数学卷·2017届河北省定州中学高三（承智班）下学期周练（4

数学卷·2017届河北省定州中学高三（承智班）下学期周练（4

河北定州中学2016-2017学年第二学期、‎ 高三数学周练试题（4.16）‎ 一、选择题 ‎1．已知函数的周期为,当时, 如果 ‎，则函数的所有零点之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．函数的定义域为，图象如图3所示：函数的定义域为，图象如图4所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则（ ）‎ ‎ ‎ A. 14 B. 12 C. 10 D. 8‎ ‎3．已知函数其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若有4个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若对于任意， 恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知函数的图象过点，令（‎ ‎），记数列的前项和为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于两点，且，其中为原点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎7．如图， 中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎8．已知，给出下列四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若 ‎ 硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两 ‎ 个人站起来的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）‎ A. 3 B. 1或3 C. 4或6 D. 3或4或6‎ ‎11．已知，若在区间上有且只有一个极值点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．对任意的，不等式恒成立，则正实数的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎13．已知各项都为整数的数列中， ，且对任意的，满足， ，则__________．‎ ‎14．已知函数在处取得极值，若，则的最小值是________________；‎ ‎15．如图，直角梯形中， ∥，‎ ‎.在等腰直角三角形中， ，‎ 点分别为线段上的动点，若，‎ 则的取值范围是 _____________. ‎ ‎ ‎ ‎16．设抛物线 （）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足.若，且三角形的面积为，则的值为___________.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17．已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）圆是以， 为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值.‎ ‎18．已知函数，其中 ‎（Ⅰ）若函数在处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若， 恒成立，求的取值范围.‎ ‎19．已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知、是椭圆上的两点， ， 是椭圆上位于直线两侧的动点.①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；‎ ‎②当， 运动时，满足,试问直线的斜率是否为定值，请说明理由 ‎ ‎ ‎20．已知椭圆： 的焦点在轴上，椭圆的左顶点为，斜率为的直线交椭圆于， 两点，点在椭圆上， ，直线交轴于点.‎ ‎（Ⅰ）当点为椭圆的上顶点， 的面积为时，求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）当， 时，求的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．A ‎【解析】由已知,在同一坐标系中分别画出函数的图象和 的图象,如下图所示,当 时, 为增函数,且 ,当 时, ,两个函数的图象没有交点,根据它们的图象都是关于直线 对称,结合图象知有8个交点,利用对称性,这8个交点的横坐标之和为,即所有零点之和为8.选A.‎ ‎ ‎ 点睛: 本题主要考查函数的零点,属于中档题. 求解本题,关键是研究出函数的性质,作出其图象,将函数的零点转化为求函数的图象和 的图象的交点,利用对称求出零点之和.本题考查了数形结合思想.‎ ‎2．A ‎【解析】由方程 可知 ，此时 有7个实根，即 ；‎ 由方程 可知 ，所以 ，故选A.‎ ‎3．D ‎【解析】由题意在上单调递增，要满足题意“对任意的且，均存在唯一实数，使得，且”，则在上递减，且，即，函数图象如图所示，显然方程最多有两解，方程有4个不等实根，则与都有两解，因此，即，解得．‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查函数的零点与方程根的关系，解题方法是把问题转化为函数图象的交点问题（最好是动直线与函数图象交点），解题时需研究函数的性质，如单调性、奇偶性、对称性，函数的极值，函数值的变化趋势，特殊点等，这样动直线与函数图象交点问题才能一目了然．‎ ‎4．B ‎【解析】因为是偶函数，所以不等式可化为，又在上单调递增，所以，而的最小值为1，所以， ，解得．‎ ‎5．B ‎【解析】由题意得 ，所以 ，从而 ，即，选B.‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，除本题中外，裂项相消法常用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.‎ ‎ 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎6．C ‎【解析】如下图：‎ ‎，‎ ‎, ,代入双曲线方程，可得，解得，选C.‎ 对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于或的等式，再进一步求出离心率。‎ ‎7．B ‎【解析】，因为三点共线，所以，因此，选B.‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎8．D ‎【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中,所以直线过点A时取最小值； 过点A时取最大值；斜率最大值为，到原点距离的平方的最小值为，因此选D.‎ ‎ ‎ 点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎9．B ‎【解析】一共有种基本事件，其中没有相邻的两个人站起来包括如下情况：没有人站起来，共1种基本事件；只有一个人站起来，有种基本事件；有两个人站起来，只有这五种基本事件，因此所求概率为,选B.‎ ‎10．B ‎【解析】由已知， ，令，解得或，则函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值，最小值.‎ 综上可考查方程的根的情况如下（附函数图）：‎ ‎（1）当或时，有唯一实根；‎ ‎（2）当时，有三个实根；‎ ‎（3）当或时，有两个实根；‎ ‎（4）当时，无实根.‎ 令，则由，得，‎ 当时，由，‎ 符号情况（1），此时原方程有1个根，‎ 由，而，符号情况（3），此时原方程有2个根，综上得共有3个根；‎ 当时，由，又，‎ 符号情况（1）或（2），此时原方程有1个或三个根，‎ 由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根，‎ 综上得共1个或3个根.‎ 综上所述， 的值为1或3.故选B.‎ ‎ ‎ 点睛：此题主要考查函数单调性、最值等性质在求方程根的个数的问题中的应用，以及导数、数形结合法在研究函数单调性、最值中的应用等有关方面的知识和技能，属于高档题型，也是高频考点.方程的实根分布情况，常常与参数的取值范围结合在一起，解答这类问题，有时需要借助于导数从研究函数的单调性入手，使问题获得比较圆满的解决.‎ ‎11．B ‎【解析】对函数求导可得，设, ，当时， 在 上恒成立，即函数在上为增函数，而， ，则函数在区间上有且只有一个零点，使，且在上， ，在上， ，故为函数在区间上唯一的极小值点；当时，因为，所以成立，则函数在区间上为增函数，又此时，所以在区间上恒成立，即，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值；当时， ，因为，所以总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值，综上所述，得.‎ 点晴:本题考查了函数与极值的综合应用.考查函数需先求一阶导数成立的，再判断零点两侧的导数值是否异号，如果零点左侧导数为正，右侧导数为负，那么是极大值点，如果零点左侧导数为负，右侧导数为正，那么是极小值点，或是求导数后将问题转化为定义域内存在的问题，而本题求一阶导数后函数非常复杂，需将导函数中影响正负的那部分函数拿出来，重新设一个新的函数，再求二阶导函数，求导后可判断函数的单调性和最值，从而判断是否存在零点.‎ ‎12．A ‎【解析】由的任意性，不妨取，则原不等式可化为，即，令，则，令，则，则该函数单调递增，所以在上只有一个零点，设该零点为，则，所以，即，所以，应选答案A。‎ 点睛：本题求解难度较大，解答时要充分利用题设中的有效信息，先将两个变量化为一个变量，再灵活运用导数这一重要工具，通过两次求导使得函数的变化情况较为明确，最后借助不等式恒成立，从而求得参数的取值范围，使得问题简捷、巧妙获解。‎ ‎13．‎ ‎【解析】由，得，两式相加得，又 ， ，所以，从而 ‎.‎ ‎14．‎ ‎【解析】 因为,由已知有,所以 ,所以,则,由于,当时, ,当时, ,所以当时, 有最小值,而对于,在上为增函数,所以当 时, 有最小值 ,故对于,当时,有最小值为.‎ ‎15．‎ ‎【解析】以直线为轴， 为轴建立平面直角坐标系，如图，则， ， ， ，‎ ‎ ‎ 设， ， ，‎ 则， ， ，由知，‎ 所以，易知，当且仅当时，取等号，又时， ， 时， ，所以．‎ 点睛：求平面图形中向量数量积一般有两种方法：‎ ‎（1）选取图中不共线的两个向量为基底，把其他向量用基底表示，最后把所求向量的数量积转化为基底的数量积；‎ ‎（2）在图形中确定两相互垂直的直线，以它们为轴建立平面直角坐标系，写出（或设出）各点坐标，把向量用坐标表示，这样向量的数量积可以用坐标运算，把形转化为数．‎ 本题利用第二种方法，可以很讯速地确定题中已知条件，并把待求式与已知建立关系，从而求得结论．在几何关系不容易确定时可以用这种方法，能减少思维量．‎ ‎16．‎ ‎【解析】设，因为直线过焦点，所以（不妨设在第一象限），又由，所以，即，所以， ‎ ‎， ，所以，解得．‎ 点睛：抛物线的焦点弦具有许多性质，记住这些性质可以快速准确的解决焦点弦问题．如是抛物线的焦点弦，设， 在准线上的射影分别为，‎ 则：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）若倾斜角为，则；‎ ‎（4）以为直径的圆与准线相切；‎ ‎（5）；‎ ‎（6）若是中点，则， ；‎ ‎（7）共线， 共线；‎ ‎（8）．‎ ‎17．（1）;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得，再将点代入椭圆方程得，（2）先由直线与圆相切可得,再由，得，利用直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可得，代入化简可得的值.‎ 试题解析：（1）由题意，椭圆的长轴长，得，‎ 因为点在椭圆上，∴，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）当直线与圆相切，得，即,‎ 设，‎ 由消去，整理得，‎ 由题意可知圆在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 又因为，所以，解得.‎ 点睛：研究直线与圆锥曲线位置关系的方法 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，利用根与系数关系、设而不求法简化运算.‎ ‎18．（1）；（2）当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点;（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，利用导数的几何意义可得切线的斜率，结合切线与直线垂直，可求得的值；（Ⅱ）根据，令．对与分类讨论可得：（1）当时，此时，即可得出函数的单调性与极值的情况；（2）当时， ，①当时， ，②当时， ，即可得出函数的单调性与极值的情况；（3）当时， ，即可得出函数的单调性与极值的情况；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：（1）当时，可得函数在上单调性，即可判断出；（2）当时，由，可得，函数在上单调性，即可判断出；（3）当时，设，研究其单调性，即可判断.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，由在处的切线与直线垂直，‎ 可知，所以；‎ ‎（Ⅱ）由题意知，函数的定义域为， ，‎ 令， .‎ ‎（i）当时， ，此时，函数在单调递增，无极值点；‎ ‎（ii）当时，方程的判别式.‎ ‎①当时， ， ， ，函数在单调递增，无极值点；‎ ‎②当时， ，设方程的两根为， ，因为，‎ 的对称轴方程为，所以， ，由 ‎，‎ 可得 .‎ 所以当时， ， ，函数单调递增；‎ 当时， ， ，函数单调递减；‎ 当时， ， ，函数单调递增.因此函数有两个极值点.‎ ‎（iii）当时， ，由，可得， ‎ 当时， ， ，函数单调递增；‎ 当时， ， ,函数单调递减，所以函数有一个极值点.‎ 综上所述，当时，函数有一个极值点；‎ 当时，函数无极值点；‎ 当时，函数有两个极值点.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，‎ ‎①当时，函数在单调递增，因为，所以时， ，符合题意；‎ ‎②当时， ，得，函数在上单调递增，又，所以时， ，符合题意；‎ ‎③当时，设，因为时，所以 ，所以在上单调递增，所以，即，可得 ，而当时， ，即此时，不符合题意.‎ 综上所述， 的取值范围是.‎ 点睛：本题考查了导数的集合意义、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题；涉及到切线的斜率即利用导数的几何意义函数在某点处的导数即在该点出切线的斜率，对于极值问题最后转化为含有参数的二次函数根的分布问题，主要是对二次项系数与进行分类讨论，函数的导数与不等式恒成立问题主要转化为利用导数判断函数的单调性求其最值问题.‎ ‎19．（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析: (1)由椭圆的离心率及短轴端点坐标求出 ,得到椭圆方程; (2)①设 设直线AB方程为 ，联立直线与椭圆方程,消去 ,得到一个关于 的二次方程,求出 ,再求出 ,代入三角形面积公式,求出最大值; ②由 得到直线斜率之和为0，设直线 斜率为 ,则直线斜率为,直线 方程为,代入椭圆方程中,求出 的表达式,同理求出的表达式,再求出 的值,代入直线的斜率计算公式中,结果为定值.‎ 试题解析:（1） ∴ ‎ ‎∴ 又 ‎ ‎∴ ∴ 椭圆方程为 ‎ ‎（2）①设 ， ‎ 设方程 代入化简 ‎ ‎， ‎ ‎ 又、 ‎ ‎ 当时， 最大为 ‎ ‎②当时， 、斜率之和为.‎ 设斜率为，则斜率为 ‎ 设方程 ‎ 代入化简 ‎ ‎ ‎ ‎ 同理 ‎ ‎， ‎ ‎∴‎ 直线的斜率为定值 点睛:本题主要考查了椭圆的标准方程及性质,直线与椭圆相交问题,一元二次方程根与系数关系,斜率的计算公式,考查了推理与计算能力, 属于难题.‎ ‎20．（Ⅰ） ； （Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由题意，求出斜率，由垂直得到的斜率，即得直线方程，从而得点坐标，因此可把面积用表示出来，从而求得离心率；‎ ‎（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立可求得点坐标，得 的长，把其中的用代替，可得的长，由得，最后利用可求得的范围．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）直线 的方程为 直线 的方程为，令， ‎ ‎ ‎ 于是 ， ‎ ‎（Ⅱ）直线的方程为，‎ 联立并整理得， ‎ 解得或， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为 ‎，整理得， ．‎ ‎ 因为椭圆的焦点在轴，所以，即， ‎ 整理得，解得．‎