数学理·天津一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（理科） Word版含解析

数学理·天津一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（理科） Word版含解析

‎2016-2017学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：‎ ‎1．设全集U=R，集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|y=log2（x2﹣1）}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．[1，2） B．（1，2） C．（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，2]‎ ‎2．在复平面上，复数对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．设函数（e为自然底数），则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．0＜x＜1 B．0＜x＜4 C．0＜x＜3 D．3＜x＜4‎ ‎4．下列命题中是假命题的是（　　）‎ A．∃m∈R，使是幂函数 B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ C．∀φ∈R，函数f（x）=sin（x+φ）都不是偶函数 D．∀a＞0，函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点 ‎5．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（　　）‎ A．3 B．8 C． D．‎ ‎6．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（　　）‎ A．（4，10] B．（2，+∞） C．（2，4] D．（4，+∞）‎ ‎7．函数 f（x）=（x2﹣2x）ex的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数f（x）=，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＜2 B．a＞2 C．﹣2＜a＜2 D．a＞2或a＜﹣2‎ ‎　‎ 二、填空题：‎ ‎9．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是　　．‎ ‎10．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为　　．‎ ‎11．在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则 =　　．‎ ‎12．如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是　　．‎ ‎13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为，，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：‎ ‎15．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．‎ ‎16．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．‎ ‎（Ⅰ） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；‎ ‎（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．‎ ‎17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．‎ ‎（1）求证：GH∥平面DEM；‎ ‎（2）求证：EM⊥CN；‎ ‎（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．‎ ‎18．已知首项为，公比不等于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3、S2、S4成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记bn=n|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．‎ ‎（ I）求椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．‎ ‎20．已知f（x）=xlnx+mx，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：‎ ‎1．设全集U=R，集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|y=log2（x2﹣1）}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．[1，2） B．（1，2） C．（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，2]‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】求解一元二次不等式化简A，求函数的定义域化简B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．‎ ‎【解答】解：∵A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，∴∁UA={x|0＜x＜2}，‎ 由x2﹣1＞0，得x＜﹣1或x＞1．‎ ‎∴B={x|y=log2（x2﹣1）}={x|x＜﹣1或x＞1}，‎ 则（∁UA）∩B={x|0＜x＜2}∩={x|x＜﹣1或x＞1}=（1，2）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．在复平面上，复数对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】求解得到对应点的坐标即可判断选项．‎ ‎【解答】解：复数=+．‎ 复数的对应点的坐标（，）在第一象限．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．设函数（e为自然底数），则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．0＜x＜1 B．0＜x＜4 C．0＜x＜3 D．3＜x＜4‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由f（x）＜1，可得x2﹣3x＜0，解得x范围，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：由f（x）＜1，可得x2﹣3x＜0，解得0＜x＜3，‎ 可得：0＜x＜1是使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．下列命题中是假命题的是（　　）‎ A．∃m∈R，使是幂函数 B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ C．∀φ∈R，函数f（x）=sin（x+φ）都不是偶函数 D．∀a＞0，函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A．根据幂函数的定义进行求解即可．‎ B．利用特殊值法进行判断．‎ C．利用特殊值法进行判断．‎ D．利用函数与方程的关系将函数进行转化，结合一元二次函数的性质进行判断．‎ ‎【解答】解：A．∵函数f（x）是幂函数，则m﹣1=1，则m=2，‎ 此时函数f（x）=x﹣1为幂函数，故A正确，‎ B．当α=，β=﹣时，cos（α+β）=cos（﹣）=cos=，‎ 而cosα+cosβ=cos+cos（﹣）=，即此时cos（α+β）=cosα+cosβ成立，故B正确，‎ C．当φ=，k∈Z时，f（x）=sin（x+φ）=cosx是偶函数，故C错误，‎ D．由f（x）=ln2x+lnx﹣a=0得ln2x+lnx=a，‎ 设y=ln2x+lnx，则y=（lnx+）2﹣≥﹣，‎ ‎∴当a＞0时，ln2x+lnx=a一定有解，即∀a＞0，函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点，故D正确 故选：C ‎　‎ ‎5．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（　　）‎ A．3 B．8 C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由题意作出其平面区域，m=表示了区域内的点到直线x﹣3y=0的距离；而m取得最大值时z也取得最大值；从而求解．‎ ‎【解答】解：由题意作出其平面区域，‎ m=表示了区域内的点到直线x﹣3y=0的距离；‎ 而m取得最大值时z也取得最大值；‎ 当取点A（﹣2，2）时，m取得最大值；‎ 故z=|x﹣3y|的最大值为|﹣2﹣3×2|=8；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（　　）‎ A．（4，10] B．（2，+∞） C．（2，4] D．（4，+∞）‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：设输入x=a，‎ 第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；‎ 第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；‎ 第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；‎ 故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，‎ 解得：a∈（4，10]，‎ 故选：A ‎　‎ ‎7．函数 f（x）=（x2﹣2x）ex的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．‎ ‎【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣2x=0，即x=0或x=2，‎ ‎∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．‎ ‎∴f'（x）=（x2﹣2）ex，‎ 由f'（x）=（x2﹣2）ex＞0，解得x＞或x＜﹣．‎ 由f'（x）=（x2﹣2）ex＜0，解得，﹣＜x＜‎ 即x=﹣是函数的一个极大值点，‎ ‎∴D不成立，排除D．‎ 故选：B ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）=，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＜2 B．a＞2 C．﹣2＜a＜2 D．a＞2或a＜﹣2‎ ‎【考点】特称命题．‎ ‎【分析】若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可 ‎【解答】解：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调 ‎①当a=0时，f（x）=，其图象如图所示，满足题意 ‎②当a＜0时，函数y=﹣x2+ax的对称轴x=＜0，其图象如图所示，满足题意 ‎③当a＞0时，函数y=﹣x2+ax的对称轴x=＞0，其图象如图所示，‎ 要使得f（x）在R上不单调 则只要二次函数的对称轴x=‎ ‎∴a＜2‎ 综上可得，a＜2‎ 故选A ‎　‎ 二、填空题：‎ ‎9．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是　2　．‎ ‎【考点】微积分基本定理．‎ ‎【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；‎ ‎【解答】解： =（x2+lnx） =a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1，‎ ‎∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，‎ 故答案为：2；‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为　（﹣2，1）　．‎ ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质．‎ ‎【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x），当x≥0 时，f（x）=x2+4x，由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数，‎ 当x＜0时，f（x）=4x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，‎ 该函数连续，则函数f（x） 是定义在R 上的增函数 ‎∵f（2﹣a2）＞f（a），‎ ‎∴2﹣a2＞a 解得﹣2＜a＜1‎ 实数a 的取值范围是（﹣2，1）‎ 故答案为：（﹣2，1）‎ ‎　‎ ‎11．在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则 =　﹣1　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质，得到AB与CD的长度，求出两个向量的夹角是120°，利用向量的数量积公式写出表示式，得到结果．‎ ‎【解答】解：：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，‎ ‎∴AB=2．‎ ‎∵D为斜边AB的中点，‎ ‎∴CD=AB=1，∠CDA=180°﹣30°﹣30°=120°．‎ ‎∴=2×1×cos120°=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎12．如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是　2　．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】连结AD，由PB为圆O的切线，得∠PBD=∠BCP=∠BAD，结合BD为∠PBC的平分线，可得∠PDB=2∠PBD=60°，在Rt△BPD中，由PD=1，得BD=2，由Rt△ABD与Rt△BPD的内角关系得AD的长度，即得圆O的半径．‎ ‎【解答】解：如右图所示，连结AD，∵PB为圆O的切线，∴∠PBD=∠BCD=∠BAD，‎ ‎∵BD为∠PBC的平分线，∴∠PBD=∠CBD，‎ ‎∴∠PDB=∠CBD+∠BCD=∠PBD+∠PBD=2∠PBD，‎ 又∵PC⊥PB，∴∠PBD=∠BCD=∠CBD=∠BAD=30°，∠PDB=60°．‎ 由PD=1，得BD=2PD=2．‎ 在△ABD中，∵AB⊥BD，∴AD是圆O的直径，且直径AD=2BD=4，‎ ‎∴圆O的半径为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为，，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为　　．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】先将曲线的极坐标方程方程化为普通方程，曲线C1的普通方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．表示以C（0，1）为圆心，半径为1 的圆．曲线C2的普通方程为x+y+1=0，表示一条直线．利用直线和圆的位置关系求解．‎ ‎【解答】解：曲线C1的极坐标方程分别为 即ρ=2sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2=2ρsinθ，‎ 化为普通方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．‎ 表示以C（0，1）为圆心，半径为1 的圆．‎ C2的极坐标方程分别为，‎ 即ρsinθ+ρcosθ+1=0，‎ 化为普通方程为x+y+1=0，表示一条直线．‎ 如图，圆心到直线距离d=|CQ|=‎ 曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为|PQ|=d+r=‎ 故答案为：，‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围　　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】函数f（x）=|xex|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．‎ ‎【解答】解：f（x）=|xex|=‎ 当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；‎ 当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），‎ 由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，‎ 当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，‎ 所以函数f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，‎ 要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，‎ 令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，‎ 再令g（m）=m2+tm+1，‎ 因为g（0）=1＞0，‎ 则只需g（）＜0，即，解得：t＜﹣．‎ 所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围 是．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题：‎ ‎15．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．‎ ‎【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x ‎=sin2x+cos2x ‎=sin（2x+），‎ ‎∴函数f（x）的最小正周期T==π．‎ ‎（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，‎ 又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，‎ ‎∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．‎ ‎　‎ ‎16．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．‎ ‎（Ⅰ） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；‎ ‎（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（I）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；‎ ‎（II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，‎ 观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，‎ ‎∴P（A）=，‎ ‎∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；‎ ‎（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．‎ 观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为，‎ 当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）2=，‎ 当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，‎ P（X=1）=（1﹣）2+（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）=，‎ 当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，‎ P（X=2）=•（1﹣）+（1﹣）•+（1﹣）=，‎ 当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，‎ P（X=3）=•（）2=，‎ X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．‎ ‎　‎ ‎17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．‎ ‎（1）求证：GH∥平面DEM；‎ ‎（2）求证：EM⊥CN；‎ ‎（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GH∥EN，于是GH∥平面DEM；‎ ‎（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH⊥平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EM⊥CN；‎ ‎（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos＜＞|，从而得出所求线面角的大小．‎ ‎【解答】证明：（1）连结NG，EN，‎ ‎∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD．‎ ‎∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD，‎ ‎∴NG∥EH，NG=EH，‎ ‎∴四边形ENGH是平行四边形，‎ ‎∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，‎ ‎∴GH∥平面DEM．‎ ‎（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形，‎ ‎∴MH⊥EF，‎ 取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，‎ ‎∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，‎ ‎∴DE⊥平面MEF，‎ ‎∴PH⊥平面MEF．‎ 以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）．‎ ‎∴=（，1，0），=（﹣，，1）．‎ ‎∴=+1×+0×1=0．‎ ‎∴．‎ ‎∴EM⊥NC．‎ ‎（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1），‎ ‎∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1），‎ 设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即．‎ 令y=1得=（，1，0），‎ ‎∴cos＜＞==．‎ ‎∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，‎ ‎∴直线GH与平面NFC所成角为．‎ ‎　‎ ‎18．已知首项为，公比不等于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3、S2、S4成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记bn=n|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）易知2S2=S3+S4，从而可得2a3+a4=0，从而可得{an}是以为首项，﹣2为公比的等比数列；从而求得；‎ ‎（2）化简bn=n|an|=n•2n﹣2，从而利用错位相减法求其和．‎ ‎【解答】解：（1）∵S3、S2、S4成等差数列，‎ ‎∴2S2=S3+S4，‎ ‎∴2a3+a4=0，‎ ‎∴=﹣2，又首项为，‎ 故{an}是以为首项，﹣2为公比的等比数列，‎ 故an=•（﹣2）n﹣1=﹣（﹣2）n﹣2；‎ ‎（2）bn=n|an|=n•2n﹣2，‎ Tn=1•+2•1+3•2+…+n•2n﹣2，‎ ‎2Tn=1•1+2•2+3•4+…+n•2n﹣1，‎ 故Tn=﹣﹣1﹣2﹣4﹣…﹣2n﹣2+n•2n﹣1‎ ‎=n•2n﹣1﹣=（n﹣1）2n﹣1+．‎ ‎　‎ ‎19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．‎ ‎（ I）求椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）分类讨论当斜率不存在时，设x=﹣r，代入椭圆方程求得A、B点坐标，以AB为直径的圆恒过原点，⊥，利用向量数量积的坐标，求得r2，求得丨AB丨；‎ 当斜率不存在时，设出直线方程，将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及向量垂直，求得圆的方程，进而表达出丨AB丨，综上即可求得丨AB丨的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，‎ ‎∵，‎ ‎∴a2=2c2，‎ ‎∴a2=2b2，‎ 设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，‎ 又∵弦长为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又a2=2b2，‎ 解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±‎ ‎∴A（r，），B（r，﹣），‎ ‎∵以AB为直径的圆恒过原点，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴r2﹣=0，‎ ‎∴r2=，‎ ‎∴圆O的方程为x2+y2=，‎ 此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），‎ ‎（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，‎ ‎∵l与圆O相切 ‎∴=r，即m2=（1+k2）r2，‎ 将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①‎ ‎△=8k2+4﹣m2＞0，②‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：‎ x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，‎ ‎∵以AB为直径的圆恒过原点，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴+=0，‎ ‎∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），‎ 又∵m2=（1+k2）r2，‎ ‎∴3（1+k2）r2=8（1+k2），‎ ‎∴r2=，‎ 此时m2=（1+k2），代入②式后成立，‎ ‎∴圆O的方程为x2+y2=，‎ 此时|AB|=•，‎ ‎=•，‎ ‎=••，‎ ‎=••，‎ ‎=•，‎ ‎=•，‎ ‎=•；‎ ‎（i）若k=0，则|AB|=，‎ ‎（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，‎ 综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．‎ ‎　‎ ‎20．已知f（x）=xlnx+mx，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），由f′（1）=1求得m值；‎ ‎（2）求出g（x），求其导函数，可得lnx1=ax1，lnx2=ax2，不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，转化为恒成立，进一步转化为恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，求导可得满足条件的λ的范围．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=1+lnx+m，‎ 由题意知，f′（1）=1，即：m+1=1，解得 m=0；‎ ‎（2）∵e1+λ＜x1•x2λ 等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．‎ g（x）=f（x）﹣x2﹣x+a=xlnx﹣x2﹣x+a，‎ 由题意可知x1，x2 分别是方程g′（x）=0，即：lnx﹣ax=0的两个根，‎ 即lnx1=ax1，lnx2=ax2．‎ ‎∴原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），‎ ‎∵λ＞0，0＜x1＜x2，∴原式等价于．‎ 又由lnx1=ax1，lnx2=ax2．‎ 作差得，，即．‎ ‎∴原式等价于，‎ ‎∵0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．‎ 令，t∈（0，1），‎ 则不等式在t∈（0，1）上恒成立．‎ 令，又h′（t）=，‎ 当λ2≥1时，可得t∈（0，1）时，h′（t）＞0，‎ ‎∴h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，‎ h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．‎ 当λ2＜1时，可得t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时，h′（t）＜0，‎ ‎∴h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，‎ ‎∴h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．‎ 综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ 恒成立，只须λ2≥1，‎ 又λ＞0，∴λ≥1．‎ ‎　‎ ‎2016年11月7日