求出 M 点轨迹 C1 的直角坐标方程；
（2）设点 A 的极坐标为 A(1，π)，若直线 l 经过点 A 且与曲线 C1 交于点 E，F，弦 EF
的中点为 D，求 AD
AE AF
的取值范围．
23． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知 a>0，b>0．
（1）若关于 x 的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对任意实数 x 都成立，求实数 a 的最小值；
（2）求证： ab
ba
+ ≥ ab+
