河北省衡水中学2016届高三下学期五调考试数学（理）试题

河北省衡水中学2016届高三下学期五调考试数学（理）试题

‎ ‎ 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.复数( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知集合，，，则（ ）‎ A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3‎ ‎3.已知函数，则下列结论错误的是（ ）‎ A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在区间上是增函数 ‎4.若的展开式中存在常数项，则常数项为（ ）‎ A．15 B．20 C．30 D．120‎ ‎5.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，则输出的为（ ）‎ A．2 B． C． D．-3‎ ‎7.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（ ）‎ A．100 B．200 C．300 D．400‎ ‎8.已知公比为2的等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A．48 B．128 C．144 D．146‎ ‎9.点为双曲线的右顶点，过右焦点且倾斜角为的直线与直线交于点，若为等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ）‎ A．28 B． C． D．‎ ‎11.设实数满足不等式组，若为整数，则的最小值是 ‎（ ）‎ A．13 B．16 C．17 D．19‎ ‎12.已知函数的定义域为，且，若，则函数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得点，则点的坐标为 .‎ ‎14.抛物线与直线、及该抛物线在处的切线所围成的图形面积的最小值为 .‎ ‎15.已知菱形的边长为，且，将沿折起，使两点间的距离为，则所得三棱锥的外接球的表面积为 .‎ ‎16.如图，在正方形中作如下操作，先过点作直线交于，记，‎ 第一步，作的平分线交于，记，‎ 第二步，作的平分线交于，记，‎ 第三步，作的平分线交于，记，‎ 以此类推，得数列，若，那么数列的通项公式为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）若，求的面积.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日～21日在巴西里约热内卢举行，下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.‎ ‎（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；‎ ‎（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响. 现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎19. （本小题满分12分） ‎ 如图，多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形为等腰梯形，，，平面平面.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若梯形的面积为3，求二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知点，直线，直线于，连接，作线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为.‎ ‎（ⅰ）求证：直线过定点；‎ ‎（ⅱ）若，过点作动直线交曲线于点，直线交于点，试探究是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）设函数，讨论的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有和的区间）.‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已知为圆的一条直径，以端点为圆心的圆交直线于两点，交圆于两点，过点作垂直于的直线，交直线于点.‎ ‎（1）求证：四点共圆；‎ ‎（2）若，求外接圆的半径.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆的极坐标方程为：，若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）求圆的参数方程；‎ ‎（2）在直角坐标系中，点是圆上动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标.‎ ‎24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知都是实数，，.‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若对满足条件的所有都成立，求实数的取值范围.‎ 衡水中学2015—2016学年度第二学期五调考试 高三年级数学（理科）试卷答案 一、选择题：CBCBC DBDAB BB ‎12.解：由得所以 设，由得，所以，则 所以＝‎ 二、填空题：‎ ‎13. (1,0) 14. 15. ‎ ‎16. 或 三、解答题：‎ ‎17.【解析】‎ ‎（1）因为，，‎ 所以.‎ 由正弦定理得：，‎ 所以，即.‎ 又.‎ 故化简得.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（3）因为，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以 ‎.‎ 因为，.‎ 所以.‎ 所以的面积.‎ ‎18. 【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下 中国 俄罗斯 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎2 8‎ ‎1‎ ‎4 3 7 6‎ ‎2 ‎ ‎ …………………3分 ‎ ‎ 故的分布列为 ‎ ‎ ‎…………………10分 ‎ …………………12分 ‎19.【解析】（Ⅰ）设的交点为，则为的中点，连接 由，得 所以四边形为平行四边形，故 …………3分 又平面,平面 所以平面 ……6分 ‎ ‎（Ⅱ）方法一：因为平面平面，交线为，‎ 所以平面，作于，连 平面，，又 平面，,‎ 故为二面角的平面角. ……………………8分 取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，故 因为 所以.由，得 ‎ 因为 所以，故 …………………10分 所以 故二面角的余弦值为 …………………12分 方法二：取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，故，又平面平面，交线为，故平面，如图，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系.‎ 因为 所以, ‎ 因此 ‎ 设平面的法向量为 由，得，令，则 因为，所以平面，‎ 故平面的法向量为 ‎ 于是 由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角的余弦值为……12分 ‎ ‎ ‎ ‎20. 【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，‎ ‎∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=﹣1的距离相等，‎ ‎∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=﹣1为准线的抛物线 ‎∴点H的轨迹方程为x2=4y．………2分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x1，﹣1），切点C（xC，yC），D（xD，yD）．‎ 由，得．∴直线PC：，‎ 又PC过点C，，∴，‎ ‎∴，即．‎ 同理，‎ ‎∴直线CD的方程为∴直线CD过定点（0，1）．………6分 ‎（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P（1，﹣1）在直线CD的方程为，‎ 得x1=1，直线CD的方程为．‎ 设l：y+1=k（x﹣1），‎ 与方程联立，求得．设，．‎ 联立y+1=k（x﹣1）与，得 ‎，由根与系数的关系，得 ‎． ∵同号，‎ ‎∴‎ ‎∴为定值，定值为2. ……… 12分 ‎21.【解析】（Ⅰ）当时， ‎ 易知在上单调递增，且， ‎ 因此，当时，；当时，‎ 故在单调递减，在单调递增 …………………4分 ‎（Ⅱ）由条件可得， ‎ ‎（i）当时，，无零点 ‎（ii）当时，，在上单调递增 ‎①若，即时，，在上有一个零点 ‎②若，即时，，有一个零点 ‎③若，即时，，在上有一个零点 ………………8分 ‎（iii）当时，令，得；令，得 所以在单调递减，在单调递增，‎ ‎①若，即时，，无零点 ‎②若，即时，，有一个零点 ‎③若，即时，，，在有一个零点； ………………10分 设，则，设，则，‎ 当时，，所以在单调递增，，所以在单调递增，，即时，，故 设，则，所以在单调递减，‎ ‎，即时，‎ 因为时，，所以，‎ 又，在上有一个零点，故有两个零点 综上，当时，在和上各有一个零点，共有两个零点；当时，有一个零点；当时，无零点；当时，在上有一个零点；当时，有一个零点；当时，在上有一个零点. ………………12分 ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲 ‎ 证明:(Ⅰ) 为圆的一条直径； ‎ 四点共圆…………………4分 解：(Ⅱ) 与圆相切于点，‎ 由切割线定理得，即，‎ 解得，所以，‎ 又，则，得，‎ 连接，由（1）知为的外接圆直径，‎ ‎，故的外接圆半径为．……………10分 ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）因为，所以，‎ 所以， 即为圆C的普通方程．‎ 所以所求的圆C的参数方程为(为参数) ．……………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ‎ ‎ 当 时，即点 的直角坐标为时， ‎ ‎ 取到最大值为6. ……10分 ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：(Ⅰ)由得或，‎ 解得或.故所求实数的取值范围为.……5分 ‎（Ⅱ）由且得 ‎ 又∵ ∴.‎ ‎∵的解集为，∴的解集为，‎ ‎∴所求实数的取值范围为.…………………………10分