2018-2019学年黑龙江省齐市地区普高联谊高二上学期期末考试数学(理)试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省齐市地区普高联谊高二上学期期末考试数学(理)试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省齐市地区普高联谊高二上学期期末考试数学(理)试题 一、单选题 ‎1．若集合A＝{x|x2﹣5x≥0}，则∁RA＝（ ）‎ A．（0，5） B．（﹣∞，0]‎ C．[5，+∞） D．（﹣∞，0]∪[5，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】可以求出集合，然后进行补集的运算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 或，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法，补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎2．若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是（ ）‎ A．79 B．79.5 C．80 D．81.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】由给定的茎叶图得到原式数据，再根据中位数的定义，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据给定的茎叶图可知，原式数据为：，‎ 再根据中位数的定义，可得熟记的中位数为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了茎叶图的应用，以及中位数的概念与计算，其中真确读取茎叶图的数据，熟记中位数的求法是解答的关键，属于基础题.‎ ‎3．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，则“”是“点到轴的距离为2”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】根据抛物线的定义和标准方程，即可判定充分性和必要性都成立，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，抛物线可化为，则，即，‎ 设点的坐标为，‎ 因为，根据抛物线的定义可得，点到其准线的距离为，‎ 解得，即点到轴的距离为2，所以充分性是成立的；‎ 又由若点到轴的距离为2，即，则点到其准线的距离为，‎ 根据抛物线的定义，可得点到抛物线的焦点的距离为3，即，所以必要性是成立的，即“”是“点到轴的距离为2”的充要条件，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及充要条件的判定，其中解答中熟记抛物线的定义和标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4．有300人参加了一次会议，为了了解这300人参加会议的体会，将这300人随机编号为001，002，003，…，300，用系统抽样方法（等距离）抽出60人，若在编号为006，021，036，041，176，208，286的7个人中有1个没有抽到，则这个编号是（ ）‎ A．041 B．176 C．208 D．286‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出样本间隔，结合系统抽样的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：样本间隔为，‎ 由已知数据可知抽到的编号尾号为1，6，‎ 故208不满足条件，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样的应用，结合条件求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎5．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20，45]（岁）内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图如图，则在这200名市民中年龄在[40，45]（岁）内的人数为（ ）‎ A．15 B．20 C．25 D．30‎ ‎【答案】B ‎【解析】由频率分布直方图先求出年龄在，（岁内的频率，由此能求出在这200名市民中年龄在，（岁内的人数．‎ ‎【详解】‎ 解：由频率分布直方图得：‎ 年龄在，（岁内的频率为：，‎ 在这200名市民中年龄在，（岁内的人数为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎6．若等差数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝（2a﹣1）n2+2an，a6＝13，则{an}的公差d＝（ ）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用数列的通项公式和前项和公式的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：等差数列的前项和满足，‎ 所以当时，，‎ 当时，，‎ 所以．‎ 所以，解得．‎ 当时，，‎ 由于，解得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的通项公式和前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎7．一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：），则该几何体的体积和表面积分别为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合三视图，还原直观图，利用体积计算公式，即可。‎ ‎【详解】‎ 该几何体是一个半径为1的球体削去四分之一，体积为，表面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了三视图还原直观图问题，发挥空间想象能力，结合体积计算公式，即可。‎ ‎8．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据面积比的几何概型，即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，边长为2的正方形的孔的面积为，‎ 又由半径为2的圆形纸板的面积为，‎ 根据面积比的几何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算，以及正方形的面积和圆的面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9．若如图所示的程序框图的输出结果为二进制数化为十进制数(注：)，那么处理框①内可填入（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由二进制数化为十进制数，得出，得到运行程序框输出的结果，验证答案，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，二进制数化为十进制数，‎ 即运行程序框输出的结果为21，‎ 经验证可得，处理框内可填入，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二进制与十进制的转化，以及循环结构的程序框图的计算与输出，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10．曲线C1：y＝cosx，曲线C2：y＝sin2x，下列说法正确的是（ ）‎ A．将C1上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C2‎ B．将C1上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C2‎ C．将C1上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向右平移个单位，得到C2‎ D．将C1上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向右平移个单位，得到C2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：曲线，曲线，‎ 对于，将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得，再将所得曲线向左平移个单位，得到的函数解析式为，不符题意；‎ 对于，将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得 ‎，再将所得曲线向左平移个单位，得到的函数解析式为，不符题意；‎ 对于，将上所有点横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，得，再将所得曲线向右平移个单位，得到的函数解析式为，不符题意；‎ 对于，将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得，再将所得曲线向右平移个单位，得到的函数解析式为，符合题意；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎11．已知三棱锥P﹣ABC的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】从中任意取出的两条，基本事件总数，这两条棱长度相等包含的基本事件个数，由此能求出这两条棱长度相等的概率．‎ ‎【详解】‎ 解：三棱锥的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，‎ 从中任意取出的两条，基本事件总数，‎ 这两条棱长度相等包含的基本事件个数，‎ 这两条棱长度相等的概率．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎12．设双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1‎ 的直线与双曲线交于P，Q两点，且|QF1|﹣|PF1|＝3a，0，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】讨论，的位置，可得在左支上，在右支上，且，，设，由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，计算可得所求离心率．‎ ‎【详解】‎ 解：若，同在左支上，由，即，可得，不符合题意；‎ 故在左支上，在右支上，且，‎ ‎，设，可得，，，‎ 在直角三角形中，可得，解得，‎ 可得，，‎ 在直角三角形中，可得，‎ 即有，即有．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直角三角形的勾股定理，化简运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．命题“∃x0＞0，lnx0＞x0”的否定为_____．‎ ‎【答案】∀x＞0，lnx≤x ‎【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定为：，．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．‎ ‎14．已知实数x，y满足，则z＝4x﹣2y的最大值为_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域，设得，利用数形结合即可的得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：作出实数，满足对应的平面区域如图：‎ ‎，则，‎ 平移直线，由图象可知当直线经过点A时，‎ 直线的截距最小，‎ 由，可得 此时最大，．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是中档题．‎ ‎15．若椭圆：的焦距为，则椭圆的长轴长为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据椭圆的性质，列出方程求得的值，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，椭圆的焦距为，‎ 则，解得，所以，‎ 所以椭圆的长轴长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中熟记椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱底面，，，则异面直线与所成角的余弦值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以分别为轴，以过点平行与的直线为轴建立空间直角坐标系，求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，以分别为轴，以过点平行与的直线为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 所以，‎ 设与所成的角为，则，‎ 所以与所成的角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，把异面直线所成的角转化为两个向量所成的角，利用向量的夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角的对边分别为，且. ‎ ‎(1)求的大小；‎ ‎(2)若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sinB0求出，即可确定出A的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，再由b，sinA的值，利用三角形面积公式求出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理得，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎（2）∵，，，‎ ‎∴，解得或（舍），‎ ‎∴ .‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎18．已知函数的最小值为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）m＝﹣2 （2）（﹣∞，0）∪（，+∞）‎ ‎【解析】（1）根据二次函数的性质对进行讨论，即可求解最小值为，可得的值；‎ ‎（2）分离参数，结合基本不等式即可求解；‎ ‎【详解】‎ 解：（1）函数的最小值为．‎ 当时，在上单调递增，没有最小值；‎ 当时，可知时取得最小值；‎ 即，‎ 解得，‎ 故的值为．‎ ‎（2）由对一切实数都成立，即，‎ 可得，‎ ‎（当且仅当时取等号），‎ ‎，‎ 即．‎ 解得：或．‎ 故得实数的取值范围．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合函数的单调性和二次函数的最值问题，基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎19．商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A按以下单价进行试售，得到如下数据：‎ 单价x（元）‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ 销量y（件）‎ ‎60‎ ‎58‎ ‎55‎ ‎53‎ ‎49‎ ‎（1）求销量y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每件商品A的成本是10元，为了获得最大利润，商品A的单价应定为多少元？（结果保留整数）‎ ‎（附：，．（15×60+16×58+17×55+18×53+19×49＝4648，152+162+172+182+192＝1455）‎ ‎【答案】（1）； （2）24元 ‎【解析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；‎ ‎（2）写出获得利润的函数，再由二次函数求最值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴y关于x的线性回归方程为；‎ ‎（2）由题意，获得的利润．‎ 当时，取最大值．‎ ‎∴单价应定为24元，可获得最大利润．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的求法，训练了利用二次函数求最值，是中档题．‎ ‎20．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，且底面.‎ ‎(1)证明：平面平面；‎ ‎(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）先由底面，得到，再在平行四边形中，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.‎ ‎（2）由（1）知，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为底面，所以，‎ 因为平行四边形中，，所以，‎ 因为，所以平面，‎ 而平面，所以平面平面.‎ ‎（2）由（1）知，平面，‎ 所以即为二面角的平面角，即，‎ 分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 设，则,‎ 则,‎ 所以，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，令，得，‎ 所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎21．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和抛物线E：y2＝2px（p＞0），圆C与抛物线E的准线交于M、N两点，△MNF的面积为p，其中F是E的焦点．‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）不过原点O的动直线l交该抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点Q为圆C上任意一动点，求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）y2＝4x （2）y＝5x﹣20‎ ‎【解析】（1）求得圆的圆心和半径，抛物线的焦点和准线方程，由三角形的面积公式和圆的弦长公式，计算可得，可得抛物线的方程；‎ ‎（2）不过原点的动直线的方程设为，，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件，解方程可得，即有动直线恒过定点，结合图象可得直线时，到直线的距离最大，求得直线的斜率，可得所求方程．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）圆的圆心，半径为1，‎ 抛物线的准线方程为，，，‎ 由的面积为，可得，即，‎ 可得经过圆心，可得．则抛物线的方程为；‎ ‎（2）不过原点的动直线的方程设为，，‎ 联立抛物线方程，可得，‎ 设，，，，可得，，‎ 由可得，即，即，解得，‎ 则动直线的方程为，恒过定点，‎ 当直线时，到直线的距离最大，‎ 由，可得到直线的距离的最大值为，‎ 此时直线的斜率为，‎ 直线的斜率为5，可得直线的方程为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力和数形结合思想，属于中档题．‎ ‎22．已知椭圆：过点与点.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线过定点，且斜率为，若椭圆上存在，两点关于直线对称，为坐标原点，求的取值范围及面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】（1）把两点的坐标代入椭圆的方程，求得的值，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线AB的方程为，联立方程组，由，即，以及根与系数的关系，得到线段AB的中点坐标，代入直线方程方程，求得，再利用两点间距离公式和点到直线的距离公式，得到的表达式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，可得，解得，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意，设直线AB的方程为，‎ 由，整理得，‎ 所以，即，……….①‎ 且，‎ 所以线段AB的中点横坐标，纵坐标为，‎ 将代入直线方程，可得 ……… ②，‎ 由①②可得，又，所以，‎ 又，‎ 且原点O到直线AB的距离，‎ 所以 ‎，‎ 所以时，最大值，此时，‎ 所以时，最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎