2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（天津卷）

2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（天津卷）

绝密★启用前 ‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ ‎·如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．‎ ‎·棱柱的体积公式V=Sh. ·球的体积公式. ‎ 其中S表示棱柱的底面面积， 其中表示球的半径．‎ h表示棱柱的高．‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）设集合，则 ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 ‎（A） （B）1（C） （D）3‎ ‎（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为 ‎（A）0 （B）1（C）2（D）3‎ ‎（4）设，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎（5）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎（6）已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 ‎（A）， （B）， （C）， （D）‎ ‎，‎ ‎（8）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。‎ ‎2．本卷共12小题，共110分。‎ 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎（9）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 .‎ ‎（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .‎ ‎（11）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.‎ ‎（12）若，，则的最小值为___________.‎ ‎（13）在中，，，.若，，且，则的值为___________.‎ ‎（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 在中，内角所对的边分别为.已知，，.‎ ‎（Ⅰ）求和的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.‎ ‎（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.‎ ‎（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.‎ ‎（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ 设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，函数，求证：；‎ ‎（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.‎ 天津理数答案 ‎1-4BDCA  5-8BCAA ‎ ‎9.−2；‎ ‎10. ；‎ ‎11.2；‎ ‎12.4 ；‎ ‎13. ；‎ ‎14.1080 ‎ ‎15.（Ⅰ）解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.‎ 由正弦定理,得.‎ 所以，的值为，的值为.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，‎ ‎.故.‎ ‎16.（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 ‎.‎ 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ ‎（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.‎ 如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得 A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.‎ ‎（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，‎ 则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.‎ 因为平面BDE，所以MN//平面BDE.‎ ‎（Ⅱ）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN 的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.‎ 因此有，于是.‎ 所以，二面角C—EM—N的正弦值为.‎ ‎（Ⅲ）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.‎ 所以，线段AH的长为或.‎ ‎18.【解析】（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.‎ 由已知，得，而，所以.‎ 又因为，解得.所以，.‎ 由，可得 ①.‎ 由，可得 ②，‎ 联立①②，解得，，由此可得.‎ 所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.‎ ‎（II）解：设数列的前项和为，‎ 由，，有，‎ 故，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎ ‎ 得.‎ 所以，数列的前项和为.‎ ‎19.（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.‎ 所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.‎ 所以，直线的方程为，或.‎ ‎20.（Ⅰ）解：由，可得，‎ 进而可得.令，解得，或.‎ 当x变化时，的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.‎ ‎（Ⅱ）证明：由，得，‎ ‎.‎ 令函数，则.由（Ⅰ）知，当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此，当时，，可得.‎ 令函数，则.由（Ⅰ）知，在上单调递增，故当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此，当时，，可得.‎ 所以，.‎ ‎（III）证明：对于任意的正整数 ，，且，‎ 令，函数.‎ 由（II）知，当时，在区间内有零点；‎ 当时，在区间内有零点.‎ 所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.‎ 由（I）知在上单调递增，故，‎ 于是.‎ 因为当时，，故在上单调递增，‎ 所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.‎ 又因为，，均为整数，所以是正整数，‎ 从而.‎ 所以.所以，只要取，就有.‎