2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末教学质量监测文科数学试题 Word版

2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末教学质量监测文科数学试题 Word版

‎2018学年第一学期期末教学质量检测高二数学（文科）‎ 本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，写在本试卷上无效. ‎ ‎3．考试结束后，将答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎2．命题“如果，那么”的逆否命题是 A. 如果，那么 ‎ B. 如果，那么 C. 如果，那么 ‎ D. 如果，那么 ‎3．根据给出的程序框图（如右图），计算 A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎4．某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为，其中青年男教师24人. 现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，则被选出的青年女教师的人数为 A．12 B．6 C．4 D．3‎ ‎（第3题图）‎ ‎5．为了测试班级教学的实践效果，王老师对、两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测 试中，、两班学生的平均成绩分别为，，、两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知 A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎6．设是椭圆的一个焦点，是经过另一个焦点 ‎ ‎（第5题图）‎ 的弦，则的周长是 A． B． C． D．‎ ‎7．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先 ‎ ‎ 后抛掷2次，则出现向上的点数之和等于的概率为 A． B． C． D．‎ ‎8．港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路， ‎ ‎ 大桥通行限速100 km/h. 现对大桥某路段上汽车 ‎ 行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图 ‎ （如右图）.根据直方图估计在此路段上汽车 ‎ 行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的概率 ‎ 分别为 A. ， B. ，‎ ‎（第8题图）‎ C. ， D. ，‎ ‎9．函数y =的图象如图所示，下列数值排序正 ‎ 确的是 ‎（第9题图）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎10．函数在上是增函数，‎ 则实数的取值范围是 A． B. ‎ C. D. ‎ ‎11．设命题函数在上单调递增，命题在△中，是的充要条件．则下列命题为真命题的是 A． B． C． D．‎ ‎（第14题图）‎ ‎12．、为双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，，则的离心率为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知命题“”，则________________．‎ ‎14．执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是________．‎ ‎15．已知，点的坐标为，当 时，则x, y满足的概率为___．‎ ‎16．抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标 原点．△的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的半径为________．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）‎ ‎ 已知抛物线经过点．‎ ‎ （1）求的标准方程和焦点坐标；‎ ‎ （2）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段 的长．‎ ‎18．（12分）‎ ‎ 某电视台为宣传本市，随机对本市内岁的人群抽取了人，回答问题“本市内著名旅游景点有哪些” ，统计结果如图表所示.‎ 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 a ‎0.5‎ ‎[15,25)‎ 第2组 ‎[25,35)‎ ‎18‎ x 第3组 ‎[35,45)‎ b ‎0.9‎ 第4组 ‎[45,55)‎ ‎9‎ ‎0.36‎ 第5组 ‎[55,65]‎ ‎3‎ y ‎（1）分别求出的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数；‎ ‎（3）若第1组回答正确的人员中，有2名女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中1名女性的概率.‎ ‎19．（12分）‎ ‎ 设函数在时取得极值．‎ ‎ （1）求实数的值；‎ ‎ （2）求函数在区间上的最值．‎ ‎20．（12分）‎ ‎ 下图是某公司2001年至2017年新产品研发费用（单位：万元）的折线图．为了预测该公司2019年的新产品研发费用，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2001年至2017年的数据（时间变量的值依次为1,2,…,17）建立模型①：；根据2011年至2017年的数据（时间变量的值依次为1,2,…,7）建立模型②：．‎ ‎（1）分别利用这两个模型，求该公司2019年的新产品研发费用的预测值；‎ ‎（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．‎ ‎21．（12分）‎ ‎ 已知椭圆的离心率为，且过点．直线与交于，两点，点是的左焦点．‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）若过点且不与轴重合，求面积的最大值．‎ ‎22．（12分）‎ ‎ 已知函数，.‎ ‎ （1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，证明：当时，．‎ ‎2018学年第一学期期末教学质量检测 高二数学（文科） 参考答案与评分标准 说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．‎ ‎ 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题.（每小题5分，共12小题，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A D B A C D C B C A 二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）‎ ‎ 13． 14． 15． 16． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：（1）由已知抛物线经过点，代入得 ‎ ‎ ……………………………2 分 所以 抛物线的标准方程为 …………………3 分 所以 抛物线的焦点为 …………………4 分 ‎（2）设，， ‎ 由已知得直线的方程为 …………………5 分 联立方程 消去得 …………………7 分 解得， …………………8 分 所以 （也可以由韦达定理直接得到） ………………………9 分 于是 …………………………………………10 分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：(1) 由频率表中第组数据可知,第组的人数为,‎ 再结合频率分布直方图可知, ………………1分 ‎, ………………2分 ‎, ………………3分 ‎ ………………4分 ‎(2) 设中位数为,由频率分布直方图可知,‎ 且有, ………………5分 解得 ………………6分 故估计这组数据的中位数为;估计这组数据的平均数为 ‎ ………………7分 ‎ ………………8分 ‎(3)由(1)知,则第一组中回答正确的人员中有3名男性,2名女性.男性分别记为,女性分别记为. ………………9分 先从5人中随机抽取2人,共有,‎ 共10个基本事件 . ………………10分 记“至少抽中一名女性”为事件,共有共7个事件. ………………11分 则. ………………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解：， ……………2 分 因为 在处取得极值，所以 ‎ 解得 ……………4 分 当 时，，令，得 或 当时，，在上单调递增，‎ 当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 所以 当时，在取得极大值. ……………5 分 ‎（2）由（1）可列表得 ‎↗‎ ‎1‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎……………7 分 由表可知，在上，当时函数取得极大值 ‎ 当时函数取得极小值 ……………9 分 又由于， ……………11 分 所以 函数在上的最大值是，最小值是. ……………12 分 ‎20.（本小题满分12分） ‎ ‎（1）利用模型①，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为 ‎（万元）. ……………3 分 利用模型②，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为 ‎（万元）. ……………6 分 ‎（2）利用模型②得到的预测值更可靠. ……………8 分 理由如下：‎ ‎（i）从折线图可以看出，2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型①‎ 不能很好地描述新产品研发费用的变化趋势.2011年相对2010年的新产品研发费用有明显增加，2011年至2017年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2011年开始新产品研发费用的变化规律呈线性增长趋势，利用2011年至2017年的数据建立的线性模型可以较好地描述2011年以后的新产品研发费用的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠. ……………12 分 ‎（ii）从计算结果看，相对于2017年的新产品研发费用135万元，由模型①得到的预测值万元明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠. ……………12 分 ‎（以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.）‎ ‎21.（本小题满分12分） ‎ 解：（1）依题意得，‎ 设，则，由 ……………1 分 得 ，此时椭圆方程为，将点代入得 ‎，解得 ，所以， ……………3 分 所以椭圆的方程为 . ……………4 分 ‎（2）依题意得 ‎ 解法1：设直线的方程为，联立椭圆方程得 ‎ ‎ 消去整理得 ……………6 分 因为在椭圆内部，所以 ‎ 设，，则 ， ……………7 分 ‎ ……………9 分 令，则，， ……………10 分 因为 当时，，当且仅当时“”号成立，‎ 所以，‎ 所以 的面积的最大值是. ……………12 分 解法2：当直线垂直于轴时，将代入椭圆方程得 ‎，解得 ，此时， ………5 分 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，联立椭圆方程得 ‎ 消去整理得 ………6 分 因为在椭圆内部，所以 ‎ 设，，则 ， ……………7 分 ‎ ‎ 点到的距离，‎ 所以 ‎ 因为 所以令，则， ……………9 分 令，则，， ……………10 分 因为 当时，，当且仅当时“”号成立，‎ 所以， ……………11 分 综上得 的面积的最大值是. ……………12 分 ‎22.（本小题满分12分）‎ 解：（1） ……………1 分 当时，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 所以 在上单调递减，在上单调递增. ……………2 分 当时，令得 （*）‎ 因为 所以方程（*）有两根，由求根公式得 ‎， ……………3 分 当时，，‎ ‎ 当或时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ ‎ 所以在和上单调递减，在上单调递增.………4 分 当时，，‎ ‎ 当或时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ ‎ 所以在和上单调递增，在上单调递减.………5 分 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，在和上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，在和上单调递增，在上单调递减.……6 分 ‎（2）当时，，由题意知，要证在上恒成立，‎ 即证明，在上恒成立. ……7 分 设，则， ……8 分 因为，所以，（当且仅当时等号成立），‎ 即， ……10 分 所以在上单调递增，，‎ 所以在上恒成立. ……12 分