2017-2018学年河南省南阳市第一中学高二上学期第一次月考数学试题-解析版

2017-2018学年河南省南阳市第一中学高二上学期第一次月考数学试题-解析版

河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试题 一、选择题 ‎1．等差数列{an}中，，a2 +a5+a8 =33，则a6的值为（ ）‎ A. 10 B. 9 C. 8 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】等差数列中，‎ 故答案选 ‎2．若{an}是等比数列，已知a4 a7=－512，a2+a9=254，且公比为整数，则数列的a12是 （ ）‎ A. －2048 B. 1024 C. 512 D. －512‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等比数列性质可得，‎ 且公比为整数，联立解得 又 故答案选 ‎3．在中， ，则等于（ ）‎ A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在中，由正弦定理得，所以 ‎，因为，所以，又，所以或。选B。‎ ‎4．数列1，，，……，的前n项和为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 数列，‎ 的前项和 点睛：在数列求和的过程中先找出通项，本题中的通项需要先进行化简，然后裂项形如：，然后运用裂项求和的方法求出结果。当遇到通项含有分式的时候，可以思考是否能用裂项的方法解答。‎ ‎5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】成等差数列，‎ ‎,平方得,‎ 又的面积为，且 故由,‎ 得 由余弦定理 解得 又为边长，‎ 故答案选 点睛：根据等差中项的性质可得运用平方求得边长的数量关系，再根据面积公式求出的值，代入余弦定理求得结果 ‎6．已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( )‎ A. 15 B. 17 C. 19 D. 21‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： ，所以前8项的和为 考点：等比数列性质 ‎7．在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为( )‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： ‎ ‎,故选B.‎ 考点：解三角形.‎ ‎8．设是等差数列， 是其前n项和，且， ，则下列结论错误的是( )‎ A. B. C. D. 和均为的最大值 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由得，又，所以，故B正确；同理由得，因为，故A正确；而C选项即，可得,由结论，显然C错误；因为与均为的最大值，故D正确，故选C.‎ 考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和.‎ ‎9．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴，‎ 由正弦定理得，‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴，∴，故。‎ ‎∴或，‎ ‎∴或。‎ ‎∴△ABC为等腰或直角三角形。选B 点睛：判断三角形形状的途径：（1）化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；（2）化角为边，通过代数变换找出边之间的关系。在以上两种方法中，正（余）弦定理是转化的桥梁，无论使用哪种方法，都不要随意约掉等式两边的公因式，否则会有漏解的可能。‎ ‎10．如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是（　 　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当即,即时，三角形无解；‎ 当即，即时，三角形有 解；‎ 当即,即时，三角形有个解；‎ 当即时，三角形有个解；‎ 综上所述，当或时，三角形恰有个解。‎ 故答案选 ‎11．已知两座灯塔A、B与C的距离都是 ，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°， 则灯塔A与灯塔B的距离为 （　 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】.‎ 试题分析：作出图如图，由题知∠ACB=120，AC=BC= ，由余弦定理得AB=== .‎ 考点：方位角；余弦定理 ‎12．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项的值是 （　 　）‎ A. 42 B. 45 C. 48 D. 51‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：先寻找规律，将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第段个数，设，则在第个数段，由于第个数段共有个数，可先求出前组中的所有的项的个数，可求 将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第段个数，‎ 设，则在第个数段，由于第个数段共有个数，‎ 则由题意应满足，‎ 解得．‎ 答案：B．‎ 考点：等差数列求和的应用．‎ ‎13．已知数列{an}的前n项和Sn=3n﹣2，求{an}的通项公式_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，=1，当时 验证当时，不符合，故舍去，所以 二、填空题 ‎14．在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则角 B的值为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：由余弦定理可知 ‎15．某企业在2016年初贷款M万元，年利率为m，从该年的年末开始计算，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值是____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，某企业在年初贷款万元，年利率为,到第十年年末，本金加利息共计：，企业每年末还款万元，十年共还现金(包括生息)‎ 由两式相等得：‎ 所以的值是 ‎16．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a2+c2=2b2，，且A为钝角，则角A的值是______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设及正弦定理有：‎ 故,因为为钝角，‎ 由，可得,得,‎ 故角 点睛：运用正弦定理进行边角互化，再运用诱导公式进行化简，求得结果，遇到条件中的边的关系利用正弦定理可以转化为角的关系。‎ 三、解答题 ‎17．在数列中， ‎ ‎（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由,知数列是首项公比为的等比数列，由此能求出的通项公式。‎ 由的通项公式为，知,从而得到数列的前项。‎ 证明：（1）‎ ‎ 是以4为首项，2为公比的等比数列。‎ ‎ （2）由（1）得 ‎ ‎ ‎18．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin B＝b．‎ ‎（1）求角A的大小； （2）若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确，得到的形式，（2）求解较复杂三角函数的最值时，首先化成 形式，在求最大值或最小值，寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；（3）要注意符号，有时正负都行，有时需要舍去一个；（4）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.‎ 试题解析：解：（1）由已知得到: ，且，且; 6分 ‎（2）由（1）知，由已知得到:‎ 所以12分 考点：（1）在三角形中，求角的大小；（2）求三角形的面积；‎ ‎19．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2， cosC=．‎ ‎（I） 求△ABC的周长； （II）求cos（A﹣C）的值．‎ ‎【答案】（1）5（2）‎ ‎【解析】试题分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；‎ ‎（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．‎ 解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，‎ ‎∴c=2，‎ ‎∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．‎ ‎（II）∵cosC=，∴sinC===．‎ ‎∴sinA===．‎ ‎∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，‎ ‎∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．‎ 考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．‎ ‎20．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。‎ ‎（1）求cos∠CB 的值；（2）求AE。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】略 ‎21．已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足，a2+a7=16‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）数列{an}和数列{bn}满足等式 （n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ 设等差数列的公差为，分别表示出联立方程求得和，进而根据等差数列通项公式求得 令，则有，两式相减求得等于常数，进而可得，进而根据，求得，则数列通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ 则依题意可知d＞0由a2+a7=16，‎ 得2a1+7d=16①‎ 由=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55②‎ 由①②联立方程求得 得d=2，a1=1或d=﹣2，a1=（排除）‎ ‎∴an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1‎ 令cn=，则有an=c1+c2+…+cn ‎ an+1=c1+c2+…+cn+1‎ 两式相减得 an+1﹣an=cn+1，由（1）得a1=1，an+1﹣an=2‎ ‎∴cn+1=2，即cn=2（n≥2），‎ 即当n≥2时，‎ bn=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2‎ ‎∴bn=‎ 于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6,‎ 点睛：在求通项时，可以采用的方法，需要注意计算完通项后一定要验证，这里的要看成和的形式，然后计算。‎ ‎22．已知数列前项和 ，数列为等比数列，首项，公比为 ‎ ，且满足成等差数列．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，记数列的前项和为，求．‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题解析：‎ 把当时，当时，代入,化简求出，由等差中项的性质求出公比,代入等比数列的通项公式求出。‎ 由和条件求出，利用错位相减法求出数列的前项和。‎ 解（Ⅰ）当n=1时，．‎ 当n≥2时，,‎ 验证时也成立．∴数列的通项公式为：，‎ ‎∵成等差数列，所以，‎ 即，‎ 因为∴‎ ‎∴数列的通项公式为：‎ ‎(Ⅱ）∵‎ ‎∴ ……①‎ ‎…………………②‎ 由①-②得：‎ ‎∴‎ 点睛：当遇到条件中的形式时，为等差数列的通项，为等比数列的通项时，的求和就要用错位相减法，等式两边同乘等比数列的公比，然后相减，最后再运用等比数列的求和进行运算。‎