专题29 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题29 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎【高频考点解读】‎ ‎1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。‎ ‎2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。‎ ‎3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。‎ ‎4．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 空间几何体的结构特征 例1、给出下列四个命题：‎ ‎①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；‎ ‎②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；‎ ‎③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；‎ ‎④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等。‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案：B ‎【提分秘籍】‎ 空间几何体结构特征的解题策略 ‎(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定。‎ ‎(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可。‎ ‎【举一反三】 ‎ 给出下列四个命题：‎ ‎①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；‎ ‎②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；‎ ‎③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；‎ ‎④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 其中错误的命题的序号是__________。‎ 答案：①②③④‎ 热点题型二 由几何体的直观图识别三视图 ‎ 例2、【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯 形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B.‎ ‎【变式探究】一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正(主)视图可以为(　　)‎ A B C D 解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图像为下图：‎ 则它在平面zOx上的投影即正视图为，故选A项。‎ ‎【提分秘籍】 ‎ 由几何体的直观图识别三视图的解题策略 空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果。‎ ‎【举一反三】 ‎ 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(　　)‎ 主视图　　　　 侧视图 A B C D 解析：由三视图中的主、侧视图得到几何体的直观图如图所示。所以该几何体的俯视图为C。‎ 热点题型三 由几何体的三视图识别直观图 例3、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)‎ ‎ ‎ ‎ A B C D 解析：A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D。‎ 答案：D ‎【提分秘籍】‎ 由几何体的三视图识别直观图的解题策略 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。‎ ‎【举一反三】 ‎ 三视图如图所示的几何体是(　　)‎ A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台 解析：由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形。故选B。‎ 答案：B 热点题型四 空间几何体的侧面积与表面积 例4、 (1)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．21＋ B．18＋ C．21 D．18‎ ‎(2)个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________。‎ ‎(2)由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示。‎ 长方体的长、宽、高分别为4,3,1，表面积为4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38，‎ 圆柱的底面圆直径为2，母线长为1，侧面积为2π×1×1＝2π，‎ 圆柱的两个底面面积和为2×π×12＝2π。‎ 故该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38。‎ ‎【提分秘籍】‎ 几何体表面积的求法 ‎(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和。‎ ‎(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和。‎ 计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决。‎ ‎(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理。‎ ‎(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 如图所示，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．15＋3 B．9 C．30＋6 D．18 答案：C 热点题型五 空间几何体的体积 例5、 【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】B ‎ 【变式探究】(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 解析：(1)三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝。‎ ‎(2)由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，长方体长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×＋4×2×2＝8π＋16。故选A。‎ ‎【提分秘籍】‎ 计算几何体体积的常见类型及解题策略 常见类型 解题策略 球的体积 问题 直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径 锥体、柱体的 体积问题 根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解 以三视图为 载体的几何体 体积问题 将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解 不规则几何 体的体积问题 常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解 ‎【举一反三】 ‎ 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有(　　)‎ A．V1＜V2＜V4＜V3 ‎ B．V1＜V3＜V2＜V4‎ C．V2＜V1＜V3＜V4 ‎ D．V2＜V3＜V1＜V4‎ 解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台。结合题中所给数据可得：‎ V1＝(4π＋π＋2π)＝，V2＝2π，‎ V3＝23＝8，V4＝(16＋4＋8)＝。‎ 故V2＜V1＜V3＜V4。‎ 热点题型六 空间几何体的外接球与内切球 例6、 (1)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A. B．2 C. D．3 ‎(2)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝__________。‎ 解析：(1)如图，由球心作平面ABC的垂线，‎ ‎【提分秘籍】‎ 空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截图，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解。‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为__________。‎ 答案：4π ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B.‎ ‎2.【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】B ‎3.【2017山东，理13】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】该几何体直观图如图所示：‎ 是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和 故选A．‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）‎ A. ‎ B. C.D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C）90 （D）81‎ ‎【答案】B ‎5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】该几何体直观图如图所示：‎ 是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和 故选A．‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）‎ A. ‎ B. C.D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C）90 （D）81‎ ‎【答案】B ‎5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积,故选C.‎ ‎6.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .‎ ‎【答案】‎ ‎7.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为 ‎1.【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D．‎ ‎2.【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）4 （D）8‎ ‎【答案】B ‎3.【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，，选A.‎ ‎4.【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎【答案】C ‎5.【2015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎6.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )‎ A．36π B.64π C.144π D.256π ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．‎ ‎7.【2015高考山东，理7】在梯形中，， .将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】C ‎8.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，如下图所示，∴体积 ‎，‎ 故选C.‎ ‎1.【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D．‎ ‎2.【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）4 （D）8‎ ‎【答案】B ‎3.【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，，选A.‎ ‎4.【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎【答案】C ‎5.【2015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎6.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )‎ A．36π B.64π C.144π D.256π ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．‎ ‎7.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C.‎ ‎1．（2014·安徽卷）如图15，四棱柱ABCD A1B‎1C1D1中，A‎1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.‎ 图15‎ ‎(1)证明：Q为BB1的中点；‎ ‎(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；‎ ‎(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．‎ ‎(2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1＝h，梯形ABCD 的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝‎2a.‎ 图1‎ V三棱锥Q A1AD＝×·‎2a·h·d＝ahd，‎ V四棱锥Q ABCD＝··d·＝ahd，‎ 所以V下＝V三棱锥Q A1AD＋V四棱锥Q ABCD＝ahd.‎ 又V四棱柱A1B‎1C1D1 ABCD＝ahd，‎ 所以V上＝V四棱柱A1B‎1C1D1 ABCD－V下＝ahd－ahd＝ahd，故＝.‎ ‎(3)方法一：如图1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E.‎ 又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A，‎ 方法二：如图2所示，以D为原点，DA，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．‎ 设∠CDA＝θ，BC＝a，则AD＝‎2a.‎ 因为S四边形ABCD＝·2sin θ＝6，‎ 所以a＝.‎ 图2‎ 从而可得C(2cos θ，2sin θ，0)，A1，‎ 所以DC＝(2cos θ，2sin θ，0)，＝.‎ 设平面A1DC的法向量n＝(x，y，1)，‎ 由 得 所以n＝(－sin θ，cos θ，1)．‎ 又因为平面ABCD的法向量m＝(0，0，1)，‎ 所以cos〈n，m〉＝＝，‎ 故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为.‎ ‎2．（2014·湖北卷）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．（2014·辽宁卷）某几何体三视图如图11所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－ 图11‎ ‎【答案】B　【解析】根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2××π×2＝8－π.‎ ‎4．（2014·安徽卷）一个多面体的三视图如图12所示，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．21＋ B．8＋ C．21 D．18‎ 图12‎ ‎5．（2014·福建卷）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)‎ A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 ‎【答案】A　【解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形．‎ ‎6．（2014·湖北卷）在如图11所示的空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)‎ 图11‎ ‎ 　‎ A．①和② B．①和③ C．③和② D．④和②‎ ‎7．（2014·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图12所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)‎ 图12‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B　【解析】由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得r＝＝2.‎ ‎8．（2014·江西卷）一几何体的直观图如图11所示，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)‎ 图11‎ ‎　　　‎ ‎　A　　　　B　　　　C　　　 　D 图12‎ ‎【答案】B　【解析】易知该几何体的俯视图为选项B中的图形．‎ ‎9．（2014·辽宁卷）某几何体三视图如图11所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－ 图11‎ ‎10．（2014·浙江卷）几何体的三视图(单位：cm)如图11所示，则此几何体的表面积是(　　)‎ 图11‎ A．‎90 cm2 B．‎129 cm2 C．‎132 cm2 D．‎138 cm2‎ ‎【答案】D　【解析】此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其直观图如图，‎ 所以该几何体的表面积为2(4×3＋6×3＋6×4)＋2××3×4＋4×3＋3×5－3×3＝138(cm2)，故选D.‎ ‎11．（2014·新课标全国卷Ⅰ）如图13，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)‎ 图13‎ A．6 B．‎6 C．4 D．4‎ ‎【答案】B　【解析】该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E　CC1D1(其中E为BB1的中点)，其中最长的棱为D1E＝＝6. ‎ ‎12．（2014·新课标全国卷Ⅱ）如图11，网格纸上正方形小格的边长为1(表示‎1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为‎3 cm，高为‎6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)‎ 图11‎ A. B. C. D. ‎13．（2014·陕西卷）四面体ABCD及其三视图如图14所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.‎ ‎(1)证明：四边形EFGH是矩形；‎ ‎(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．‎ ‎　　‎ 图14‎ ‎(2)方法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，‎ DA＝(0，0，1)，BC＝(－2，2，0)，‎ BA＝(－2，0，1)．‎ 设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，‎ ‎∵EF∥AD，FG∥BC，‎ ‎∴n·DA＝0，n·BC＝0，‎ 得取n＝(1，1，0)，‎ ‎∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.‎ 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，‎ 则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，‎ ‎∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，得E，F(1，0，0)，G(0，1，0)．‎ ‎14．（2014·天津卷）一个儿何体的三视图如图13所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.‎ 图13‎ ‎【答案】.　【解析】由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π×12×4＋π×22×2＝.‎ ‎15．（2014·重庆卷）某几何体的三视图如图12所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ 图12‎ A．54 B．‎60 C．66 D．72‎ ‎【答案】B　【解析】由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以表面积为S＝×3×4＋＋×4＋×5＋3×5＝60.‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1．如图所示，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图是(　　)‎ 解析：由题知AA′＜BB′＜CC′，正视图为选项D所示的图形。‎ 答案：D ‎2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为(　　)‎ 答案：D ‎3．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为(　　)‎ 解析：通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D。‎ 答案：D ‎4．一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，且该几何体的四个点在空间直坐标系O－xyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能为(　　)‎ A．(1,1,1) B．(1,1，)‎ C．(1,1，) D．(2,2，)‎ 答案：C ‎5．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为(　　)‎ A.＋ B．2＋ C.＋ D.＋ 解析：如图将直观图ABCD还原后为直角梯形A′BCD′，其中A′B＝2AB＝2，BC＝1＋，A′D′＝AD＝1。‎ 所以S＝××2＝2＋。‎ 答案：B ‎6．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 ‎7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．12＋4 B．18＋8 C．28 D．20＋8 解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图。‎ 答案：D ‎8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：D ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B．π C. D．2π 解析：由三视图可知，该几何体是在一个圆柱中挖去两个半球而形成的，且圆柱的底面圆半径为1，母线长为2，则圆柱的体积V柱＝π×12×2＝2π，挖去的两个半球的半径均为1，因此挖去部分的体积为V球＝2××π×13＝π，因此，几何体的体积为V＝V柱－V球＝2π－＝，故选A。‎ 答案：A ‎10．某几何体的三视图如图所示，当a＋b取最大值时，这个几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由题意知，该几何体的直观图如图所示，‎ 且AC＝，BD＝1，BC＝b，AB＝a。‎ 设CD＝x，AD＝y，‎ 则x2＋y2＝6，x2＋1＝b2，‎ y2＋1＝a2，消去x2，y2得a2＋b2＝8≥，‎ 所以a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时x＝，y＝，所以V＝××1××＝。‎ 答案：D ‎11．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形。若AB＝2，则球O的表面积为(　　)‎ A.π B．12π C．16π D．32π 答案：C ‎12．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为(　　)‎ A．16π B．4π C．8π D．2π 解析：画出该几何体的直观图如图所示，‎ 答案：B ‎13．某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________。‎ 解析：依题意，可知题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底面半径是1，高是2，因此该几何体的体积等于23－π×12×2＝8－。‎ 答案：8－ ‎14．如图：△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5。则此几何体的体积为________。‎ 方法二：用“补形法”把原几何体补成 一个直三棱柱，‎ 使AA′＝BB′＝CC′＝8，‎ 所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC·AA′＝×24×8＝96。‎ 答案：96‎ ‎15．已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥P－ABC的侧面积的最大值为________。‎ 解析：‎ 所以S≤＝＝18(当且仅当a＝b＝c时取等号)。‎ 答案：18‎ ‎16．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形，‎ ‎ ‎ ‎(1)求该几何体的体积V；‎ ‎(2)求该几何体侧面积S。‎ 解析：由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V－ABCD，如图所示。‎ ‎(1)V＝×(8×6)×4＝64‎ ‎(2)该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，‎ 且BC边上的高为h1＝ ＝4，‎ 另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，‎ AB边上的高为h2＝ ＝5‎ 因此S＝2(×6×4＋×8×5)＝40＋24。‎ ‎17．一个几何体的三视图如图所示。已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形。‎ ‎(1)求该几何体的体积V；‎ ‎(2)求该几何体的表面积S。‎ 解析：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为，‎ 所以V＝1×1×＝。‎ ‎18．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器的高为h米，盖子边长为a米。‎ ‎ ‎ ‎(1)求a关于h的函数解析式；‎ ‎(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值。(求解本题时，不计容器的厚度)‎ 解析：(1)设h′为正四棱锥的斜高，由已知解得a＝(h＞0)。‎ 故当h＝1米时，V有最大值，V的最大值为立方米。‎ ‎ ‎ ‎ ‎