广东省珠海市2018-2019学年高二下学期期末学业质量监测数学（文）试题

广东省珠海市2018-2019学年高二下学期期末学业质量监测数学（文）试题

珠海市2018～2019学年高二下学期期末学业质量监测 数学文试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.‎ ‎1.已知复数，则为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用复数的除法运算法则，分子分母同时乘上分母的共轭复数，再进行计算即可求解出结果。‎ ‎【详解】，故答案选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的除法运算必须熟练掌握分母实数化。‎ ‎2.方程表示的图形是(　　)‎ A. 圆 B. 直线 C. 椭圆 D. 射线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将极坐标方程化为，再将代入可得直角坐标方程，最后可判断图形的形状．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ 将代入上式可得，‎ 即，‎ 故曲线表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查极坐标和直角坐标间的转化，考查转化能力，记准转化公式是解题的关键．‎ ‎3.个连续自然数按规律排成下图所示，根据规律，从2019到2021，箭头的方向依次为（）‎ A. ↓→ B. →↑ C. ↑→ D. →↓‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，观察上图，归纳总结出数字与箭头之间周期性的规律，利用规律推出从2019到2021的箭头方向，即可得出答案。‎ ‎【详解】观察上图，从 1到 4，箭头的方向为；从从 5到 8，箭头的方向为，以此类推，可得，从1开始，每隔四个数箭头就会有一个循环，可推得，从2017到2021，箭头的方向也为，所以从2019到2021，箭头的方向依次为→↓。故答案选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查了归纳推理的相关知识，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。‎ ‎4.如图是高中数学旧教材中极限内容一章节的知识结构图：那么在此章节中，极限主要是由___________块内容构成.（）‎ A. 8 B. 7 C. 5 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用结构框图的知识，找到相对应的从属关系，即可得出答案。‎ ‎【详解】由题意可知，极限是由数列极限和函数极限两块内容构成的，故答案选D。‎ ‎【点睛】本题考查的是结构框图中的从属关系，解答本题的关键是明确在从属关系中，下层概念形成了上层概念的组成部分。‎ ‎5.有以下几组的统计数据：，，，，，要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，在坐标系中画出五个点，其中有四个点都在一条直线附近，余下的某个点偏离这条直线程度较高，所以应去掉。‎ ‎【详解】，，，，在坐标系中画出散点图，结果除去之外，‎ 其余的点都在一条线附近 去掉这个点之后剩下数据更具有相关关系，故答案选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据散点图判断几个变量是否具有线性相关关系。‎ ‎6.点关于直线(ρ∈R)的对称点的极坐标为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将点M的极坐标化成直角坐标，再求出该点关于直线y=x的对称点，再把对称点的坐标化成极坐标.‎ ‎【详解】点M的直角坐标为＝，直线θ＝ (ρ∈R)，即直线y＝x，点关于直线y＝x的对称点为，再化为极坐标为.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查点线点对称问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2) 求点的极坐标一般用公式,求极角时要先定位后定量.把极坐标化成直角坐标，一般利用公式求解.‎ ‎7.下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是（）‎ A. 回归分析和独立性检验没有什么区别；‎ B. 回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；‎ C. 独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系．‎ D. 回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，利用回归分析和独立性检验的定义，排除错误选项，即可求解出答案。‎ ‎【详解】回归分析是指将具有相关关系的两个变量之间的数量关系进行测定，通过建立数学表达式进行统计估计和预测的统计研究方法。独立性检验是对两个变量之间是否具有某种关系的分析，并且可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系，但不能 肯定这种关系。根据以上定义，可知A、B、C均错误，故答案选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查了回归分析与独立性检验的定义的区别。‎ ‎8.若直线：(为参数)经过坐标原点，则直线的斜率是 A. B. ‎ C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由参数方程消去参数，再由直线过原点，即可得出结果.‎ 详解】直线方程消去参数,得：，经过原点，‎ 代入直线方程，解得：，所以，直线方程为：，斜率为2.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查直线的参数方程，熟记参数方程与普通方程的互化即可，属于基础题型.‎ ‎9.若曲线在点的切线为，则有（）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，将点代入函数解析式得到的关系式，再根据曲线在点的切线斜率等于该点的导数，建立的关系式，联立即可求出的值。‎ ‎【详解】由题意曲线在点的切线为可知，‎ ‎ ①‎ 又 ‎ ② ‎ 联立①②，求得 ，。故答案选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义逆用，根据在函数图像某点的切线求函数的参数。‎ ‎10.若直线：与曲线：（为参数）有唯一的公共点，则实数等于（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，将曲线的参数方程消去，得到曲线的普通方程，可知曲线为圆，又知圆与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得。‎ ‎【详解】曲线：，消去，得 曲线： ‎ 又知圆与直线相切。可得，‎ 解得，给故答案选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的转化以及圆与直线的关系的几何关系表达。‎ ‎11.对于任意的两个实数对和,规定当且仅当,；运算“”为：，‎ 运算“”为：，‎ 设，若则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查的简单的合情推理，是一个新运算，我们只要根据运算的定义：（a，b）⊗（c，d）＝（ac﹣bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d），结合（1，2）⊗（p，q）＝（5，0）就不难列出一个方程组，解方程组易求出p，q的值，代入运算公式即可求出答案．‎ ‎【详解】解：由（1，2）⊗（p，q）＝（5，0）得 ‎，‎ 所以（1，2）⊕（p，q）＝（1，2）⊕（1，﹣2）＝（2，0），‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．‎ ‎12.若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得f′（x）＞0在x∈上成立，即a在x∈上成立，令g（x），求其最小值即可得出结论．‎ ‎【详解】解：f′（x）ax+，‎ ‎∴f′（x）＞0在x∈上成立，‎ 即ax+0，在x∈上成立，‎ 即a在x∈上成立．‎ 令g（x），则g′（x），‎ ‎∴g（x），在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，‎ ‎∴g（x）的最小值为g（e）=‎ ‎∴a＞．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查学生利用导数研究函数的单调性知识及转化划归思想的运用能力，属中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将正确的答案写在答题卡上 ‎13.已知复数满足，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，，根据，即可求得。‎ ‎【详解】‎ 又 ‎，故答案为。‎ ‎【点睛】本题主要考查了的性质与应用。‎ ‎14.与的数据关系为下表：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ 为了对，两个变量进行统计分析，现根据两种线性模型：甲：，乙：，分别计算出甲模型的相关指数为，乙模型的相关指数为，则________（填“甲”或“乙”）模型拟合的效果更好．‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用相关指数的值越大，说明模型拟合的效果越好，比较甲乙模型的拟合效果，即可求出答案。‎ ‎【详解】由题意得，，所以甲模型拟合的效果更好。‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用相关指数的值判断模型的拟合效果。‎ ‎15.已知扇形的弧长为,半径为，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形的面积公式为_________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用类比推理和三角形的面积公式得解.‎ ‎【详解】三角形的面积公式S＝,类比得扇形的面积公式为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16.在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：‎ ‎（1）从独立性分析可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使得推断错误．‎ ‎（2）从独立性分析可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有的可能患有肺病；‎ ‎（3）若，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；‎ 其中说法正确的是________．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用独立性检验的定义与基本思想，对题目中的命题进行逐个分析、判断，即可求解出答案。‎ ‎【详解】根据独立性检验的基本思想，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系的意思为有的把握认为这个推理是正确的，所以（1）正确。从独立性分析可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系的意思为有的把握认为这个推理是正确的，而不是说某个人吸烟就有的可能患有肺病，所以（2）错误。同（2）中的推论，所以也不能在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故（3）错误。故答案为（1）。‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立性检验的基本思想，是检验两个事件相关程度的量，是相关关系，是反映有关和无关的概率。‎ ‎17.在极坐标系中，若点，则的面积为___________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析：由极径极角的定义得三角形的两边和夹角，即可得面积.‎ 详解：在极坐标系下,点，O是极点，‎ ‎∴，‎ 则△AOB的面积等于，‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题主要考查了极坐标的几何意义，属于基础题.‎ ‎18.若曲线：（为参数）关于直线：（为参数）对称，此时原点到曲线上点的距离的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，将曲线、直线的参数方程化为普通方程，再利用曲线的圆心在直线上，求得的值，再根据原点到曲线上点的距离的最大值为原点到曲线的圆心的距离加上半径，即可求解出答案。‎ ‎【详解】由题意知，曲线：（参数），直线：，可得 曲线：，直线：。‎ 又曲线圆心在直线上 ‎，解得。‎ 圆心C坐标为。‎ 原点到曲线上点的距离的最大值为。‎ 故答案为。‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程转化为坐标方程的方法以及与圆有关的距离最值问题。‎ ‎19.执行下面的程序框图，若输入的，，分别为1，2，3，则输出的_____‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，从开始，判断框条件成立，执行第一次循环，得到一组新的的值，再从开始，判断框条件成立，执行第一次循环，得到一组新的的值，当时，判断条件框不成立，输出此时的值，即可得出答案。‎ ‎【详解】当时，执行程序框图得，；‎ 当时，执行程序框图得，；‎ 当时，不满足判断条件框，直接输出 。故答案为。‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据程序框图写出执行结果的问题，对于这类题目，首先要弄清框图的结构和执行过程，本题为循环结构的程序框图。‎ ‎20.函数在处有极值10，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原题转化为导函数在1处有变号零点，对函数求导，，，联立可解参数，在进行检验即可.‎ ‎【详解】设函数在处有极值10，即导函数在1处有变号零点，对函数求导得到， ‎ 联立两式得到解得或3.检验当时，‎ ‎,1不是变号根，故 故答案为：-4.‎ ‎【点睛】这个题目考查了极值点的概念以及应用，函数的极值点首先是导函数的变号零点，在变号零点附近函数单调性相反.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎21.用分析法证明：当≥4时 ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：由题为含根式型不等式并要求运用分析法证明，则需欲证得的结论出发，寻找结论成立的充分条件，所谓（执果索因），步步推导直到发现一个显而已见的结论为止。‎ 试题解析： 当≥4时: 要证 只需证 需证 即证 只需证 即证,显然上式成立， 所以原不等式成立，即：‎ 考点：运用分析法证明不等式。‎ ‎22.工厂车间某部门有8个小组，在一次技能考试中成绩情况分析如下：‎ 小组 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 大于90分人数 ‎6‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎7‎ 不大于90分人数 ‎39‎ ‎39‎ ‎38‎ ‎42‎ ‎40‎ ‎42‎ ‎42‎ ‎38‎ ‎（1）求90分以上人数对小组序号的线性回归方程；‎ 附：回归方程为，其中，．本题，.‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为7组与8组的成绩是否优秀（大于90分）与小组有关系．附部分临界值表：‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎.‎ ‎【答案】（1）（2）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为7组与8组的成绩是否优秀（大于90分）与小组有关系.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目所给的求线性回归方程的公式，利用表中内容，求出相对应的，结合题目所给条件，代入公式，求出相对应的，即可求出线性回归方程。‎ 根据题意，列出列联表，利用独立性检验的公式，求出的值，根据临界表值，找出对应的概率值，从而得出结论。‎ ‎【详解】解：（1），，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以线性回归方程为.‎ ‎（2）由题意知，列联表如下：‎ 优秀 非优秀 合计 ‎7组 ‎3‎ ‎42‎ ‎45‎ ‎8组 ‎7‎ ‎38‎ ‎45‎ 合计 ‎10‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎，‎ 因为，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为7组与8组的成绩是否优秀（大于90分）与小组有关系.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用最小二乘法求线性回归方程的解以及独立性检验的基本思想的应用。‎ ‎23.已知曲线的参数方程为（为参数），，为曲线上的一动点.‎ ‎（I）求动点对应的参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先判断出线段所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设，由题意得，然后根据点在曲线上求出后可得点的坐标．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设时对应的点为时对应的点为，由题意得轴，‎ 则线段扫过的面积. ‎ ‎（Ⅱ）设， ，‎ ‎∵为线段的中点，‎ ‎∴ ， ‎ ‎∵在曲线上，曲线直角坐标方程为， ‎ ‎∴ ，‎ 整理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎ ∴存在点满足题意，且点的坐标为．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题．‎ ‎24. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎（Ⅰ）求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．‎ 考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．‎ ‎25.已知函数，其导函数为．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，对函数进行求导，得出，再通过对进行分类讨论，得出导数的正负情况，对应得出区间上的单调性，即可求解出答案。‎ 根据题意，列出不等式，利用分离参数的方法，得出对任意实数 恒成立，将题目转化为求当时的最小值问题。令，，对进行求导研究其单调性求出最小值，即可得出答案。‎ ‎【详解】解：（1）依题意，，，‎ ‎①若，则，函数在上单调递增，‎ ‎②若，令，得.‎ 当时，，函数在上单调递减，‎ 当时，，函数在上单调递增，‎ 综上所述，‎ 当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）依题意，当时，恒成立，即 对任意实数恒成立.‎ 令，，则 ‎，‎ 由（1）可知，当时，在上单调递增，‎ 故，即，得.‎ 所以方程有唯一解，‎ 且当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 所以，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数导数的应用，利用导数求函数的单调性以及最值问题，常涉及到的方法有分类讨论法，以及分离参数法等。‎ ‎ ‎ ‎ ‎