2017-2018学年吉林省实验中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

2017-2018学年吉林省实验中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 吉林省实验中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，若，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据集合间的关系确定，进而可以求解．‎ 详解：因为，‎ 所以，‎ 解得．‎ 点睛：本题考查元素和集合间的关系、集合和集合间的关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．‎ ‎2．不等式的解集是，则不等式的解集是 A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】分析：先利用二次不等式的解集确定相应二次方程的根，再利用根与系数的关系求出值，再求出二次不等式的解集．‎ 详解：因为的解集是，‎ 所以的两根为，‎ 则，解得，‎ 则可化为，‎ 即，‎ 解得或，‎ 即该不等式的解集为.‎ 点睛：处理一元二次不等式问题时，往往利用“三个二次（一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式）”的关系进行求解，如本题中不等式的解集的端点值即为相应方程的根，也是相应函数的零点．‎ ‎3．设>l，则的大小关系是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：借助对数函数研究，函数在上是减函数，由于则 ‎，借助指数函数研究，函数在上是减函数，由于，‎ 则，借助幂函数研究，函数在上是增函数，由于，则 则 考点：1.幂函数的图象和性质；2.指数函数、对数函数的图象和性质；‎ ‎4．下列函数中，在内有零点且单调递增的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：因为符合（-1，1）内有零点且单调递增的是，选项A没有零点，错误，选项C中零点不在给定区间，选项D中，单调递减，只有C成立。‎ ‎5．在等差数列中，是方程的两根，则等于（ ）．‎ A． B． C．－ D．－‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为是方程的两根，根据韦达，又数列是等差数列，根据等差中项，所以．‎ 考点：等差中项 ‎6．在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其它7个小长方形的面积和的，且样本容量为200，则第8组的频数为 A. 40 B. 0.2 C. 50 D. 0.25‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为样本的频率分布直方图中，共有8个长方形，又最后一个小长方形的面积等于其它7个小长方形的面积和的，所以该长方形对应的频率为0.2。又因为样本容量为200，该组的频数为200×0.2=40。故选A。‎ 考点：频率分布直方图。‎ 点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键。‎ ‎7．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数和不小于10的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】先后抛掷2次共有 种基本事件，其中两个点数和不小于10的 有这6种基本事件，所以概率为，选D. ‎ ‎8．当满足时，则的最大值是 A. 1 B. 2 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：作出可行域和目标函数基准直线，通过平移直线找出最优解，再联立方程组求出最优解．‎ 详解：将化为，‎ 作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），‎ 当直线向右上方平移时，‎ 直线在轴上的截距增大，‎ 由图象得当直线过点时，‎ 取得最大值为．‎ 点睛：本题考查简单的线性规划等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用能力和基本计算能力．‎ ‎9．下面的程序框图给出了计算数列{}的前8项和S的算法，算法执行完毕后，输出的S为 A. 8 B. 63 C. 92 D. 129‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用程序框图一一列举即可．‎ 详解：由程序框图，得 ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 即输出的为92．‎ 点睛：本题考查程序框图等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．‎ ‎10．已知直线 ，圆，那么圆上到的距离为的点一共有（ ）个.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由圆，可得圆心，半径，‎ ‎ 又圆心到直线的距离，‎ ‎ 如图所示，由图象可知，点到直线的距离都为，‎ ‎ 所以圆上到的距离为的点一共个，故选C.‎ ‎11．已知平面向量、都是单位向量，若，则与的夹角等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用平面向量的数量积为0和夹角公式进行求解．‎ 详解：设与的夹角为，‎ 由题意，得，‎ 且，‎ 即，‎ 即，‎ 即，‎ 所以设与的夹角为．‎ 点睛：本题考查平面向量的数量积、平面向量垂直的判定条件等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x，有f（x）＞f'（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017ex＜0的解集是（　　）‎ A. （0，+∞） B. （-∞，0） C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设2017g（x）=，由f（x）＞f′（x），‎ 得：g′（x）=＜0，‎ 故函数g（x）在R递减，‎ 由f（x）+2017为奇函数，得f（0）=﹣2017，‎ ‎∴g（0）=﹣1，‎ ‎∵f（x）+2017ex＜0，∴＜﹣2017，即g（x）＜g（0），‎ 结合函数的单调性得：x＞0，‎ 故不等式f（x）+2017ex＜0的解集是（0，+∞）．‎ 故选B．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知直线与圆相切，则实数a的值为 ．‎ ‎【答案】-12或8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：圆的标准方程为,‎ 所以圆心坐标为，半径为2‎ 由直线与圆相切得 所以 得或 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.‎ ‎14．函数的最小值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】∵， ‎ ‎∴．‎ ‎∴ ，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎∴函数的最小值为4．‎ 答案：4‎ 点睛：利用基本不等式求最值的类型及方法 ‎(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．‎ ‎(2)‎ 若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．‎ ‎15．已知， ，则的值为_________________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：先利用同角三角函数基本关系式求出，再利用二倍角公式进行求解．‎ 详解：因为，且，‎ 所以，‎ 则 ‎．‎ 点睛：本题考查同角三角函数基本关系式、二倍角公式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．‎ ‎16．已知在公比的等比数列中，，，数列满足，则数列的前10项和___________________.‎ ‎【答案】55.‎ ‎【解析】分析：先利用等比数列的性质得到，再通过解方程组求得通项公式，取对数，利用等差数列的求和公式进行求解．‎ 详解：因为在等差数列中，，‎ ‎ 所以，解得或，‎ ‎ 又，所以，‎ 即，‎ 则．‎ 点睛：在处理等比数列的基本量的计算时，利用等比数列的以下性质可以减少计算量，提高解题速度，如：‎ ‎①在等比数列中，若，则；‎ ‎②在等比数列中，成等比数列．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数 ‎（I）若函数在上不具有单调性，求实数的取值范围；‎ ‎（II）若 设，当时，试比较的大小．‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（I）找出二次函数的开口方向和对称轴，进而确定二次函数的单调性，再研究对称轴和所给区间的关系进行求解；（II）先利用得到值，再利用函数的单调性进行比较．‎ 详解：（I）∵抛物线开口向上，对称轴为，‎ ‎∴函数在单调递减，在单调递增， ‎ ‎∵函数在上不单调 ‎∴，得，∴实数的取值范围为 ‎ ‎（II） ∵，∴ ∴实数的值为. ‎ ‎∵，‎ ‎ ，‎ ‎∴当时，，， ‎ ‎∴.‎ 点睛：本题考查二次函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.‎ ‎18．已知函数的最小正周期为. ‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）在中，角A,B,C成等差数列，求此时的值域.‎ ‎【答案】(1)1.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（I）先利用二倍角公式和配角公式进行化简，再利用周期公式进行求解；（II）先利用等差中项和三角形的内角和定理求出，进而确定的范围，再利用三角函数的单调性进行求解．‎ 详解：（I）, ‎ 因为函数的周期为，所以.‎ 角A,B,C成等差数列，‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以值域为.‎ 点睛：求三角函数的最值或值域主要有以下题型：‎ ‎①求在上的值域，其值域为；‎ ‎②求在上的值域，其方法是由得到的范围，进而利用三角函数的图象得到的范围，再进行求解；‎ ‎③求的值域，即转化为关于的一元二次函数，利用三角函数的有界性和一元二次函数的单调性进行求解．‎ ‎19．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：MN//平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为，求四棱锥P-ABCD的体积V．‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（I）利用三角形的中位线得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（II）利用四棱锥的体积公式进行求解．‎ 详解：（Ⅰ）证明：因为M、N分别是棱PB、PC中点，所以MN//BC，‎ 又 ABCD是正方形，所以AD// BC，于是MN//AD． ‎ ‎ ‎ ‎（II）由，知PA与平面ABCD所成的角为，‎ ‎∴ ‎ 在中，，得,‎ 故四棱锥P-ABCD的体积． ‎ 点睛：本题考查线面平行的判定定理、四棱锥的体积等知识，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力．‎ ‎20．已知函数与轴交于两点，与轴交于点，圆心为的圆恰好经过三点.‎ ‎（I）求圆的方程；‎ ‎（II）若圆与直线交于两点，且线段，求的值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意与坐标轴交点为，由此能求出圆的方程；（2）由题意,设圆心到直线距离为，则，由此能求出结果.‎ 试题解析：（1）由题意与坐标轴交点为,‎ 设圆的方程为：, 代入点，得圆的方程为：.‎ ‎（2）由题意,设圆心到直线距离为，则,‎ 即：得：.‎ 考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（I）设 是的极值点．求实数的值，并求函数的单调区间；‎ ‎（II）证明：当 时，.‎ ‎【答案】(1) f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（I）求导，利用求出值，再利用导数的符号变化确定函数的单调区间；（II）先利用进行放缩，再构造函数、求导，利用导数确定新构造函数的最值即可．‎ 详解：（I）f（x）的定义域为 ，f ′（x）=．‎ 由题设知，f ′（2）=0，所以．‎ 从而 ， ．‎ 当02时，f ′（x）>0．‎ 所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．‎ ‎（II）当时， ．‎ 设，则 当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．‎ 故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．‎ 因此，当 时，.‎ 点睛：（1）已知函数在处取得极值求参数时，不仅考虑，还要注意验证导函数在两侧的符号变化；‎ ‎（2）在处理不等式恒成立或证明不等式成立时，往往将问题转化为求函数的最值问题．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知在极坐标系和直角坐标系中，极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，直线：（为参数），圆：.‎ ‎（Ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知是直线上一点，是圆上一点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）,（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据加减消元得直线的普通方程，根据，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据直线与圆位置关系得的最小值为圆心到直线距离减去半径，根据点到直线距离公式计算可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）消去直线参数方程中的得，， ‎ 由得，，将，代入得圆的直角坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆的圆心（−1，0），半径为1，‎ ‎∴表示圆上点与直线上点的距离， ‎ ‎∵圆心到直线的距离为=，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（I）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（II）在（I）的条件下，若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)3.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用不等式 的解集为 ，去掉绝对值符号，然后求实数的值； （2）在（1）的条件下，若不等式 对一切实数 恒成立，转化为分段函数，求其最小值，然后求实数 的取值范围.‎ 试题解析：（1）由得，解得，又不等式的解集为，所以，解得； ‎ ‎（2）当时，， 设，‎ 则，‎ 所以的最小值为， ‎ 故当不等式对一切实数恒成立时实数的取值范围是.‎