浙江省杭州师范大学附属中学2020届高三下学期考前模拟数学试卷

浙江省杭州师范大学附属中学2020届高三下学期考前模拟数学试卷

杭师大附中2019学年高三年级考前模拟测试 本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．请考生用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．‎ 参考公式：‎ 柱体的体积公式： 其中s表示柱体的底面积，h表示柱体的高 椎体的体积公式： 其中s表示锥体的底面积，h表示锥体的高 台体的体积公式： 其中，分别表示台体的上、下底面积，‎ ‎ h表示锥体的高 球的表面公式： 球的体积公式：，其中R表示球的半径 选择题部分（共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知R为实数集，集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎3．已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）‎ A．-4 B．-2 C．0 D．2‎ ‎4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），该几何体的体积（单位：）（ ）‎ A．126 B．162 C．144 D．‎ ‎ ‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎5．若，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．函数的部分图像大致是（ ）‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ C D ‎7．已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时，（ ）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P A．增大，增大 B．减小，减小 C．增大，先增大后减小 D．增大，先减小后增大 ‎8．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（ ）‎ A．72种 B．144种 C．360种 D．720种 ‎9．如图，矩形ABCD中心为O，，现将沿着对角线AC翻折成，记，二面角的平面角为，直线DE和BC所成角为，则（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎10．设常数，无穷数列满足，，若存在常数M，使得对于任意，不等式恒成立，则的最大值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ 非选择题部分（共110分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．‎ ‎11．已知i是虚数单位，若，则复数z的虚部为__________，__________．‎ ‎12．直线过定点_________，若直线l与直线平行，则_________．‎ ‎13．在二项式的展开式中倒数第3项的系数为45，则__________；含有的项的系数为__________．‎ ‎14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，则角B的大小为__________；若，，则的面积__________．‎ ‎15．已知点，是椭圆两个不同的动点，且满足，则的值是__________．‎ ‎16．设，是函数的两个极值点，且，则实数b的取值范围为__________．‎ ‎17．是边长为6的正三角形，点C满足，且，，，则的取值范围是__________．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间．‎ ‎（Ⅱ）当时，的最大值为，求的对称中心．‎ ‎19．在正三棱台中，，BC的中点为E，．‎ ‎（Ⅰ）求证：面；‎ ‎（Ⅱ）求与面所成角的正弦值．‎ ‎20．已知数列是等差数列，，的前n项和为，满足，是数列的前n项和，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列前n项的和．‎ ‎21．已知抛物线的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交抛物线C于另一点B，交x轴正半轴于点D，且有．当点A的横坐标为3时，为正三角形．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线，且和C有且只有一个公共点E．‎ ‎（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当，若函数存在零点，求实数b的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求的最小值．‎ 杭师大附中2019学年高三年级考前模拟测试 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ D A A B A C C B D D 二、填空题 ‎11．-2； 12．；-1 13．10；210‎ ‎14．； 15．2‎ ‎16． 17．‎ 三、解答题 ‎18．（Ⅰ）得单调增区间，‎ 单调减区间．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎，‎ 得，，‎ 知，‎ 对称中心．‎ ‎19．（Ⅰ）取上的点G，‎ 使得，，FGBE是平等四边形，‎ ‎∴，‎ 面，面．‎ ‎（Ⅱ）取的中点O建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，‎ 设面的法向量为，‎ ‎，，‎ ‎；‎ 方法二：几何法转化为三棱锥．‎ ‎20．（Ⅰ），，‎ 得，‎ ‎，即，，‎ 又满足，即．‎ ‎，，‎ 又满足上式，即．‎ ‎（Ⅱ）当n为奇数时，‎ ‎，‎ 当n为偶数时，‎ ‎．‎ ‎21．解析：（Ⅰ）由题意知，‎ 设，则FD的中点为，‎ 因为，由抛物线的定义知：，‎ 解得或（舍去）．‎ 由，解得．‎ 所以抛物线C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，‎ 设，，‎ 因为，则，‎ 由得，‎ 故，故直线AB的斜率为，‎ 因为直线和直线AB平行，‎ 设直线的方程为，‎ 代入抛物线方程得，‎ 由题意，得．‎ 设，则，．‎ 当时，，‎ 可得直线AE的方程为，‎ 由，整理可得，‎ 直线AE恒过点．‎ 当时，直线AE的方程为，过点，‎ 所以直线AE过定点．‎ ‎（ii）由（i）知，直线AE过焦点，‎ 所以，‎ 设直线AE的方程为，‎ 因为点在直线AE上，故，‎ 设，直线AB的方程为，‎ 由于，可得，‎ 代入抛物线方程得，‎ 所以，‎ 可求得，，‎ 所以点B到直线AE的距离为 ‎．‎ 则的面积．‎ ‎22．【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意，得，．‎ 所以 ‎．‎ 设，‎ 由于在上单调递增，且，‎ 当时，，‎ 所以在上单调递减；‎ 当时，，‎ 所以在上单调递增．‎ 当时，．‎ 因为函数存在零点，且时，，‎ 所以，‎ 解得，即实数b的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）由题意，得 ‎，‎ 因为，令，‎ 得．‎ 设，‎ 由于在上单递增，‎ 当时，；时，，‎ 所以存在唯一，‎ 使得，即．‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，，所以在上单调递增．‎ 当时，‎ ‎．‎ 因为恒成立，‎ 所以，‎ 即．‎ ‎．‎ 设，，‎ 则 ‎，‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，，所以在上单调递增．‎ 当时，．‎ 所以当，‎ 即，时，‎ ‎．‎