专题09 三角恒等变换与解三角形（命题猜想）-2018年高考数学（文）命题猜想与仿真押题

专题09 三角恒等变换与解三角形（命题猜想）-2018年高考数学（文）命题猜想与仿真押题

‎【考向解读】 ‎ 正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，‎ ‎1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．‎ ‎2.预测高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视．‎ ‎3.边和角的计算；‎ ‎4.三角形形状的判断；‎ ‎5.面积的计算；‎ ‎6.有关的范围问题． ‎ ‎【命题热点突破一】三角恒等变换 例1、【2017山东，文7】函数 最小正周期为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以其周期,故选C ‎ ‎【变式探究】(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ ‎∴θ＝α－，‎ ‎∴tan＝tan＝－tan.‎ 如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sin α＝可得，‎ BC＝3，AB＝5，AC＝4，‎ ‎∴∠B＝－α，∴tan B＝，‎ ‎∴tan B＝－..‎ 答案：－ ‎(2)若tan α＞0，则(　　)‎ A．sin α＞0　　　　　　　B．cos α＞0‎ C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0‎ 答案：C ‎ 【感悟提升】 解决三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的．在三角函数问题中变换的基本方向有两个：一个是变换函数名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系等；变换角的形式可以使用两角和、差的三角函数公式、倍角公式，对角进行代数形式的变换等．‎ ‎【变式探究】 ‎ ‎ (1)已知sin＝，那么cos 2α＝________．‎ ‎(2)已知sin＋sin α＝－，则cos等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】（1）－　（2）A　‎ ‎【命题热点突破二】　正、余弦定理 例2、【2017课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.‎ ‎【答案】75°‎ ‎【解析】由题意： ，即 ，结合 可得 ，则.‎ ‎【变式探究】【2016高考山东文数】（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=2c;‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意知，‎ 化简得，‎ 即.‎ 因为,‎ 所以.‎ 从而.‎ 由正弦定理得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,‎ 所以 ，‎ 当且仅当时，等号成立. .‎ 故 的最小值为.‎ ‎【感悟提升】　关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小．解题时要注意利用三角形内角和定理，即A＋B＋C＝π.‎ ‎【答案】　π　‎ ‎【变式探究】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csin B＝bcos C＝3.‎ ‎(1)求b；‎ ‎(2)若△ABC的面积为，求c.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）由正弦定理得sin Csin B＝sin Bcos C，又sin B≠0，所以sin C＝cos C，所以C＝45°.‎ 因为bcos C＝3，所以b＝3 .‎ ‎（2）因为△ABC的面积S＝acsin B＝，且csin B＝3，所以a＝7.‎ 又c2＝a2＋b2－2abcos C＝25，所以c＝5.‎ ‎ 【感悟提升】 求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长．正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化．只要知道了三角形三边之间的比例关系即可利用余弦定理求出三角形的内角．‎ ‎【命题热点突破三】　正、余弦定理的实际应用 例3、【2017课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知，‎ a=2，c=，则C=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 ‎，‎ 即，所以．‎ 由正弦定理得，即，‎ 因为c0)．‎ 则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．‎ 代入+=中，有 ‎+=，变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．‎ 在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，‎ 所以sin Asin B=sin C．‎ ‎（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有 cos A==．‎ 所以sin A==．‎ 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，‎ 所以sin B=cos B+sin B，‎ 故tan B==4．‎ ‎2.【2016高考浙江文数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.‎ ‎（I）证明：A=2B；‎ ‎（II）若△ABC的面积，求角A的大小.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）或．‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）由得，故有，‎ 因为，所以．‎ 又，，所以．‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 综上，或．‎ ‎3.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=2c;‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ 故 的最小值为.‎ ‎1.【2015高考四川，理12】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】法一、.‎ 法二、.‎ 法三、.‎ ‎2.【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是 ‎ ‎，单调递减区间是 ．‎ ‎【答案】，，.‎ ‎ 3.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数，‎ ‎(I)求最小正周期；‎ ‎(II)求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(I); (II) ,.‎ ‎【解析】(I) 由已知，有 ‎.‎ 所以的最小正周期.‎ ‎(II)因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，‎ ‎，所以在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎4.【2015高考重庆，理18】 已知函数 ‎ （1）求的最小正周期和最大值；‎ ‎ （2）讨论在上的单调性.‎ ‎【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在上单调递增；在上单调递减.‎ 因此的最小正周期为，最大值为.‎ ‎（2）当时，有，从而 当时,即时，单调递增，‎ 当时,即时，单调递减，‎ 综上可知，在上单调递增；在上单调递减.‎ ‎5.【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，，为边上的点，与 的面积分别为和．过作于，于，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎6.【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若， ，，则 . ‎ ‎【答案】1．‎ ‎【解析】因为且，所以或，又，所以，，又，由正弦定理得即解得，故应填入1．‎ ‎7.【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎ ‎ ‎8.【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.‎ ‎9.【2015高考福建，理12】若锐角的面积为 ，且 ，则 等于________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由已知得的面积为，所以，‎ ‎，所以．由余弦定理得，．‎ ‎10.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）‎ 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．‎ ‎(Ⅰ) 求；‎ ‎(Ⅱ)若，，求和的长． ‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．‎